人教版数学必修一函数的单调性与最大值

1、一、函数的单调性1 .增函数和减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值X1, X2, 当X1 < X2时，都有f (Xi)f 02),那么就说函数千(X)在区间D上是增 函数如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值X1, X2, 当X1 < X2时，都有千(X。>f (X2),那么就说函数f(X)在区间D上是 减函数2 .函数的单调性与单调区间如果函数y=f (x)在区间D上是增函数或是减函数，那么就说函数 y二f(x)在这一区间具有单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间(1)在某个区间具有单调性：这个区间可以是整

2、个定义域.如：y二x 在整个定义域R上是增函数，这个区间也可以是定义域的真子集， 如：y”2在定义域(-8, +OO)上不具有单调性，但在(-8, 0 上 是减函数，在0, +8)上是增函数(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的Xi, 乂2有以下几个特征：一是任意性，即“任意取Xi, X2"，“任意”两字 不能丢；二是有大小，通常规定X1 < X2；三是属于同一单调区间(3)单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值得不等关系正 逆互推，即由千(X)是增函数且f。1)(X2)一 Xi < X21 X 为有了里泰：(4)有的函数不具有单调性，如函数y=o

3、： x为无理教，它的定义 域为R,但不具有单调性，函数y=x+1,x£Z它的定义域不是区间， 也不能说它在其定义域上具有单调性(5)如果函数f(x)在其定义域内的两个区间A, B上都是增(减) 函数，一般不能认为f (x)在AUB上是增(减)函数，例如f(x)W 在(-8, 0)上是减函数，在(0, +8)上是减函数，但是不能说其 在(-8, 0)U (0, +8)上是减函数，在这里，正确的写法应为： “(一8, 0), (0, +8)” 或 “(一8, 0)和(0, +8)”(6)图像特征：在某区间上，单调递增的函数f(x),从左向右看， 其图像时上升的，单调递减的函数f(x),从

4、左向右看，其图像时下 降的(7)函数在某一点处的单调性无意义例1:如图，是定义在-5, 5上的函数以y=f (x)的图像，根据图像写出单调区间, 及在每一个区间上函数厂f (x)的单调性3 .判断函数单调性的方法定义法：取值：在指定区间内任取X1, X2,且令X«X2做差变形：将f(Xl)千&2)进行化简变形，变形后判断f (Xi)- f(X2)的正负定号：确定千(X。-f('2)的符号，若不能直接确定差值的符号，可 以考虑分类讨论判断：根据增减函数的定义做出结论例2：用单调性的定义求函数f (x)=2x2 +4x在-1,+8)上的单调性 例3：利用函数单调性的定义证

5、明函数f(x)在(-OO, 0)上是增函X数4 .函数的最大(小)值(1)函数最大值的概念一般地，设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:对于任意的x£l,都有f(x)WM;存在xo£|,使得f(xo)二M那么我们称M是函数y=f (x)的最大值(2)最值的求法做出函数图象，尤其是分段函数或解析式含有军队之的函数，从图像中直接观察可得最值 求函数的值域，其边界即为最值，此时要注意边界值是否能取到(即 最值是否存在)利用函数单调性求最值：若函数在a, b上是减函数,则f (x)在a,b上的最大值为f (a).最小 值为f(b)若函数在a, b上是增函数，则f (x

6、)在a,b上的最大值为f (b).最小 值为f(a)例4:如图为函数y=f (x), x£ -4, 7的图像，指出它的最大值、最小值例5:已知2x2 -3x0,则函数f(x)=x2 +x+1的最小值为最大值为5 .复合函数单调性以复合函数y=f(g(x)为例，其单调性可简记为“同增异减”， 即内外函数的单调性相同时递增，相异时递减求复合函数单调区间的步骤：确定函数的定义域将符合函数分解成基本初等函数：y=f (u), u=g (x)分别确定这两个函数的单调区间若这两个函数同增或同减，则尸千(g(x)为增函数，若一增一减, 则y=f (g(x)为减函数9例6:已知函数f (x) =r

7、x£ 2, 6,试判断函数f (x)在x£ 2, 6上 A I的单调性，并求出函数f(x)在x£ 2, 6上的最大值和最小值例7：讨论函数代幻彳口的单调性练习：1 .判断函数4X)=4在区间(1, +8)上的单调性，并用单调性的定义证明2.已知二次函数f(x)=ax? +2ax+1在区间-2,3上的最大值为6,则a的值为1,若函数y=f(x)的图像如图所示，则其函数解析式为2 .已知f(x)= 求函数f(x)的定义域和值域x + 2, x > 03 .设函数)二，则满足)2的取值范围是3x + 5, x W 04 .已知函数f(x)=x + 5 Ojx在1I - 2x + 8, x > 1(1)求f(-1)的值(2)求f(x)的最大值5.已知 f(x)是一次 函数，2f(2)