三角函数高考必备实用知识点

1、江苏高考数学必备知识点江阴一中内部材料 三角函数知识点第一单元 正、余弦定理及应用一、知识精点讲解1直角三角形中各元素间的关系：如图，在abc中，c90°，abc，acb，bca。（1）三边之间的关系：a2b2c2。（勾股定理）（2）锐角之间的关系：ab90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sinacosb，cosasinb，tana。2斜三角形中各元素间的关系：如图6-29，在abc中，a、b、c为其内角，a、b、c分别表示a、b、c的对边。（1）三角形内角和：abc。（2）正弦定理： 。 （r为外接圆半径）【变式】：； ；。 在这个式子当中，已知两边和一角或

2、已知两角和一边，可以求出其它所有的边和角.（3）余弦定理： a2b2c22bccosa；b2c2a22cacosb；c2a2b22abcosc。 , , 3三角形的面积公式：（1）sahabhbchc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；（2）sabsincbcsinaacsinb； (3) 其中为三角形内切圆半径，为周长之半二 常用方法与常见结论 1 角化边 边化角凡在同一式子中既有角又有边的题，要将所有角转化成边或所有边转化成角，在转化过程中需要构造公式形式.2 解斜三角形的主要依据是：设abc的三边为a、b、c，对应的三个角为a、b、c。（1）角与角关系：a+b+c = ； （2

3、）边与边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边a + b > c，b + c > a，c + a > b，ab < c，bc < a，ca > b；（3）边与角关系：sin(a+b)=sinc； cos(a+b)=cosc； tan(a+b)=tanc。；3 在abc中，熟记并会证明（1）.成等差数列的充分必要条件是（2）是正三角形的充分必要条件是成等差数列且成等比数列 （3）三边成等差数列 ；.（4）三边成等比数列,. (5)锐角中, ， ；. (6)两内角与其正弦值：在中，4判断三角形的形状.根据余弦定理，当，中有一个关系式成立时，该三角形为钝角三

4、角形，而当，中有一种关系式成立时，并不能得出该三角形为锐角三角形的结论. 锐角三角形：三内角都是锐角；三内角的余弦值为正值；任两角和都是钝角；任意两边的平方和大于第三边的平方.5 判断三角形形状的方法：(1) 角化边 将已知式所有的边和角转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.(2) 边化角 将已知式所有的边和角转化为内角三角函数间的关系，通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，这时要注意使用这个结论.在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取出公因式，以免漏解.6正余弦定理实际应用求距离两点间不可通又不可视两点间可视但不可

5、达两点都不可达求高度底部可达底部不可达计算高度；计算距离；计算角度；测量方案的设计实际应用题型的本质就是解三角形，无论是什么样的现象，都要首先画出三角形的模型，再通过正弦定理和余弦定理进行求解.7.三角学中的射影公式：在中，. 三角学中的射影定理：在中，；.bdoca第二单元 三角恒等变形及应用一 公式1两角和与差的三角函数；。变形： 2二倍角公式；。变形：降幂公式；。 , , 3辅助角公式，。二 题型1三角函数式的化简 常用方法：直接应用公式进行降次、消项；切化弦，异名化同名，异角化同角； 三角公式的逆用等。化简要求：能求出值的应求出值；使三角函数种数尽量少；使项数尽量少；尽量使分母不含三角

6、函数；尽量使被开方数不含三角函数。2三角函数的求值（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。3三角等式的证明三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；三、三角恒等变换常用

7、的数学思想方法技巧： （1）角的变换（配角法）：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍。；问： ； ； ，；，； 等等例 已知，求的值（答：）（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切、割为弦，变异名为同名。（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，常值可作特殊角的三角函数值来代换.此外，对常值 “1”可作

8、如下代换：（4）幂的变换： “二次”与“一次”的互化. 降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用降幂公式有：，。 降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式常用升幂化为有理式，常用升幂公式有： ； ；（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。 如：； ； ； ； ； = ； = ； （其中 ；） ； ；（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；基本规则是：切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，特殊值与特殊角的三角函数互化。如： ； ； ； （7）引入辅助角 ， . 特别的

