高考数学圆锥曲线知识点、题型、易误点、技巧总结

1、高考数学圆锥曲线概念方法题型易误点技巧总结一. 圆锥曲线的两个定义：（1） 第一定义 中要 重视“括号”内的限制条件： 椭圆中 ， 与两个定点f1， f2的距离的和等于常数2a，且此 常数2a一定要大于21ff，当常数等于21ff时，轨迹是线段f1f2，当常数小于21ff时，无轨迹；双曲线中 ，与两定点f1，f2的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a一定要小于 | f1f2| ，定义中的 “绝对值”与2a|f1f2| 不可忽视 。若2a|f1f2| ，则轨迹是以f1，f2为端点的两条射线，若2a|f1f2| ，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。（2）第二定义 中

2、要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“ 点点距为分子、点线距为分母” ，其商即是离心率e。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。练习：1. 已知定点) 0, 3(),0, 3(21ff，在满足下列条件的平面上动点p 的轨迹中是椭圆的是（答：c） ；a421pfpfb621pfpfc1021pfpfd122221pfpf2. 方程2222(6)(6)8xyxy表示的曲线是_（答：双曲线的左支）3. 已知点)0,22(q及抛物线42xy上一动点 p（x,y）,则 y+|pq|的最小值是 _（答： 2）二. 圆锥曲线

3、的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点， 坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆 ：焦点在x轴上时12222byax（0ab）cossinxayb（参数方程，其中为参数） ， 焦点在y轴上时2222bxay1 （0ab） 。 方程22axbyc表示椭圆的充要条件是什么？（ abc0，且 a，b，c 同号， a b） 。（ 2）双曲线 ：焦点在x轴上：2222byax =1 ，焦点在y轴上：2222bxay1（0,0ab） 。方程22axbyc表示双曲线的充要条件是什么？（abc 0，且 a，b 异号）。（ 3） 抛 物 线 ： 开 口 向 右 时22(0)ypx p， 开 口 向

4、左 时22(0)ypx p， 开 口 向 上 时22(0)xpy p，开口向下时22(0)xpy p。练习：1. 已知方程12322kykx表示椭圆，则k的取值范围为 _（答：11( 3,)(,2)22） ；2. 若ryx,，且62322yx，则yx的最大值是 _，22yx的最小值是 _（答：5,2）3. 双曲线的离心率等于25，且与椭圆14922yx有公共焦点，则该双曲线的方程_ 4. 设中心在坐标原点o，焦点1f、2f在坐标轴上，离心率2e的双曲线 c 过点)10, 4(p，则 c 的方程为 _（答：226xy）5. 已知方程12122mymx表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是_

5、 三. 圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆 ：由x2,y2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。（2）双曲线 ：由x2,y2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线 ：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。特别提醒 ： （1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点f1，f2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数,a b，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，a最大，222abc，在双曲线中，c最大，2

6、22cab。四. 圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆 （以12222byax（0ab）为例）：范围：,axabyb；焦点：两个焦点(,0)c；对称性：两条对称轴0,0 xy，一个对称中心（0,0 ） ，四个顶点(,0),(0,)ab，其中长轴长为2a，短轴长为2b；准线：两条准线2axc； 离心率：cea，椭圆01e，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。（2）双曲线 （以22221xyab（0,0ab）为例）：范围：xa或,xa yr；焦点：两个焦点(,0)c；对称性：两条对称轴0,0 xy，一个对称中心（0,0 ） ，两个顶点(,0)a，其中实轴长为2a，虚轴长为2b，特别地，当实轴和虚轴的长相

7、等时，称为等轴双曲线，其方程可设为22,0 xyk k；准线：两条准线2axc； 离心率：cea，双曲线1e，等轴双曲线2e，e越小，开口越小，e越大，开口越大；两条渐近线：byxa。（3）抛物线 （以22(0)ypx p为例）：范围：0,xyr；焦点：一个焦点(,0)2p，其中p的几何意义是： 焦点到准线的距离；对称性： 一条对称轴0y， 没有对称中心， 只有一个顶点 （0,0） ；准线：一条准线2px； 离心率：cea，抛物线1e。练习：1. 若椭圆1522myx的离心率510e，则m的值是 _（答： 3 或325） ；2. 以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1 时，则椭

