同济高数上D2_3高阶导数

1、目录 上页 下页 返回 结束 二、高阶导数的运算法则二、高阶导数的运算法则 第三节一、高阶导数的概念一、高阶导数的概念高阶导数 第二章 目录 上页 下页 返回 结束 一、高阶导数的概念一、高阶导数的概念)(tss 速度即sv加速度,ddtsv tvadd)dd(ddtst即)( sa引例引例：变速直线运动目录 上页 下页 返回 结束 定义定义.若函数)(xfy 的导数)(xfy可导,或,dd22xy即)( yy或)dd(dddd22xyxxy类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 ,1n阶导数的导数称为 n 阶导数 ,y ,)4(y)(,ny或,dd33xy,dd44xynnxydd,)(xf

2、的二阶导数二阶导数 , 记作y )(xf 的导数为依次类推 ,分别记作则称目录 上页 下页 返回 结束 设,2210nnxaxaxaay求.)(ny解解:1ayxa221nnxan 212ayxa3232) 1(nnxann依次类推 ,nnany!)(233xa例例1.思考思考: 设, )(为任意常数xy ?)(nynnxnx) 1()2)(1()()(问可得目录 上页 下页 返回 结束 nx)1 ( ,e3xaay 例例2. 设求解解:特别有:解解:! ) 1( n规定 0 ! = 1思考思考:,exay .)(ny,exaay ,e2xaay xannaye)(xnxe)(e)(例例3.

3、设, )1(lnxy求.)(ny,11xy,)1 (12xy ,)1 (21) 1(32xy )(ny1) 1(n, )1(lnxy)(nyxy11 ynxn)1 (! ) 1(2)1 (1x,目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 设,sin xy 求.)(ny解解: xycos)sin(2x)cos(2 xy)sin(22x)2sin(2x)2cos(2 xy)3sin(2x一般地 ,xxnsin()(sin)(类似可证:xxncos()(cos)()2n)2n目录 上页 下页 返回 结束 例例5 . 设bxyxasine解解:bxayxasine)cossin(exbbxbaxa求为常数

4、 , ),(ba.)(nybxbxacose)cossin(222222xbbabxbbaabacossinxae)sin(22bxba)arctan(ab22bay )sin(ebxaxa222)()(nnbayxabae22)arctan(ab)2sin(22bxba)sin(enbxxa)cos(ebxbxa目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 设,3)(23xxxxf求使)0()(nf存在的最高分析分析: )(xf0 x,43x0 x,23xxxfx02lim)0(300 xxfx04lim)0(3000 x0 x)(xf,122x,62x )0(fxxx06lim200 )0(fx

5、xx012lim200 )(xf但是,12)0( f,24)0( f)0(f 不存在 ._n2又0 x,24x0 x,12x阶数目录 上页 下页 返回 结束 规律 二、高阶导数的运算法则二、高阶导数的运算法则都有 n 阶导数 , 则)()(. 1nvu )()(nnvu)()(. 2nuC)(nuC(C为常数)()(. 3nvuvun)(!2) 1( nn!) 1() 1(kknnn vun)2()()(kknvu)(nvu莱布尼茨莱布尼茨(Leibniz) 公式公式)(xuu 及)(xvv 设函数vunn) 1(规律规律规律规律vu 3)(vuvuvu)( vu)(vuvuvuvu 2vu

6、)( vuvu vu 3vu 用数学归纳法可证( )()( )0()Cnnkn kknkuvuv目录 上页 下页 返回 结束 例例7. ,e22xxy 求.)20(y解解: 设,e22xvux则xkku2)(e2,2xv ,2 v0)(kv代入莱布尼茨公式 , 得)20(yx220e22xx219e220 x2!219202x220e2)9520(2xxx218e2)20,2,1(k)20,3(k目录 上页 下页 返回 结束 0!2) 1() 1(nynn)(nyn例例8. 设,arctan xy 求).0()(ny解解:,112xy即1)1 (2yx用莱布尼茨公式求 n 阶导数)1 (2xx

7、22令,0 x得)0() 1()0() 1() 1(nnynny),2, 1(n由,0)0(y得,0)0( y,0)0()4(y,)0() 12( my)0() 12(2) 12(mymm)0(! )2() 1(ymm0)0()2(my ) 1(ny12, ! )2() 1(2,0)0()(mnmmnymn即), 2, 1 , 0(m由, 1)0( y得)0(! )2() 1()0() 12(ymymm目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结(1) 逐阶求导法(2) 利用归纳法(3) 间接法 利用已知的高阶导数公式(4) 利用莱布尼茨公式高阶导数的求法)(1nxa1)(!) 1(nnxa

8、n如下列公式xxnsin()(sin)(xxncos()(cos)()2n)2n目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习xy1211)()1 (!) 1(2nnnxnyxxxy11123,)1 (!1)(nxnynn1. 如何求下列函数的 n 阶导数?xxy11) 1 (xxy1)2(3解解: 解解: 目录 上页 下页 返回 结束 2312xxy1121xxy11)() 1(1)2(1!) 1(nnnnxxny(3)12) 1)(2(1xBxAxx提示提示: 令)2(xA2x) 1(xB1x11) 1)(2(1xx) 1)(2(1xx目录 上页 下页 返回 结束 xxy66cossi

9、n)4(3232)(cos)(sinxxyxxxx4224coscossinsin222)cos(sinxx x2sin431283)(nyn433ba)(ba )(22babax4cos8385)4cos(2nx 22cos1sin2xx22cossin3解解:目录 上页 下页 返回 结束 ) 1)(2(232xxxx各项均含因子 ( x 2 )1)( !nxfn2. (填空题) (1) 设,cos)23()(1622xnxxxf则)2()(nf)(xf16cos) 1(2xxn)()(xfn16cos) 1(2xxn提示提示:nx)2( ! n22!n(2) 已知)(xf任意阶可导, 且2

10、n时)()(xfn提示提示:,)()(2xfxf则当 )(xf)()(2xfxf3)( !2xf )(xf)()(3!22xfxf4)( !3xf目录 上页 下页 返回 结束 3. 试从 yyx1dd导出.)(dd322yyyx 解：解：yxyyxdddddd22 y1xddyxdd2)(yy y13)(yy 同样可求33ddyx(见 P103 题4 ) 作业作业P103 1 (9) , (12) ; 3 ; 4 (2) ; 6 ; 9 ; 10 (2) ; *11 (2) , (3) 第四节 目录 上页 下页 返回 结束 解解: 设)(sin2xfxy 求,y 其中 f 二阶可导.xxfxcos)(s