三角函数应用举例

1、三角函数型应用题1 如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池的池底水平铺设污水净化管道，是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.设计要求管道的接口是的中点，分别落在线段上.已知米，米，记.（1）试将污水净化管道的长度表示为的函数,并写出定义域；（2）若，求此时管道的长度；（3）问：当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度.解：（1）， 由于， ， .(2) 时，,;（3）= 设 则由于，所以 在内单调递减，于是当时时 ，的最大值米. 答：当或时所铺设的管道最短，为米.2某居民小区内建有一块矩形草坪abcd，ab=50米，bc=米，为了便于居民平时休闲散步，该小区物业管理公

2、司将在这块草坪内铺设三条小路oe、ef和of，考虑到小区整体规划，要求o是ab的中点，点e在边bc上，点f在边ad上，且eof=90°，如图所示（1）设boe=，试将的周长表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域；（2）经核算，三条路每米铺设费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低dabcoef总费用解：(1)在rtboe中，ob=25, b=90°，boe=，oe=.2分在rtaof中，oa=25, a=90°，afo=，of=.4分又eof=90°，ef=,即6分当点f在点d时，这时角最小，求得此时=；当点e在c点时，这时角最

3、大，求得此时=故此函数的定义域为.8分(2)由题意知，要求铺路总费用最低，只要求的周长的最小值即可.由（1）得，设，则，12分由，得，从而，15分当，即be=25时，,所以当be=ae=25米时，铺路总费用最低，最低总费用为元.16分qcpsdrab3. 如图，abcd是块边长为100的正方形地皮，其中ast是一半径为90的扇形小山，其余部分都是平地，一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点p在弧st上，相邻两边cq、cr落在正方形的边bc、cd上，求矩形停车场pqcr面积的最大值和最小值。 t解：设延长交于令-10故当时，s的最小值为,当 时 s 的4如图，在半径为、圆心角为的扇

4、形的弧上任取一点，作扇形的内接矩形，使点在上，点在上，设矩形的面积为,按下列要求写出函数的关系式：（1）设，将表示成的函数关系式；设，将表示成的函数关系式；请你选用（1）中的一个函数关系式，求出的最大值poabqmn解：（1）因为 ， ， 所以， 2分，所以. 4分因为，所以 6分所以，即， 8分（2）选择， 12分 13分所以. 14分5 如下图，某小区准备绿化一块直径为的半圆形空地，的内接正方形为一水池，外的地方种草,其余地方种花. 若 ，设的面积为，正方形的面积为，将比值称为“规划合理度”.（1）试用,表示和；（2）若为定值，当为何值时,“规划合理度”最小？并求出这个最小值（1）在中，3

5、分设正方形的边长为则，由，得，故所以6分（2）， 8分令，因为，所以，则10分所以，所以函数在上递减，12分因此当时有最小值，此时14分所以当时，“规划合理度”最小，最小值为15分ab2m2mmnedfpqccl6 如图所示，一条直角走廊宽为2米。现有一转动灵活的平板车，其平板面为矩形abef，它的宽为1米。直线ef分别交直线ac、bc于m、n，过墙角d作dpac于p，dqbc于q；若平板车卡在直角走廊内，且，试求平板面的长 (用表示)；若平板车要想顺利通过直角走廊，其长度不能超过多少米?解：（1）dm=，dn=，mf=，en=， ef=dm+dn-mf-en=+= （） （2）“平板车要想顺

6、利通过直角走廊”即对任意角（），平板车的长度不能通过，即平板车的长度；记 ，有=，= 此后研究函数的最小值，方法很多；如换元（记，则）或直接求导，以确定函数在上的单调性；当时取得最小值7（本小题满分15分） 一铁棒欲通过如图所示的直角走廊，试回答下列问题：（1）求棒长l关于的函数关系式：；（2）求能通过直角走廊的铁棒的长度的最大值解：（1）如图， （2）令，因为，所以，abc则，当时，随着的增大而增大，所以所以所以能够通过这个直角走廊的铁棒的最大长度为4 15分8 如图，a，b，c是三个汽车站，ac，be是直线型公路已知ab120 km，bac75°，abc45°有一辆车（

