线性代数二次型

1、第五章1二次型与对称矩阵一、二次型及其矩阵1 定义：含有 n 个变量的二次齐次函数：f (x , x ,L , x ) a x2a x2Lax21 2n11 1222nnn2a12x1x2 2a13x1x3 L2a(n 1)nxn 1xn称为二次型。为便于用矩阵讨论二次型，令aija ji，则二次型为：f ( x , x,L , x ) a x2a x xLa x x1 2n11 112121n 1 nax xax2La2nx x212 12222 nLLLLLLLLLLLan1xnx1an2 xnx2 L ann xn2naij xi x ji , j1a11a12La1nx1令 Aa21a

2、22La2n ，xx2 ，LLLLMan1an2Lannxn则f (x1, x2,L , xn)xT Ax ，且A为对称矩阵。由于对称矩阵 A与二次型 f 是一一对应关系， 故称对称矩阵 A为二次型 f 的矩阵，也称二次型f 为对称矩阵 A的二次型， R( A) 也称为二次型 f 的秩。例 1 设f ( x1, x2 , x3 )x122x223x325x1x27x2 x39x1x3试求二次型矩阵A .解a111 , a222 , a333 , a12 a215 , a23a327 , a13a319 .222于是得1591592222x1A527 ， f(x1, x2 , x3 )527x2

3、2222x39739732222例 2已知三阶矩阵 A 和向量 X ,其中123x1A011,Xx2 .332x3求二次型 XAX 的矩阵 .解由于 A 不是对称矩阵 ,故 A 不是二次型 XAX 的矩阵 .因为123x1X AX ( x1 , x2 , x3 ) 01 1x2332x3x12x222x322x1 x26x1 x3 4 x2 x3 ,故此二次型的矩阵为113112 .322二、线性变换1 标准形定义：形如 d1 x12d2 x22d n xn2 的二次型称为二次型的标准形。显然：其矩阵为对角阵。2 线性变换大学数学x1c11 y1c12 y2 Lc1n ynx2c21 y1c2

4、2 y2 Lc2n yn称为由变量 x1, x2 ,L , xn 到变量定义： 关系式LLLLLLLLLLLxncn1 y1cn 2 y2 Lcnn yny1, y2 ,L , yn 的一个线性变量替换，简称线性变换。c11c12Lc1n矩阵 Cc21c22Lc2 n 称为线性变换的矩阵。LLLLcn1cn2Lcnnx1y1记 xx2， yy2，则线性变换可用矩阵形式表示为： x CyMMxnyn若 C 0 ，称线性变换为满秩（线性）变换（或非退化变换） ，否则，称为降秩（线性）变换（或退化变换） 。f (x1, x2 ,L , xn )xT Ax(Cy)T A(Cy)yTCT ACyyT B

5、y，其中BCTAC，而 BT(CTAC)TCT ACB若线性变换是非退化的，便有：yC 1x三、矩阵的合同1 定义：设 A， B 为 n 阶方阵，如果存在 n 阶可逆矩阵 C ，使得 C T ACB ，则称矩阵 A与 B 合同。容易知道：二次型 f ( x)xT Ax 的矩阵 A 与经过非退化线性变换xCy 得到的矩阵 C T AC 是合同的。2 合同的性质大学数学反身性：任一方阵A 都与它自己合同 对称性：如果方阵A 与 B 合同，那么 B 也与 A 合同 传递性：如果方阵A 与 B 合同， B 与 C 合同，那么 A 与 C 合同3定理：若矩阵 A 与 B 合同，则 A与 B 等价，且 R

6、(A)R(B) 。4定理：任何一个实对称矩阵 A 都合同于一个对角阵（ 是以 A 的 n个特征根为对角元的对角阵） 。即存在可逆矩阵 C ，使得 C T AC。化二次型为标准形一、正交变换法定理：任给二次型 f (x , x ,L, x )xT Ax ，总有正交变换 x Cy 使 f 化为12n标准形： f1x122 x22Ln xn2 （其中1, 2 ,L , n 是对称矩阵 A的特征根）例 ：求 一 个 正 交 变 换 x Py，化二次型f x122x222x324x1x24x1x3 8x2 x3 为标准形。122解：二次型的矩阵为： A224242大学数学由 AE0，求得 A的特征根为：

7、17， 231特征根17 对应的特征向量为：12；22特征根232 对应的特征向量为：21,30显然 1与 2 , 3 都正交，但2与 3 不正交。2正交化：取221，02 ，201(2,3)33(2,2)2再将254511,2,3单位化，得122p11, p21121 , p334355205大学数学x1122y15353于是正交线性变换为：x2214y23535x3205y333使原二次型化为：f7 y122y222y32注意：二次型的标准形并不唯一，这与施行的正交线性变换有关。二、配方法对任意一个二次型f (x1, x2 ,L , xn )xT Ax ，也可用配方法找到满秩变换x Cy