8、圆长轴的最小值为_ 3. 双曲线的渐近线方程是023yx，则该双曲线的离心率等于_（答：132或133） ；4. 双曲线221axby的离心率为5，则:a b= （答： 4 或14） ；5. 设双曲线12222byax（a0,b0）中，离心率 e2,2,则两条渐近线夹角 的取值范围是 _（答：,32） ；6. 设raa,0，则抛物线24axy的焦点坐标为_（答：)161, 0(a） ；五、 点00(,)p xy和椭圆12222byax（0ab） 的关系 ：（1） 点00(,)p xy在椭圆外2200221xyab；（2）点00(,)p xy在椭圆上220220byax 1； （3）点00(,)

9、p xy在椭圆内2200221xyab六直线与圆锥曲线的位置关系：（1）相交：0直线与椭圆相交；0直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0是直线与双曲线相交的充分条件， 但不是必要条件；0直线与抛物线相交， 但直线与抛物线相交不一定有0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。如（2）相切：0直线与椭圆相切；0直线与双曲线相切；0直线与抛物线相切；（3）相离：0直线与椭圆相离；0直线与双曲线相离；0直线与抛物线相离。特别提醒 ： （ 1）直线与双

10、曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点； 如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交 ,也只有一个交点； （2）过双曲线2222byax1 外一点00(,)p xy的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下： p 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条； p点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；p 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；

11、p 为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线. 练习：1. 若直线 y=kx+2 与双曲线 x2-y2=6 的右支有两个不同的交点，则k 的取值范围是_ 2. 直线 ykx 1=0 与椭圆2215xym恒有公共点，则m 的取值范围是_ 3. 过双曲线12122yx的右焦点直线交双曲线于a、b 两点，若 ab 4，则这样的直线有_条4. 过点)4 ,2(作直线与抛物线xy82只有一个公共点，这样的直线有_（答： 2） ；5. 过点 (0,2)与双曲线116922yx有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为_ 6. 过

12、双曲线1222yx的右焦点作直线l交双曲线于a、b 两点， 若ab4，则满足条件的直线l有_ 7. 对于抛物线c：xy42，我们称满足0204xy的点),(00yxm在抛物线的内部，若点),(00yxm在抛物线的内部，则直线l：)(200 xxyy与抛物线c 的位置关系是_（答：相离） ；8. 过抛物线xy42的焦点f作一直线交抛物线于p、q 两点，若线段pf 与 fq 的长分别是p、q，则qp11_（答： 1） ；9. 设双曲线191622yx的右焦点为f，右准线为l，设某直线m交其左支、右支和右准线分别于rqp,，则pfr和qfr的大小关系为_(填大于、小于或等于) （答：等于）；10.

13、求椭圆284722yx上的点到直线01623yx的最短距离（答：8 1313） ；11. 直线1axy与双曲线1322yx交于a、b两点。当a为何值时，a、b分别在双曲线的两支上？当a为何值时，以ab 为直径的圆过坐标原点？（答：3,3；1a） ；七、焦半径 （圆锥曲线上的点p 到焦点 f 的距离） 的计算方法 ：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径red，其中d表示 p 到与 f 所对应的准线的距离。练习：1. 已知椭圆1162522yx上一点p 到椭圆左焦点的距离为3，则点p 到右准线的距离为_（答：353） ；2. 已知抛物线方程为xy82， 若抛物线上一点到y轴的距离

14、等于5， 则它到抛物线的焦点的距离等于_；3. 若该抛物线上的点m到焦点的距离是4，则点m的坐标为 _（答：7,(2,4)） ；4. 点 p在椭圆192522yx上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点p 的横坐标为 _ 5. 抛物线xy22上的两点 a、b 到焦点的距离和是5，则线段 ab 的中点到y轴的距离为 _ 6.椭圆13422yx内有一点)1, 1(p，f 为右焦点，在椭圆上有一点m，使mfmp2之值最小，则点 m 的坐标为 _（答：)1,362(） ；八、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题 ：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一

