线性代数(同济六版)知识点总结上课讲义

1、精品文档1. 二阶行列式 -对角线法则 :2. 三阶行列式a1 1a1 2a对角线法则a 2 1a2 2aa3 1a3 2a1 32 3a1 1a2 2a 3 3a1 2a 2 3a3 1 a1 3a2 1a 3 2 a1 1a2 3a3 2 a1 2a2 1a3 3 a1 3a 2 2a3 13 3按行（列）展开法则3. 全排列： n 个不同的元素排成一列。所有排列的种数用表示，= n！逆序数：对于排列，如果排在元素前面，且比大的元素个数有个，则这个元素的逆序数为。整个排列的逆序数就是所有元素的逆序数之和。奇排列：逆序数为奇数的排列。偶排列：逆序数为偶数的排列。n 个元素的所有排列中，奇偶各

2、占一半，即对换：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.4.aa1 1a1 2a1 3t ( j1 j 2j 3 )其中：是 1,2,3的一个排列，2 1a2 2a2 3(a1 j1 a2 j 2 a3 j 31)t()是排列的逆序数a 3 1a2 3 a335.a1 1下三角行列式:a2 1aan 1a副三角跟副对角相识2 20a11a2 2.a nnn 2 .an n对角行列式：副对角行列式：11212. n2n(n1)1)212n(nn6. 行列式的性质：行列式与它的转置行列式相等. （转置：行变列，列变行）。D =互换行列式的两行（列），行列式变号。推论：两行（列）相同的行列式值

3、为零。互换两行：行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个数k，等于用数k 乘此行列式。第i 行乘 k：x k推论：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号外面行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式等于0若行列式的某一列（行）的元素都是两个元素和，则此行列式等于两个行列式之和。如：a1 1a1 2(ba2 1a2 2(ban 1an 2(b1 jc1 j )a1 na1 1a1 2b1 ja1 na1 1a1 2c1 ja1 n2 jc2 j )a 2na 2 1a2 2b2 ja2 na 2 1a 22c 2ja2 nn jcn j )a nna n 1an 2bn jan

4、na n 1a n2c n jan n把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变。如a11a1 ika1 ja1 ja1 na1 1a1 ia1 ja1na2 1a2 ika2 ja2 ja2 na 2 1a 2 ia2 ja2 nan 1an i kan jan jan n a n 1a n ian jan n精品文档精品文档第 j 列的 k 倍加到第 i列上：7.重要性质 ：利用行列式的性质或，可以把行列式化为上（下）三角行列式，从而计算n 阶行列式的值。（ P11 页例 7）8.行列式按行（列）展开法则（* 重要 * ）重要概念：余子式：在 n阶

5、行列式中， 把元素 aij所在的第i 行和第j 列划去 , 剩下的 ( n -1)2 个元素按原来的排法构成的 n - 1阶行列式叫做 aij的余子式，记为 M ij代数余子式：记Aij = ( - 1 ) i+j Mij 为元素aij 的代数余子式。重要性质，定理1）第 i 行各元素的余子式，代数余子式与第i 行元素的取值无关。2）行列式按行（列）展开法则：行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即：D ai1Ai1ai2Ai2ain Ain或Da1jAaAanjA1j2j2jnj推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. 即

6、ai 1Aj 1ai 2Aj 2ai nAj n0ij或a1 i A1 ja 2i A2 jan i An j0ij使用该法则计算行列式的值：先选取存在最多0 的行（列），从该行选取一个非0 元素 a ij，并将该行其他元素通过性质化为0，则 D = a Aij ij9. 利用 Cramer 法则求解 n 个 n 元线性方程组：若非齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则方程组有唯一解。等于0，则无解a11a 12a1na21a 22a2n0x1D1,x 2D2,x nDnDDDDan1a n2ann其中(j=1,2 n) 是把系数行列式中的第j 列的元素用方程组右边的常数项代替后所得到的的n