8、，化二次型 f 为标准形。1二次型中含有平方项例：化二次型 f (x1, x2, x3 ) x122x223x324x1x2 4x1x3 4x2 x3 为标准形，并求出所用的变换矩阵。解f (x1 , x2, x3 )x124( x2x3 )x14( x2x3) 24(x2x3 ) 22(x22x xx2 )5x222333(x2x22x)24(x2x )22(x2x3)25x21333(x2x22x)22( x2x)25x21333y1 x12x22x3y1122 x1令y2x2x3 ，即 y2011 x2y3x3y3001 x3大学数学122120令 C 1011 ，则C011，所求的满秩

9、变换为001001x1120y1x Cy ，即 x2011y2，x3001y3则原二次型 fxT Ax 化为标准形：f y122 y225 y322 二次型中不含平方项例：用配方法化二次型f ( x1, x2 , x3 )x1x2x1x3x2x3 为标准形，并求出所用的满秩线性变换。x1y1y2y2y2解：令 x2yy，则原二次型化为： f2 y y121213x3y3再按前例的方法有：fy2y22 y y1213y22y yy2y2y2113332( yy )2y2y21323z1y1y3z2z2z2令 z2y2，则原二次型化为： f123z3y3其中的满秩变换为两变换的合成，即：大学数学x

10、1y1y2x1110y1由第一次变换xyy得：x2110y2212x3y3x3001y3z1y1y3y1101z1由第二次变换z2y2得：y2010z2z3y3y3001z3所以有合成的满秩变换为：x111 0y1110101 z1x211 0y2110010z2x300 1 y3001001z3x1111z1即x2111z2x3001z3三、初等变换法由于任一二次型 fxT Ax( ATA) 都可以找到满秩线性变换x Cy 将其化为标准形，即存在可逆矩阵C ，使 C T AC 为对角阵；由于 C 可逆，可以写成一系列初等矩阵的乘积，即存在初等矩阵 P,P,L ,P ，使1 2sC PPL P

11、。则CTPTL PTPT，所以1 2ss21CT ACPT L PTPTAPPLPs211 2s大学数学CP1 P2 L PsEP1P2 L Ps表示对实对称矩阵 A 施行初等列变换，同时也施行同种的初等行变换，将 A 化为对角阵，表示单位矩阵在相同的初等列变换下就化为 C例：用初等变换法化二次型 f x122x222x324x1x2 4x1x3 8x2 x3为标准形，并求出相应的满秩线性变换。122解：二次型 f 的矩阵： A224242122224A242E100010001r2r3c2c31020422221000100111000421 ) r( 2) r1026r(2r332c3(

12、2) c1102c3(1)c20102011102所以C 011 ，20112100040007102 ，01120112大学数学原二次型化为fy124 y227 y32惯性定理和二次型的正定性一、惯性定理和规范形在二次型的标准形中，将带正号的项与带负号的项相对集中，使标准形为如下形式： fd1x12d2 x22Ld p x2pd p 1xp21L dr xr2xi1yi(i1,2,L ,r )再令线性变换：di，则原二次型化为：x jyj( jr1,r2,L, n)f y2y2 Ly2y21Ly212ppr定义：形如上式的标准形称为二次型的规范形。定义：称规范形中正项的个数p 称为二次型的正

13、惯性指标， 负项个数 r p称为二次型的负惯性指标，r 是二次型的秩。注：规范形是由二次型所唯一决定的，与所作的非退化线性变换无关。虽然二次型的标准形不唯一，但是其规范形是唯一的。定理：任一实二次型 fxT Ax 都可以经过满秩变换 xCy 化为规范形，且规范形唯一。因而，对任一实对称矩阵A ，都存在满秩矩阵 C ，使1O11CT ACO，称为 A 的（合同）10O0规范形。大学数学定理：实对称矩阵 A 与 B 合同的充分必要条件是 A 与 B 有相同的规范形，其正惯性指标和秩相等。矩阵合同的性质(1)任一对称矩阵都存在对角矩阵与它合同;(2)与对称矩阵合同的矩阵必定是对称矩阵;(3)两个实对