15、点00(,)p xy到两焦点12,f f的距离分别为12,r r，焦点12f pf的面积为s，则在椭圆12222byax中， ) 12arccos(212rrb，且当12rr即p为短轴端点时，最大为max222arccosacb；20tan|2sbc y，当0|yb即p为短轴端点时，maxs的最大值为bc；对于双曲线22221xyab的焦点三角形有：21221arccosrrb；2cotsin21221brrs。练习：1. 短轴长为5，离心率32e的椭圆的两焦点为1f、2f，过1f作直线交椭圆于a、b 两点，则2abf的周长为 _（答： 6） ；2. 设 p 是等轴双曲线)0(222aayx右

16、支上一点，f1、f2是左右焦点，若0212ffpf， |pf1|=6，则该双曲线的方程为（答：224xy） ；3. 椭圆22194xy的焦点为f1、f2，点 p 为椭圆上的动点，当pf2pf1 0 时，点 p的横坐标的取值范围是（答：3 5 3 5(,)55） ；4. 双曲线的虚轴长为4，离心率 e26，f1、f2是它的左右焦点，若过f1的直线与双曲线的左支交于a、b两点，且ab是2af与2bf等差中项，则ab_（答：8 2） ；5. 已知双曲线的离心率为2， f1、 f2是左右焦点， p 为双曲线上一点， 且6021pff，31221fpfs 求该双曲线的标准方程（答：221412xy） ；

17、九、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质： （1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设 ab为焦点弦， m 为准线与x 轴的交点，则amf bmf ； （3）设 ab为焦点弦， a、b在准线上的射影分别为 a1，b1，若 p为 a1b1的中点，则papb ； （ 4）若 ao的延长线交准线于c，则 bc平行于 x 轴，反之，若过b点平行于x 轴的直线交准线于c点，则 a，o，c三点共线。十、弦长公式：若直线ykxb与圆锥曲线相交于两点a、b，且12,x x分别为a、b 的横坐标，则ab2121kxx，若12,yy分别为 a、b 的纵坐标，则ab21211yyk，若弦 ab 所在直线方

18、程设为xkyb，则ab2121kyy。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。练习：1. 过抛物线y2=4x 的焦点作直线交抛物线于a （x1， y1） ， b （x2， y2） 两点，若 x1+x2=6， 那么 |ab|等于 _ 2. 过抛物线xy22焦点的直线交抛物线于a、b 两点，已知 |ab|=10 ，o 为坐标原点，则abc重心的横坐标为 _（答： 3） ；十一、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在 椭圆12222byax中，以00(,)p xy为中点的弦所在直线

19、的斜率k= 0202yaxb；在双曲线22221xyab中，以00(,)p xy为中点的弦所在直线的斜率k=0202yaxb；在抛物线22(0)ypx p中，以00(,)p xy为中点的弦所在直线的斜率k=0py。练习：1. 如果椭圆221369xy弦被点a （ 4， 2）平分，那么这条弦所在的直线方程是（答：280 xy） ；2.已知直线y=x+1 与椭圆22221(0)xyabab相交于 a、b 两点，且线段ab 的中点在直线l：x2y=0 上，则此椭圆的离心率为_（答：22） ；特别提醒 ：因为0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0！十二你

20、了解下列结论吗？（1）双曲线12222byax的渐近线方程为02222byax；（2）以xaby为渐近线（即与双曲线12222byax共渐近线）的双曲线方程为(2222byax为参数， 0）。（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为221mxny；（4）椭圆、 双曲线的通径 （过焦点且垂直于对称轴的弦）为22ba，焦准距 （焦点到相应准线的距离）为2bc，抛物线的通径为2p，焦准距为p；（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；（6）若抛物线22(0)ypx p的焦点弦为ab ，1122(,),(,)a x yb xy，则12|abxxp；221212,4px xy yp

