苏教版八年级下册数学[正方形(提高)知识点及重点题型梳理]

1、精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用苏教版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习正方形（提高）【学习目标】1理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系；2掌握正方形的性质及判定方法【要点梳理】要点一、正方形的定义四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 要点诠释： 既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.要点二、正方形的性质正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质. 1. 边四边相等、邻边垂直、对边平行；2. 角四个角都

2、是直角；3. 对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；4. 是轴对称图形，有4 条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心. 要点诠释： 正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形. 要点三、正方形的判定正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）.要点四、特殊平行四边形之间的关系或者可表示为：【典型例题】精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用类型一、正方形的性质1、如图，在正方形abcd 中，对角

3、线ac 、bd相交于点o，e、f分别在 od 、 oc上，且decf，连接 df、ae ，ae的延长线交df于点 m 求证： am df 【思路点拨】根据 de cf ，可得出oe of，继而证明 aoe dof ，得出 oae odf ，然后利用等角代换可得出dme 90，即得出了结论【答案与解析】证明： abcd是正方形，od oc ，又de cf，od de oc cf，即 oe of ，在 rtaoe和 rtdof中，aodoaoddofoeof，aoe dof ，oae odf ，oae aeo 90， aeo dem ，odf dem 90，即可得 am df 【总结升华】 此题考

4、查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是通过全等的证明得出 oae odf ，利用等角代换解题举一反三：【变式 1】如图四边形abcd 是正方形，点e、k分别在 bc ，ab上，点 g在 ba的延长线上，且 ce bk ag 以线段de、dg为边作defg (1)求证： de dg ，且 de dg (2) 连接 kf，猜想四边形cefk是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想【答案】证明： (1) 四边形 abcd是正方形，精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用 dc da ， dce dag 90又 ce ag ，dce dag ，edc gda ，de dg 又ade

5、 edc 90，ade gda 90， de dg (2)四边形 cefk为平行四边形证明：设ck ，de相交于 m点，四边形 abcd 和四边形defg都是正方形， ab cd ，ab cd ，ef dg ，efdg ； bk ag ， kg ab cd 四边形 ckgd 为平行四边形 ck dg ef，ck dg ef 四边形 cefk为平行四边形【 417083 正方形例 9】【变式 2】如图，三个边长均为2 的正方形重叠在一起，o1、o2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是_【答案】 2；提示：阴影部分面积等于正方形面积的一半. 类型二、正方形的判定2、 （2016?普宁市模拟）

6、如图，矩形abcd 中， ad=6 ，dc=8 ，菱形 efgh 的三个顶点e、g 、h分別在矩形abcd 的边 ab 、cd 、da上， ah=2 （1）已知 dg=6 ，求 ae的长；（2）已知 dg=2 ，求证：四边形efgh为正方形【思路点拨】（1）先根据矩形的性质，利用勾股定理列出表达式：hg2=dh2+dg2，he2=ah2+ae2，再根据菱形的性质，得到等式dh2+dg2=ah2+ae2，最后计算ae的长；（2）先根据已知条件，用hl 判定 rtdhg rt aeh ，得到菱形的一组邻边相等，进而判精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用定该菱形为正方形【答案与解析】解：

7、（1） ad=6 ， ah=2 dh=ad ah=4 四边形abcd 是矩形 a=d=90 在 rt dhg 中， hg2=dh2+dg2在 rt aeh中， he2=ah2+ae2四边形efgh 是菱形hg=he dh2+dg2=ah2+ae2即 42+62=22+ae2ae=4（2） ah=2 ，dg=2 ah=dg 四边形efgh 是菱形hg=he 在 rt dhg 和 rtaeh中rtdhg rtaeh （hl） dhg= aeh aeh+ ahe=90 dhg+ ahe=90 ghe=90 四边形efgh 是菱形四边形efgh 是正方形精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用【

8、总结升华】 本题主要考查了矩形、菱形的性质以及正方形的判定，解决问题的关键是掌握：矩形的四个角都是直角，菱形的四条边都线段，有一组邻边相等的菱形是正方形在解题时注意，求直角三角形的边长时，一般都需要考虑运用勾股定理进行求解举一反三：【变式】 （2015 春?上城区期末） 如图， 矩形 abcd中，ad=6 ，dc=8 ，菱形 efgh 的三个顶点e，g ，h分别在矩形abcd 的边 ab ，cd ，da上， ah=2 ，连结 cf（1）若 dg=2 ，求证：四边形efgh 为正方形；（2）若 dg=6 ，求 fcg的面积【答案】（1）证明：四边形efgh为菱形，hg=eh，ah=2 ， dg=