14、称矩阵合同的充要条件有相同的秩 ,有相同的正惯性指数 .二、二次型的正定性1、正 ( 负) 定二次型的概念定义：设实二次型 f (x)f (x1, x2 ,L , xn )xT Ax ，若对任意不全为零的实数 x1, x2 ,L , xn(即x0) ，总有 f ( x)0 (0) ，则称 f 为正 ( 负 ) 定二次型，并称对称矩阵 A 为正 ( 负) 定矩阵，记作 A0(0) 。定义：若对任意不全为零的实数x1, x2 ,L , xn ，总有 f ( x)xT Ax0 (0) ，则称实二次型为半正 ( 负) 定二次型，其矩阵 A 为半正 ( 负) 定矩阵。2、判定方法定理：若 A 是 n 阶

15、实对阵矩阵，则下列命题等价：（ 1） f (x)xT Ax是正定二次型（或A 是正定矩阵）；（ 2） A 的 n 个特征值全为正；（ 3） f 的标准形的 n 个系数全为正；（ 4） f 的正惯性指数为 n ；（ 5） A 与单位矩阵 E 合同（或 E 为 A 的规范形） ;(6) 存在可逆矩阵 P ，使得 A PT P ;(7)A的各阶顺序主子式均为正，即a11a12a11La1na110,L,MM0。a21a220,an1Lann大学数学定理：若 A 是 n 阶实对阵矩阵，则下列命题等价：1fx)x Ax是负定二次型（或A是负定矩阵）；（ ）(T（ 2） A 的 n 个特征值全为负；（ 3

16、） f 的标准形的 n 个系数全为负；（ 4） f 的负惯性指数为 n ；（ 5） A 与负单位矩阵E 合同（或E 为 A 的规范形） ;(6)存在可逆矩阵 P ，使得 APT P ;(7) A 的各阶顺序主子式中，奇数阶顺序主子式为负，偶数阶顺序主子a 11La1r式为正，即( 1)rMM0( rL, n)。1,2,ar1 Larr1 、判定实二次型 f ( x , x, x )x22x x2x x 2x26x x6x2是123112132233否正定。11111111解：A123，因 100，A1231 0，21361136所以实二次型 f是正定的。2、设二次型 f ( x1, x2, x

17、3)x122x223x322tx1x22x1x34x2 x3 ，试问 t 为何值时，该二次型是正定的？1t1解：因二次型的矩阵为： At22，为使所给二次型正定， A的各阶123大学数学顺序主子式应大于零，从而有：d110， d21t2t 20 ，t21t1d3t22(3 t 24t)0 ，1232t 204t0由得：4t033t 2所以当4t0 时，所给实二次型是正定的33、二次型 f (x , x , x )x23x2x22x x2x x2x x ，则 f 的123123121323正惯性指数为？4、三阶的实对称矩阵 A 的特征值为121,32 ,则二次型f (x1 , x2 , x3 )

18、XAX的规范形为分析实对称矩阵 A可经过正交变换化为对角矩阵,相应的二次型f (x)XAX 就化为标准形 .解由已知条件,二次型f ( x) 的标准形为y12y222 y32 , 故其规范形为z12z22z32 .5、任何一个 n 阶满秩矩阵必定与 n 阶单位矩阵 ().( A) 合同(B)相似(C)等价(D) 以上都不对解任一个 n 阶满秩矩阵都可以经过有限次的初等变换化为n 阶单位矩阵 ,故 n 阶满秩矩阵都与 n 阶单位矩阵等价 . 只有单位矩阵与单位矩阵相似 .只有正定矩阵与单位矩阵合同 .大学数学1111400011110000）6、设 A11, B000,则 A与B（1101111

19、0000(A) 合同且相似 . (B)合同但不相似 . (C) 不合同但相似 . (D) 不合同且不相似 .解选(A). A 为实对称矩阵且A 的特征值为 4,0,0,0 .2111007、A121 ， B010，则（）110000（A） A 与 B 即合同又相似（B） A 与 B 合同而不相似（C） A 与 B 不合同而相似（D） A 与 B 即不合同也不相似解：（B）B 的特征值 1，1，0111A1113EB3E，特征值为B3 ，即 3，3，0111A 与 B 特征值不相同，但正、负性都一样。8、 A122，则在实数域上与 A 合同的是（ ）1（A ）2121C）21D12（ ）（）1B

20、1212212大学数学解：（D）A1222E ，特征值为 -1， 3212221113E ，特征值为 -3，-1121121113E ，特征值为 3，112112111E ，特征值为 1， 3121112223E ，特征值为3，-121229、已知实二次型f ( x1 , x2 , x3 )a( x12x22x32 ) 4x1x2 4x1x3 4 x2x3 经正交变换x=Py 可化标准型 f6 y12 ，则 a_【详解】二次型f (x1, x2 , x3) a(x12x22x32 ) 4x1 x24x1 x34x2 x3a22所对应矩阵为 A2a222a600标准型 f6 y12 所对应矩阵为 B 000000根据题设知 A， B 为相似