21、（7）若 oa 、ob是过抛物线22(0)ypx p顶点 o的两条互相垂直的弦，则直线ab恒经过定点(2,0)p13动点轨迹方程：（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围；（2）求轨迹方程的常用方法：直接法：直接利用条件建立, x y之间的关系( , )0f x y；如已知动点 p到定点 f(1,0) 和直线3x的距离之和等于 4，求 p 的轨迹方程（答：212(4)(34)yxx或24 (03)yxx）；待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。如线段 ab 过 x 轴正半轴上一点m（m，0）)0(m，端点 a、b 到

22、 x 轴距离之积为2m，以 x 轴为对称轴，过a、o、b 三点作抛物线，则此抛物线方程为（答：22yx） ；定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；如(1) 由动点 p向圆221xy作两条切线pa、pb，切点分别为a、b， apb=600，则动点 p的轨迹方程为（答：224xy） ； （2） 点 m与点 f(4,0) 的距离比它到直线05xl：的距离小于1， 则点 m的轨迹方程是 _ （答：216yx）； (3)一动圆与两圆m ：122yx和 n：012822xyx都外切，则动圆圆心的轨迹为（答：双曲线的一支）；代入转移法：动点( , )p x y

23、依赖于另一动点00(,)q xy的变化而变化，并且00(,)q xy又在某已知曲线上，则可先用,x y的代数式表示00,xy，再将00,xy代入已知曲线得要求的轨迹方程；如动点 p是抛物线122xy上任一点，定点为)1,0(a, 点 m分pa所成的比为2，则 m的轨迹方程为 _（答：3162xy）；参数法：当动点( , )p x y坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将, x y均用一中间变量（参数） 表示，得参数方程， 再消去参数得普通方程）。如（1）ab是圆 o的直径， 且|ab|=2a，m为圆上一动点， 作 mn ab，垂足为 n，在 om上取点p，使| |opmn，

24、求点p的轨迹。（答：22|xya y）；（2）若点),(11yxp在圆122yx上运动，则点),(1111yxyxq的轨迹方程是 _ （答：2121(|)2yxx）； （3）过抛物线yx42的焦点 f 作直线l交抛物线于a 、b两点，则弦ab的中点 m的轨迹方程是 _（答：222xy）；注意 ：如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。如已 知 椭 圆)0( 12222babyax的左、右焦点分别是f1（ c，0） 、f2（c，0） ，q 是椭圆外的动点，满足.2|1aqf点 p

25、 是线段 f1q 与该椭圆的交点，点t 在线段f2q 上，并且 满 足.0| , 022tftfpt（ 1） 设x为 点 p 的横坐标，证明xacapf|1； （2） 求点 t 的轨迹 c 的方程； （3） 试问：在点 t 的轨迹 c 上，是否存在点m， 使 f1mf2的面积 s=.2b若存在，求 f1mf2的正切值；若不存在，请说明理由. （答： （1）略； （ 2）222xya； （3）当2bac时不存在；当2bac时存在，此时 f1mf22）曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点 对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响. 在与圆锥曲线相关的综合题

26、中，常借助于 “平面几何性质”数形结合( 如角平分线的双重身份对称性、利用到角公式 ) 、 “方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等. 如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点” ，那么 可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化 . 14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：（1） 给出直线的方向向量ku,1或nmu,；（2）给出oboa与ab相交 ,等于已知oboa过ab的中点 ; （3）给出0pnpm,等于已知p是mn的中点 ; （4）给出bqbpaqap,等于已知qp,与ab的中点三点共线 ; （ 5 ）给