7、阶行列式即：a11a1, j 1b1a1, j 1a 1na21a2, j 1b2a2, j 1a 2nj1,2, n.Djan1an, j 1bnan, j 1a nn对于齐次线性方程组，如果系数行列式D 0，则该方程组只有零解，若D = 0，则存在非零解。第二章1. 矩阵相关的概念：矩阵：由 m× n 个数(i=1,2, ,m; j=1,2, ,n)排成的 m行 n 列的数表 (是一组数 )。行（列）矩阵：只有一行（列）的矩阵，又称为行（列）向量。同型矩阵：行数，列数均相等的两个矩阵A=B ： 矩阵 A 和矩阵 B 为同型矩阵，且对应的元素相等。零矩阵：所有元素为0 的矩阵，记为

8、O，不同型的零矩阵是不相等的。对角矩阵：对角线元素为1 ,2,L ,n ，其余元素为0 的方阵单位矩阵：对角线元素为，其余元素为0 的方阵，精品文档精品文档1121diag1 , 2 ,L , nEOOn12. 矩阵的运算1）加法：只有两个矩阵为同型矩阵时，才能进行加法运算。A+B 等于对应元素相加起来。满足交换律和结合律2）数与矩阵相乘a11a12La1nAa21a22 La2n () A( A)， ()AAA，ALLLL(AB)ABam1am1Lamn3）矩阵与矩阵相乘：要求前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数；乘积矩阵的行数为前一个矩阵的行数，列数为后一个矩阵的列数；sc ija i 1

9、 b1 j a i 2 b2 j L ais bsja i k bk jk1即：乘积矩阵的第i 行，第 j 列元素为前一个矩阵的第i 行元素与后一个矩阵的第j 行元素对应相乘再相加。注意：一般情况下：AB BA。 但是满足结合律和分配律。EA=AE=A4）矩阵的幂：若A是 n 阶方阵，则：A kA lA k l , ( A k ) lA kl显然：( AB )kAk B k( AB )2A 22ABB 2A、B 可交换时才成立(A B)(A B) A2B 23.矩阵的转置：把矩阵A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，记作AT .如：14122A,A T25 ;45828性质： (1)(AT)TA

10、 ;(2) ( A B)TAT BT;(3)(A)TAT ;(4) (AB)TBTAT.设 A 为 n 阶方阵，如果满足，即，则 A 为对称阵如果满足，即，则 A 为反对称阵4.方阵的行列式：由n阶方阵 的元素所构成的行列式，叫做方阵A的行列式，记作 | A| 或 det A.性质： | AT| |A|， |A |n | A |， | AB | | A | B |。5. 伴随矩阵： 其中 是 的代数余子式， A* 称为 A 的伴随矩阵。（特别注意符号）A11A21LAn 1AA12A22LAn 2注意：元素的代数余子式是位于LLLL的第 j 行第 i 列（类似于转置）精品文档A1 nA2 nL

11、Ann性质：精品文档6. 逆矩阵：对于n 阶方阵A，如果有n 阶方阵B，使得AB = BA = E，则称A 可逆，B 为A 的逆矩阵，记为。且A 的逆矩阵是唯一的。判断方阵A 是否可逆：0A 可逆，且逆矩阵推论：若 0，则。此时称 A 为非奇异矩阵。若，则称 A 为奇异矩阵。二阶矩阵的逆矩阵：主对角线两数对调，副对角线两数反号。A=->单位矩阵 E 是可逆的。零矩阵是不可逆的。对角矩阵的逆矩阵：对角线上每个元素取倒数。推论：如果n 阶方阵 A、 B 可逆，那么、 A ( 0)、 AB 也可逆且：(A1)1A ,(AT) 1(A 1)T ,( A)11A 1 ,(AB) 1（ 5）B1A1

12、.用逆矩阵求解线性方程组：已知，若 AB 可逆，则（A 在 X 左边，则必须在 C 左边， B 也如此）7.矩阵分块法：用一些横线和竖线将矩阵分成若干个小块，这种操作称为对矩阵进行分块；每一个小块称为矩阵的 子块 ；矩阵分块后，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵 .分块矩阵的运算： （其运算与矩阵运算基本一致）1）加法：要求矩阵 A 和 B 是同型矩阵，且采用相同的分块法(即相对应的两个子块也是同型的)2）分块矩阵 A 的转置：除了 A 整体上需转置外，每一个子块也必须得转置。8.分块对角矩阵：A1设 A 是 n 阶矩阵，若：A2 A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，AO其余子块都为零