9、，;， 等. （8）整体代换 举例： 举例：，可求出整体值， 作为代换之用.第三单元 三角函数的图象与性质一、知识精点讲解1正弦函数、余弦函数、正切函数的图像2三角函数的单调区间：的递增区间是， 递减区间是；的递增区间是，递减区间是，的递增区间是，3函数最大值是，最小值是，周期是， 频率是，相位是，初相是； 4由ysinx的图象变换出ysin(x)的图象两个途径途径一：先平移变换再周期变换 途径二：先周期变换再平移变换。函数的图象经过怎样的变换才能得到的图象？ 5由yasin(x)的图象求其函数式：给出图象确定解析式y=asin（x+）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（，0）作为突破口，

10、要从图象的升降情况找准第一个零点的位置。，的图象如图所示，则_6对称轴与对称中心：的对称轴为，对称中心为；的对称轴为，对称中心为；函数(1)对称轴方程:由,解出(2)对称中心,其中,即奇偶性: 函数(1)为奇函数(2)为偶函数7求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意a、的正负 利用单调性比较三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间；函数的递减区间是_（答：）；8求三角函数的周期的常用方法： 函数，(为常数，且)的 周期 ；函数，(为常数，且)的周期 如 函数的最小正周期为 _9五点法作y=asin（x+）的简图：五点取法是设t =x+，由t取0、2来

11、求相应的x值及对应的y值，再描点作图。10. 三角函数的最值（1）(或)型：用(或)求解.但要注意的正负；（2）型，运用重要等式求解；（3）(或)型：设(或)，则，化为二次函数的最问题；（4）(或)型：解出(或)，用(或)求解，或用分离常数法；（5）(或)型：整理后运用重要等式求解；（6）含有型：设，将转化为的关系式，化为二次函数的最值问题。 ( 7 ) ； 如 求的最值 与 图象的对称中心和对称轴 如 函数的最小值是_， 此时_第四单元 任意角的三角函数一、角的概念和弧度制：（1）在直角坐标系内讨论角：角的顶点在原点，始边在轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。若角的终边

12、在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。（2）与角终边相同的角的集合：与角终边在同一条直线上的角的集合： ；与角终边关于轴对称的角的集合： ；与角终边关于轴对称的角的集合： ；与角终边关于轴对称的角的集合： ； 一些特殊角集合的表示：终边在坐标轴上角的集合： ；终边在一、三象限的平分线上角的集合： ；终边在二、四象限的平分线上角的集合： ；终边在四个象限的平分线上角的集合： ；（3）第一象限角： ； 第三象限角： ； 第一、三象限角 ： ；（4）要正确理解 “第一象限的角”= ；“锐角”= ；“小于的角”= ；（5）由的终边所在的象限, 来判断所在的象限。 （6）弧度制： 角的弧度

13、数的绝对值，角度制与弧度制的换算主要抓住 。弧度与角度互换公式：1rad°57.30°=57°18、1°0.01745（rad）。弧长公式：（是圆心角的弧度数），扇形面积公式：。 圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角公式：; 经过圆锥顶点的最大截面的面积为（圆锥的母线长为，轴截面顶角是）： 圆台侧面展开图（扇环）的圆心角公式：二、任意角的三角函数：（1）任意角的三角函数定义：以角的顶点为坐标原点，始边为轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点到原点的距离记为= ，则 ； ； ； 如：角的终边上一点，则 。（2）在图中画出角的正弦线、余弦线、

14、正切线；xyoaxyoaxyoayoa比较，的大小关系： 。（3）特殊角的三角函数值：0sincos， ， 三、同角三角函数的关系与诱导公式：（1）同角关系 平方关系是 商式关系是 作用： 已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。注意：用平方关系，有两个结果，一般可通过已知角所在的象限加以取舍，或分象限加以讨论。注意：巧用勾股数求三角函数值可提高解题速度：（3，4，5）；（6，8，10）；（5，12，13）； （8，15，17）注意 齐次式的处理方法 已知，求（2）诱导公式：可用十个字概括为“奇变偶不变，符号看象限”。诱导公式一：，其中诱导公式二： ； 诱导公式三： ； 诱导公式四：； 诱导公式五：； ：