27、出 以 下 情 形 之 一 ： acab /； 存 在 实 数,abac使； 若 存 在 实 数,1,ocoaob且使, 等于已知cba,三点共线 . （6） 给出1oboaop，等于已知p是ab的定比分点，为定比，即pbap（7） 给出0mbma,等于已知mbma,即amb是直角 ,给出0mmbma,等于已知amb是钝角 , 给出0mmbma,等于已知amb是锐角 , （8）给出mpmbmbmama,等于已知mp是amb的平分线 / （9）在平行四边形abcd中，给出0)()(adabadab，等于已知abcd是菱形 ; （10） 在平行四边形abcd中，给出| |abadabad，等于已知

28、abcd是矩形 ; （11）在abc中，给出222ocoboa，等于已知o是abc的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；（12） 在abc中，给出0ocoboa，等于已知o是abc的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（13）在abc中，给出oaococoboboa，等于已知o是abc的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点） ；（14）在abc中，给出oaop()|abacabac)(r等于已知ap通过abc的内心；（15）在abc中，给出,0occobboaa等于已知o是abc的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；（

29、16） 在abc中，给出12adabac,等于已知ad是abc中bc边的中线 ;求解圆锥曲线问题的几种措施圆锥曲线中的知识综合性较强，因而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段来处理问题。熟记各种定义、基本公式、法则固然重要，但要做到迅速、准确解题，还须掌握一些方法和技巧。一. 紧扣定义，灵活解题灵活运用定义，方法往往直接又明了。例 1. 已知点 a（3，2） ，f（2，0） ，双曲线xy2231，p为双曲线上一点。求|papf12的最小值。解析：如图所示，双曲线离心率为2，f 为右焦点，由第二定律知12|pf即点 p 到准线距离。| | |papfpapeam1252二. 引入参数，

30、简捷明快参数的引入，尤如化学中的催化剂，能简化和加快问题的解决。例 2. 求共焦点 f、共准线l的椭圆短轴端点的轨迹方程。解：取如图所示的坐标系，设点f 到准线l的距离为 p（定值），椭圆中心坐标为m（t，0） （t 为参数）pbc2，而ctbpcpt2再设椭圆短轴端点坐标为p（x，y） ，则xctybpt消去 t，得轨迹方程ypx2三. 数形结合，直观显示将“数”与“形”两者结合起来，充分发挥“数”的严密性和“形”的直观性，以数促形，用形助数，结合使用，能使复杂问题简单化，抽象问题形象化。熟练的使用它，常能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦的问题。例 3. 已知x yr,，且满足方程xyy2230

31、()，又myx33，求 m 范围。解析：myx33的几何意义为，曲线xyy2230()上的点与点（3， 3）连线的斜率，如图所示kmkpapb332352m四. 应用平几，一目了然用代数研究几何问题是解析几何的本质特征，因此，很多“解几”题中的一些图形性质就和“平几”知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解。例 4. 已知圆()xy3422和直线ymx的交点为 p、q，则|op oq的值为 _。解：ompoqn| |op oqomon5五. 应用平面向量，简化解题向量的坐标形式与解析几何有机融为一体，因此，平面向量成为解决解析几何知识的有力工具。例 5. 已知椭圆：xy2224161

32、，直线l：xy1281，p 是l上一点，射线op 交椭圆于一点r，点 q 在 op上且满足| |oq opor2，当点 p 在l上移动时，求点q 的轨迹方程。分析：考生见到此题基本上用的都是解析几何法，给解题带来了很大的难度，而如果用向量共线的条件便可简便地解出。解： 如图，oqorop，共线， 设oroq，opoq，oqxy()， 则orxy()，opxy()，| |oq opor2|oqoq2222点 r 在椭圆上， p点在直线l上222224161xy，xy1281即xyxy222416128化简整理得点q 的轨迹方程为：()()xy152153122（直线yx23上方部分）六. 应用曲

33、线系，事半功倍利用曲线系解题，往往简捷明快，收到事半功倍之效。所以灵活运用曲线系是解析几何中重要的解题方法和技巧之一。例 6. 求经过两圆xyx22640和xyy226280的交点，且圆心在直线xy40上的圆的方程。解：设所求圆的方程为：xyxxyy2222646280()()()()1166284022xyxy则圆心为()3131，在直线xy40上解得7故所求的方程为xyxy227320七. 巧用点差，简捷易行在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程，往往采用点差法，此法比其它方法更简捷一些。例 7. 过点 a（2，1）的直线与双曲线xy2221相交于两点p1、p2，求线段 p1p2中点的轨迹方程。解