13、矩阵As对角线上的子块都是方阵则称 A 为分块对角矩阵。A2 |A|s |A11性质： |A|=| A1|A21若 | As | 0，则|A | 0，并且 A1OAs1分块副对角矩阵：A = O 的充分必要条件：第三章1. 初等行变换：（运算符号： ） - 注意与行列式的运算加以区分互换两行，记做第 i 行乘以非0 常数 k，记做第j 行的k 倍加到第i 行上，记做2. 若矩阵 A 经过有限次初等变换成矩阵B，则称 A 与 B 等价，记做的充要条件是存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q ，使PAQ= B3. 矩阵之间等价关系的性质：反身性：对称性：若，则传递性：若，则4. 行阶梯形矩阵：精

14、品文档精品文档1）可画出一条阶梯线，线的下方全为零；2）每个台阶只有一行；3）阶梯线的竖线后面是非零行的第一个非零元素.行最简形矩阵：4）非零行的 首非零元为1;5）首非零元所在的列的其它元素都为零.5. 初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换 得到的矩阵。（是可逆的）1）单位矩阵对换 i， j 行，记作2）以常数k 0 乘单位矩阵第i 行（列）， 记作3）以k 乘单位矩阵第j 行加到第i 行，记作性质 1：左行右列设 A 是一个 m× n 矩阵，对 A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵；对 A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的 n 阶初

15、等矩阵 .性质 2：方阵 A 可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵P1, P2, P,l ，使 A = P1 P2 ,Pl r推论： 方阵 A 可逆的充要条件 是 A Er如果r，则存在可逆矩阵 P，使 PA = B。 ?：即当 A 变换成 B是时， E 变为 P（求 P）求方阵 A 的逆矩阵方法总结：方法 1：判断A 可不可逆：若?A 可逆- 书中 P41 页：注意伴随矩阵里每个代数余子式对应的符号方法 2：本身蕴含了判断 A 可不可逆的条件，即r?A 可逆- 书中 P64 页例 2r：即对矩阵(A,E)进行初等行变换，当A 变成 E时， E 就变成了所求的求：该方法用来求方程组?- 若，可先

16、化为r方法：即对矩阵 (A,B) 进行初等行变换，当A 变成 E 时， B 就变成了所求的二、 矩阵的秩1. k 阶子式：在m× n 矩阵 A 中，任取 k行 k列 ( k m， kn)，位于这些行列 交叉处的 k2 个元素 ，不改变它们在 A 中所处的位置次序而得的k 阶行列式 ，称为矩阵A 的 k 阶子式m× n 矩阵 A 的 k 阶子式共有个2. 矩阵的秩：设矩阵A 中有一个不等于零的r 阶子式D，且所有 r +1阶子式（如果存在的话）全等于零，那么D 称为矩阵 A 的最高阶非零子式，数r 称为矩阵A 的秩，记作 R(A)。 零矩阵的秩等于 0。常用：1）对于 n 阶

17、方阵 A， R(A) = n (称 A 满秩 ) ?A 可逆2）若，则 R(A) = R(B)求秩方法：将矩阵化为行阶梯形矩阵3）对于行阶梯形矩阵，它的秩等于非零行的行数4）5）若 P、Q 可逆，则 R(PAQ) = R(A) ()精品文档精品文档即：可逆矩阵与任何矩阵 A 相乘，都不会改变所乘矩阵6） max R(A), R(B) R(A, B) R(A) + R(B)A 的秩当 B = b 为非零列向量时，R(A) R(A, B) R(A) +7） R(A+B) R(A) + R(B)8） R(AB) min R(A), R(B)3. 线性方程组的解n 元非齐次线性方程组- P75 页例

18、13P79页 17题1）无解 ?有唯一解 ?2）有解 ?有无限解 ?n 元齐次线性方程组有非零解 ? R( A ) < n第四章一、向量组及线性组合1. n 维向量： n 个有次序的数 a, a ,a,n所组成的数组。这n 个数称为该向量的n 个分量，12第 i 个数 ai 称为第 i 个分量2. 向量组 ：若干个 同维数 的列向量（行向量）所组成的集合3. 给定向量组 A： a1, a2,a,m ，对于任何一组实数 k1, k2, , km ，表达式k a + k a +kma1 12 2m称为向量组A 的一个 线性组合 。k1, k2 ,k,m 称为这个线性组合的系数4.给定向量组A

