三角形的四心问题(最全面精品)

1、 打造最具专业性的教育集团三角形的外心、内心、重心、垂心序号名称定义图形性质1三角形的外心三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)1.三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等都等于三角形的外接圆半径；2.锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外2三角形的内心三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)1.三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径；2.直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一3三角形的重心三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心1.三角形的重心到边

2、的中点与到相应顶点的距离之比为 1 2；2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等；3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小4三角形的垂心三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心abcdefo1.三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍；锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍；2.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外 l 三角形的外心定义：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心.三角形外接圆的圆心也就是三角形三边垂直平分线的交点，三角形的三个顶点就在这个外接圆上.性质：三角形的外心到三角

3、形的三个顶点距离相等都等于三角形的外接圆半径.用三角形的三边和面积表示外接圆半径的公式 公式中 是这三角形的三条边，s为三角形的面积.证明：例题精讲一、求三角形的外接圆的半径1、直角三角形如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边.例1已知：在abc中，ab13，bc12，ac5，求abc的外接圆的半径.2、一般三角形已知一角和它的对边例2如图，在abc 中，ab10，c100°，求abc外接圆o的半径.（用三角函数表示）例3如图，已知，在abc 中，ab10，a70°，b50°求abc外接圆o的半径.已知两边夹一角例4如图，已知，

4、在abc 中，ac2，bc3，c60°求abc外接圆o的半径.已知三边例5如图，已知，在abc 中，ac13，bc14，ab15，求abc外接圆o的半径.l 三角形的内切圆定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.内心性质：内心到三角形三边的距离相等；内心与顶点连线平分内角.内切圆半径;一般三角形中，r=(s为三角形面积）rt中，r=（a,b为直角边，c为斜边）例题精讲：探索1：如图，在abc中，点o是内心，abc=50°，acb7°，求boc的度数.变式1：在abc中，点o是内心，bac=50&#

5、176;，求boc的度数.变式2：在abc中，点o是内心，boc=120°，求bac的度数.探索2：.已知abc的三边长分别为a，b，c，它的内切圆半径为r，你会求abc的面积吗？探索3：如图，直角三角形的两直角边分别是a，b,斜边为c 求其内切圆的半径和外接圆半径r.二、求三角形的内切圆的半径1、直角三角形例 已知：在abc 中，c90°，acb，bca，abc求abc外接圆o的半径.2、一般三角形已知三边例 已知：如图，在abc 中，ac13，bc14，ab15求abc内切圆o的半径r.已知两边夹一角例 已知：如图，在abc 中，sinb=,ab5，bc6求abc内切圆

6、o的半径r.已知两角夹一边例 已知：如图，在abc 中，b60°，c45°,bc6求abc内切圆o的半径r.(精确到0.1)总之，只要通过边、角能确定三角形，就可以借鉴上面的方法求出这个三角形的外接圆和内切圆的半径. l 三角形的重心三角形重心是三角形三条中线的交点.性质：1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.3.重心到三角形3个顶点距离的平方最小.例：已知：abc，e、f是ab，ac的中点.ec、fb交于g.求证：eg=1/2cg例：在abc内，三边为a，b，c，点o是该三角形的重心，aoa'、bob'、coc'分别为a、b、c边上的中线.根据重心性质知：例题精讲：求线段长例如图3所示，在rtabc中，a=30°，点d是斜边ab的中点，当g是rtabc的重心，geac于点e，若bc=6cm，则ge=     &