34、：设p xy111()，pxy222()，则xyxy12122222211212得()()()()xxxxyyyy211221122即yyxxxxyy212112122()设 p1p2的中点为m xy()00，则kyyxxxyp p122121002又kyxam0012，而 p1、a、m、p2共线kkp pam1 2，即yxxy0000122p p12中点 m 的轨迹方程是24022xyxy解析几何题怎么解高考解析几何试题一般共有4 题(2 个选择题 , 1 个填空题 , 1 个解答题 ), 共计 30 分左右 , 考查的知识点约为20 个左右 . 其命题一般紧扣课本, 突出重点 , 全面考查

35、 . 选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线 , 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 求解有时还要用到平几的基本知识,这点值得考生在复课时强化. 例 1 已知点 t 是半圆 o 的直径 ab 上一点，ab=2 、 ot=t (0t1) ，以 ab 为直腰作直角梯形bbaa， 使aa垂直且等于at，使bb垂直且等于bt，ba交半圆于 p、q 两点，建立如图所示的直角坐标系. (1)写出直线ba的方程；（2）计算出点p、q 的坐标；（3）证明：由点p 发出的光线，经ab 反射后，反

36、射光线通过点q. 讲解 : 通过读图 , 看出,ba点的坐标 . (1 ) 显然ta1 , 1, ，tb11于是 直线ba的方程为1txy；（2）由方程组,1,122txyyx解出),(10p、),(2221112ttttq；（3）ttkpt1001, tttttttttkqt1111201122222)(. 由直线 pt 的斜率和直线qt 的斜率互为相反数知，由点p 发出的光线经点t 反射，反射光线通过点q. 需要注意的是 , q 点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗 ? 例 2 已知直线 l 与椭圆)0(12222babyax有且仅有一个交点q，且与 x 轴、y 轴分别交于r、s，求

37、以线段 sr为对角线的矩形orps 的一个顶点p 的轨迹方程讲解：从直线l所处的位置 , 设出直线l的方程 , 由已知，直线l 不过椭圆的四个顶点，所以设直线l 的方程为).0(kmkxy代入椭圆方程，222222bayaxb得.)2(22222222bamkmxxkaxb化简后，得关于x的一元二次方程.02)(222222222bamamxkaxbka于是其判别式).(4)(4)2(222222222222222mbkababamabkamka由已知，得 =0即.2222mbka在直线方程mkxy中，分别令y=0 ，x=0，求得)., 0(),0,(mskmr令顶点 p 的坐标为（ x，y）

38、 ，由已知，得.,.,ymxykmykmx解得代入式并整理，得12222ybxa, 即为所求顶点p 的轨迹方程方程12222ybxa形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗? 例 3 已知双曲线12222byax的离心率332e，过),0(),0,(bbaa的直线到原点的距离是.23（1）求双曲线的方程；（2）已知直线)0(5 kkxy交双曲线于不同的点c，d 且 c，d 都在以 b 为圆心的圆上，求k 的值 . 讲解：（ 1）,332ac原点到直线ab：1byax的距离.3,1.2322abcabbaabd. 故所求双曲线方程为.1322yx（2）把33522yxkxy代入中消去 y，整理得

39、07830)31(22kxxk. 设cdyxdyxc),(),(2211的中点是),(00yxe，则012000220115515,.21313beyxxkxykxkkkxk,000kkyx即7,0,03153115222kkkkkkk又故所求 k=7.为了求出k的值, 需要通过消元 , 想法设法建构k的方程 . 例 4 已知椭圆 c 的中心在原点，焦点f1、f2在 x 轴上，点 p 为椭圆上的一个动点，且f1pf2的最大值为90，直线 l 过左焦点 f1与椭圆交于a、b 两点， abf2的面积最大值为12（1）求椭圆 c 的离心率；（2）求椭圆 c 的方程讲解：（1）设112212|,|,|