19、： a , a ,a, 和向量 b ，如果存在一组实数l, l ,l, ，使得12m12mb = l a + la +lmam1122则向量 b 是向量组 A的线性组合，这时称向量 b 能由向量组 A 的线性表示向量 b 能由向量组 A的线性表示?R(A) = R(A, b)?方程组 x1a1 + x2a2 + xm am = b有解5.设有向量组A： a , a ,a,及B： b , b ,b, ， 若向量组B 中的每个向量都能由向量组A 线性表示，12m12l则称 向量组 B 能由向量组A 线性表示 若向量组A 与向量组B 能互相线性表示，则称这两个向量组等价 两个向量组等价?R(A) =

20、 R(B) = R(A, B)6. 向量组 B 能由向量组A 线性表示 ?存在矩阵 K，使 B = AK? 矩阵方程 AX=B 有解?R(A) = R(A,B)?R(B) R(A)（这是必要条件）二、向量组的线性相关性1. 给定向量组 A： a1, a2,a,m ，如果 存在不全为零 的实数 k1, k2,k, m ，使得ka+ ka2+ ka=0（零向量）112m m则称向量组A是线性相关 的，否则称它是 线性无关 的2.只含一个向量a 的向量组 A ，当 a = 0时， A 线性相关 ； a 0 时， A 线性无关只含两个向量 a , a的向量组 A，线性相关?a , a2的分量对应成比例

21、 。121向量组 A： a , a ,a, (m2)线性相关?向量组 A 中至少存在一个向量能由其余m-1 个向量线性表示。12m3. 向量组 A 线性 相关?m元齐次线性方程组Ax = 0 有非零解? R(A) < m向量组 A 线性 无关?m 元齐次线性方程组 Ax = 0 只有零解?R(A) = m4. n 维单位坐标向量组E ： e , e , e ，是 线性无关 的，且是最大的线性无关组之一。12n维单位坐标向量组E： e1, e2, ne能由向量组 A： a1, a2,a,m 线性表示? . R(A) = n5.定理1）若向量组A ： a , a ,a,线性相关，则向量组B

22、： a , a ,a, , am+1也线性相关12m12m其逆否命题也成立，即若向量组B 线性无关，则向量组A 也线性无关2） m 个 n 维向量组成的向量组，当维数n 小于向量个数 m 时，一定线性相关特别地，n + 1 个 n维向量一定线性相关3）设向量组A ： a , a ,a,线性无关，而向量组B ： a , a ,a, , b 线性相关，12m12m精品文档精品文档则向量b 必能由向量组A 线性表示，且表示式是唯一的三、向量组的秩1. 设有向量组 A ，如果在 A 中能选出 r 个向量 a1, a2, ,ar，满足向量组A0 ： a1, a2,a,r 线性无关；向量组A 中任意 r

23、+ 1 个向量（如果A 中有 r + 1 个向量的话）都线性相关；那么称向量组A0 是向量组A 的一个 最大线性无关向量组，简称最大无关组最大无关组所含向量个数r 称为向量组 A的秩，记作 RA 。 RA 向量组 A 中向量的个数只含零向量的向量组没有最大无关组，秩= 0。2.向量组 A 和它自己的最大无关组A 是等价的0推论：向量组 A0 线性无关；向量组A 中任意一个向量都能由向量组A0 线性表示；那么称向量组 A0 是向量组A 的一个最大无关组3.全体 n 维向量构成的向量组记作Rn，向量组 E 是 Rn 的一个最大无关组，且Rn 的秩等于 n4. 矩阵的秩等于它的列（行）向量组的秩5. 矩阵初等变换后保持列向量组之间的线性关系。如：向量组A ： a1, a2 , a3 , a4, a5，假设 A0： a1， a2，a4 是一个最大无关组，把a3 , a5 用 a 1，a2，a4 线性表示：2111210104可以看出：11 2 1 4 r 0 1 1 0 3Bb3 = - b1 - b 2b5 = 4b 1 + 3b2 - 3b 4A6224001340所以3697900000a= - a1- a2a = 4a1+ 3a