7、称甲车）以每小时96（km）的速度往返于车站a，c之间，到达车站后停留10分钟；另有一辆车（称乙车）以每小时120（km）的速度从车站b开往另一个城市e，途经车站c，并在车站c也停留10分钟已知早上8点时甲车从车站a、乙车从车站b同时开出（1）计算a，c两站距离，及b，c两站距离；（2）若甲、乙两车上各有一名旅客需要交换到对方汽车上，问能否在车站c处利用停留时间交换（3）求10点时甲、乙两车的距离（参考数据：，）（1）在abc中，acb60°，（2）甲车从车站a开到车站c约用时间为（小时）60（分钟），即9点到c站，至9点零10分开出乙车从车站b开到车站c约用时间为（小时）66（分钟

8、），即9点零6分到站，9点零16分开出则两名旅客可在9点零6分到10分这段时间内交换到对方汽车上（3）10点时甲车离开c站的距离为，乙车离开c站的距离为，两车的距离等于 9 如图所示，某动物园要为刚入园的小老虎建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，已知已有两面墙的夹角为60°（即），现有可供建造第三面围墙的材料6米（两面墙的长均大于6米），为了使得小老虎能健康成长，要求所建造的三角形露天活动室尽可能大，记，问当为多少时，所建造的三角形露天活动室的面积最大？解：在中，由正弦定理：3分化简得： 所以 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 8分即12分所以当即时，=14分答：当时，所建造的

9、三角形露天活动室的面积最大。15分另解：（下同）10 某港口o要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口o北偏西30°且与该港口相距20海里的a处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小船沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由30°aocd解：（1）设相遇时小艇航行的距离为s海里，则s 故当

10、t时，smin10，此时v30即小艇以30海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小（2）如图，由（1）得oc10，ac10，故ocac，且对于线段ac上任意点p，有opocac而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故轮船与小艇不可能在a、c（包含c）的任意位置相遇设cod（0），则在rtcod中，cd10tan，od，由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为t和t，所以 ，解得v又v30，故sin()，从而由于时，tan取得最小值，于是当时，t取得最小值.此时，在aob中，oaodad20，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮

11、船相遇三角函数应用举例例题选讲【例1】如图，塔ab和楼cd的水平距离为80米，从楼顶c处及楼底d处测得塔顶a的仰角分别为450和600，试求塔高与楼高(精确到0.01米)(参考数据：1.41421，1.73205)分析：此题可先通过解rtabd求出塔高ab，再利用cebd80米，解rtaec求出ae，最后求出cdbeabae解：在rtabd中，bd80米，bad600 ab(米) 在rtaec中，ecbd80米，ace450 aece80米 cdbeabae(米) 答：塔ab的高约为138. 56米，楼cd的高约为58. 56米【例2】如图，直升飞机在跨河大桥ab的上方p点处，此时飞机离地面的

12、高度po450米，且a、b、o三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为，求大桥ab的长(精确到1米，选用数据：1.41，1.73)分析：要求ab，只须求出oa即可。可通过解rtpoa达到目的解：在rtpao中，pao oa(米) 在rtpbo中，pbo obop450(米) aboaob(米)答：这座大桥的长度约为329米评注：例1和例2都是测量问题(测高、测宽等)，解这类问题要理解仰角、俯角的概念，合理选择关系式，按要求正确地取近似值【例3】一艘渔船正以30海里小时的速度由西向东追赶鱼群，在a处看见小岛c在船的北偏东600方向，40分钟后，渔船行至b处，此时看见小岛c在船的北偏东300方向