40、 2pfrpfrf fc, 对,21fpf由余弦定理 , 得1)2(2441244242)(24cos22122212221221221212221121rrcarrcarrcrrrrrrcrrpff0212e，解出.22e（2）考虑直线l的斜率的存在性，可分两种情况：i) 当 k 存在时，设l 的方程为)(cxky椭圆方程为),(),(, 122112222yxbyxabyax由.22e得2222,2cbca. 于是椭圆方程可转化为222220 xyc将代入，消去y得02)(22222ccxkx, 整理为x的一元二次方程，得0) 1(24)21(22222kcxckxk. 则 x1、x2是上

41、述方程的两根且221221122|kkcxx，2212221)1(22|1|kkcxxkab，ab 边上的高,1|2sin|22121kkcfbfffhckkkkcs21|)211(22212222242222224421|12 22 22 22.1121444kkkkcccckkkkkii) 当 k 不存在时，把直线cx代入椭圆方程得221,|2 ,2222ycabc scc由知 s 的最大值为22c由题意得22c =12 所以2226bc2122a故当 abf2面积最大时椭圆的方程为：. 12621222yx下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣：设过左焦点的直线方程为：cmyx（这

42、样设直线方程的好处是什么？还请读者进一步反思反思.）也可这样求解：|212121yyffs|21xxkc椭圆的方程为：),(),(, 122112222yxbyxabyax由.22e得：,22222cbca于是椭圆方程可化为：022222cyx把代入并整理得：02)2(222cmcyym于是21, yy是上述方程的两根. 222121221|()()1|abxxyymyy2)2(441222222mmccmm2)1 (2222mmc, ab 边上的高212mch, 从而222222)2(122122)1(2221|21mmcmcmmchabs.221111222222cmmc当且仅当 m=0

43、取等号，即.22maxcs由题意知1222c, 于是212,26222acb. 故当 abf2面积最大时椭圆的方程为：.12621222yx例 5 已知直线1xy与椭圆)0(12222babyax相交于a、b 两点，且线段ab 的中点在直线02:yxl上.（）求此椭圆的离心率；（2 ）若椭圆的右焦点关于直线l的对称点的在圆422yx上，求此椭圆的方程. 讲解 :（ 1）设 a、b 两点的坐标分别为11).,(),(22222211byaxxyyxbyxa，则由得02)(2222222baaxaxba, 根据韦达定理，得,22)(,2222212122221babxxyybaaxx线段 ab 的

44、中点坐标为（222222,babbaa）. 由已知得2222222222222)(22,02cacabababbaa，故椭圆的离心率为22e . （ 2 ） 由 （ 1 ） 知, cb从 而 椭 圆 的 右 焦 点 坐 标 为),0 ,(bf设)0 ,(bf关 于 直 线02:yxl的 对 称 点 为,02221210),(000000ybxbxyyx且则解得bybx545300且由已知得4, 4)54()53(, 42222020bbbyx，故所求的椭圆方程为14822yx . 例 6 已知 m：xqyx是, 1)2(22轴上的动点， qa，qb 分别切 m 于 a，b 两点，（1）如果32

45、4| ab，求直线 mq 的方程；（2）求动弦 ab 的中点 p 的轨迹方程. 讲解 :（ 1）由324| ab，可得,31)322(1)2|(|2222abmamp由射影定理，得, 3|,|2mqmqmpmb得在 rtmoq 中，523|2222momqoq，故55aa或，所以直线 ab 方程是;0525205252yxyx或（2）连接 mb，mq ，设),0,(),(aqyxp由点 m，p，q 在一直线上，得(*),22xya由射影定理得|,|2mqmpmb即(*), 14)2(222ayx把（ *）及（ *）消去 a，并注意到2y，可得).2(161)47(22yyx适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所