9、2 ，dg=ah，在 rtdhg和aeh中，rtdhg aeh ，dhg= aeh ，aeh+ ahg=90 ，dhg+ ahg=90 ，ghe=90 ，四边形efgh 为菱形，四边形efgh 为正方形；（2）解：作 fq cd于 q ，连结 ge ，如图，四边形abcd 为矩形，ab cd ，aeg= qge ，即 aeh+ heg= qgf+ fge ，四边形efgh 为菱形，he=gf ，he gf ，heg= fge ，aeh= qgf ，在aeh和qgf中，aeh qgf ，ah=qf=2 ，精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用dg=6 ， cd=8 ，cg=2 ，fcg的

10、面积 =cg?fq=22=2类型三、正方形综合应用3、e、f分别是正方形abcd 的边 ad和 cd上的点，若ebf 45(1) 求证： ae cf ef(2) 若 e 点、 f 点分别是边da 、cd的延长线上的点，结论（1）仍成立吗？若成立，请证明，若不成立，写出正确结论并加以证明【答案与解析】证明： （1）延长 dc ，使 ch ae ，连接 bh，四边形 abcd 是正方形，a bch 90，又 ab bc ，ch ae ， rt bae rt bch ，1 2，be bh 又1 3 490， 445，1 345， 2 345，在 ebf和 hbf中，,bebhebfhbfbfbfeb

11、f hbf ， ef fhfc ch ae cf即 ae cfef (2) 如图所示：不成立，正确结论：efcfae 证明：在cf上截取 ch ae ，连接 bh 四边形 abcd 是正方形，在 rt eab和 rthcb中，90aecheabhcbabbc, rt eab rthcb ， be bh ， eba hbc hbc abh 90，eba abh 90又ebf 45，hbf 45，精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用即 ebf hbf 在 ebf和 hbf中,bebhebfhbfbfbfebf hbf ， ef fh cf ch cf ae，即 ef cfae 【总结升华

12、】 本题主要考察正方形的性质，全等三角形的性质和判定，关键在于用“截长补短”的方法正确地作出辅助线.4、如图所示，已知a、b为直线l上两点，点c为直线l上方一动点，连接ac 、bc ，分别以 ac 、bc为边向 abc外作正方形cadf 和正方形cbeg ，过点 d作1ddl于点1d，过点 e作1eel于点1e（1）如图，当点e恰好在直线l上时（此时1e与 e重合），试说明1ddab ；（2）在图中，当d、e 两点都在直线l的上方时，试探求三条线段1dd、1ee、ab之间的数量关系，并说明理由；（3）如图，当点e在直线l的下方时，请直接写出三条线段1dd、1ee、 ab之间的数量关系（不需要证

13、明）【答案与解析】（1）证明：四边形cadf 、cbeg 是正方形，ad ca ，dac abc 90，1dad cab 90，1dd ab，dd1aabc 90，1dad1add 90，1add cab ，精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用在1add和 cab 中，11dd aabcaddcabadca，1add cab （aas ），1ddab ；（2）解： ab1dd1ee证明：过点c作 ch ab于 h，1dd ab，1dd a cha 90，1dad1add 90，四边形cadf是正方形，ad ca ，dac 90，1dad cah 90，1add cah ，在1add和

14、 cah 中，11dd achaaddcahadca，1add cah （aas ），1ddah ；同理：1eebh ，ab ah bh 1dd1ee；（3）解： ab1dd1ee证明：过点c作 ch ab于 h，1dd ab，精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用1dd a cha 90，1dad1add90，四边形cadf是正方形，ad ca ，dac 90，1dad cah 90，1add cah ，在1add和 cah 中，11dd achaaddcahadca，1add cah （aas ），1ddah ；同理：1eebh ，ab ah bh 1dd1ee【总结升华】 此题考

15、查了正方形的性质与全等三角形的判定与性质注意数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法举一反三：【变式】在正方形abcd 的边 ab上任取一点e，作 efab交 bd于点 f，取 fd的中点 g ，连接 eg 、cg ，如图，易证eg cg ，且 eg cg (1)将 bef绕点 b逆时针旋转90，如图，则线段eg和 cg有怎样的数量关系和位置关系 ?请直接写出你的猜想(2) 将 bef绕点 b逆时针旋转180，如图， 则线段 eg和 cg又有怎样的数量关系和位置关系 ?请写出你的猜想，并加以证明【答案】解： (1)eg cg ，且 eg cg 精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用(2)eg cg ，且 eg cg 证明：延长fe交 dc延长线于m