13、，已知以小岛c为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区域的可能？分析：此题可先求出小岛c与航向(直线ab)的距离，再与10海里进行比较得出结论解：过c作ab的垂线cd交ab的延长线于点d ， ， 10 这艘渔船继续向东追赶鱼群不会进入危险区域评注：此题是解直角三角形的应用问题中的一个重要题型航海问题，解这类题要弄清方位角、方向角的概念，正确地画出示意图，然后根据条件解题 【例4】某水库大坝横断面是梯形abcd，坝顶宽cd3米，斜坡ad16米，坝高8米，斜坡bc的坡度13，求斜坡ab的坡角和坝底宽ab分析：此题可通过作梯形的高，构造直

14、角三角形使问题得以解决解：作deab，cfab，垂足分别为e、f在rtade和rtbcf中 a300 又， bf3cf3×824 abaeefbf(米)答：斜坡ab的坡角a300，坝底宽ab为米。评注：此类问题首先要弄清楚坡角与坡度的关系（坡度是坡角的正切值），其次是作适当的辅助线构造直角三角形练习精选1如图，苏州某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为20cm，深为30cm，为了方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起始点为a，斜坡的起始点为c，现将斜坡的坡角bca设计为12°，求ac的长度(精确到1cm)2已知：在abc中，c90°，点d在bc上，若b，adc

15、，bdm，求cd的长3已知水库大坝的横断面是梯形abcd，坝顶宽bc4米，坝高be18米，斜坡ab的坡角的余弦值为0.8，斜坡cd的坡度11，求斜坡ab和坝底宽ad的长4年某省将地处a、b两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便a、b两地师生的交往，学校准备在相距2km的a、b两地之间修筑一条笔直公路(即图中的线段ab)，经测量，在a地的北偏东60°方向、b地的西偏北45°方向的c处有一个半径为0.7km的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园?为什么?5如图，自卸车厢的一个侧面是矩形abcd，ab3米，bc0.5米，车厢底部离地面1.2米，卸货时，车厢倾斜的角度，

16、问此时车厢的最高点a离地面多少米？（精确到1米）解：过点a、d分别作ce的垂线ag、df，垂足分别为g、f，过d作dhag于h，则有：于是a点离地面的高度为（米）答：车厢的最高点a离地面约为4米6如图所示，cd是平面镜，光线从a点出发经cd上点e反射后照射到b点，若入射角为(入射角等于反射角），accd，bdcd，垂足分别为c、d，且ac3，bd6，cd11，求的值7水池边一个高1.8米的人看到对面池边一棵树上有一只鸟，向上望仰角为45°，而看鸟在水中的像在池中的俯角为60°，如图求这只鸟相对于水池的高度8台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围10km范围内形成气旋风

17、暴，有极强的破坏力据气象观测，距沿海某城市a的正南方向220kmb处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20km，风力就会减弱一级该台风中心现正以15kmh的速度沿北偏东30°方向往c移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响(如图所示)(1).该城市是否会受到这次台风的影响?请说明理由。(2).若会受台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长?(3).该城市受到台风影响的最大风力为几级?9城市规划期间，欲拆除一电线杆ab(如图)已知距电线杆ab水平距离14米的d处有一个大坝，背水坡cd的坡度i10.5，坝高cf为2米在坝顶c处测得杆顶

18、a的仰角为30°，d、e之间是宽为2米的人行道试问：在拆除电线杆ab时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上？请说明理由(地面上，以b为圆心，以ab长为半径的圆形区域为危险区域)(精确到0.1米)10如图，沿水库拦水坝的背水坡将坝顶加宽2米，坡度由原来的1：2改成现在的1：2.5，已知坝高6米，拦水坝长50米，(1)求加宽部分横断面afeb的面积；(2)完成这一工程需要多少方土?11已知：如图，bcac，ad，bd，求ac和bc的长12如图，有一静止的广告气球。浮在空中，小飞由山脚下一点a处测得气球o的仰角为45°他又从点a处沿倾斜角为20°42的山坡前进1200m到b处，再次测得气球o的仰角为65°，你能帮小飞利用测得的数据计算出气球o离地面的高度吗？(结果精确到1m)13已知在锐角abc中，abac，bc4，d是ac边上一点，adcd31，求(1)