(新教材)2020新人教A版高中数学必修第二册同步学案：6.2.4向量的数量积Word版含答案

1、6. 2.4 向量的数量积问题导学预习教材 P17- P22 的内容，思考以下问题:1.什么是向量的夹角?2 数量积的定义是什么?3 .投影向量的定义是什么?4 .向量数量积有哪些性质?5向量数量积的运算有哪些运算律？新知初探1 .两向量的夹角(1) 定义：已知两个非零向量 a, b, O 是平面上的任意一点，作OA= a,OB= b,则/ AOB = 0(0n)叫做向量 a 与 b 的夹角.0 -a(2) 特例：当0=0 时，向量 a 与 b 同向;2当0=扌时，向量 a 与 b 垂直，记作 a 丄 b;3当0= n时，向量 a 与 b 反向.名师点拨按照向量夹角的定义，只有两个向量的起点重

2、合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，/BAC 不是向量 CA 与 AB 的夹角.作AD= CA，则/BAD* D才是向量 CA 与AB的夹角.2.向量的数量积考点学习目标核心素养向量的夹角理解平面向量夹角的定义，并会求已知两个非零向量的夹角直观想象、数学运算向量数量积的含义理解平面向量数量积的含义并会计算数学抽象、数学运算投影向量理解 a 在 b 上的投影向量的概念数学抽象向量数量积的性质和运算律掌握平面向量数量积的性质及其运算律，并会应用数学运算、逻辑推理导 I 学 I 聚 I 焦研像导学裳试4.向量数量积的性质设 a, b 是非零向量，它们的夹角是0,e 是与 b 方向相同的单位向量

3、，则(1) a e=e a=|a|cos0.(2) a 丄 b? a b= 0.(3) 当 a 与 b 同向时，ab=m；当 a 与 b 反向时，a b= |a|b|.特别地，a a= Jal 或 |a|= a a.(4)| a b|三|a|b|.名师点拨已知两个非零向量a 与 b,它们的夹角为0,把数量|a|b|cos_B叫做向量 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a b，即卩 a b= |allb|cos_0.规定零向量与任一向量的数量积为0.名师点拨(1)两向量的数余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值来决定.两个向量的数量积记作 a b,千万不能写成 axb 的形式.3.投影向量如图(

4、1)，设 a, b 是两个非零向量，AB= a,CD= b,我们考虑如下变换：过AB的起点 A 和终点 B,分别作 CD 所在直线的垂线，垂足分别为A!,Bi,得到 A 忌i，我们称上述变换为向量a 向向量 b 投影(project),A；BI叫做向量 a 在向量 b 上的投影向量.如图(2)，在平面内任取一点 0,作 OM = a, ON = b,过点 M 作直线 ON 的垂线，垂足为 M1，则 OM1就是向量 a 在向量 b 上的投影向量.(2)若与 b 方向相同的单位向量为 e,a 与 b 的夹角为0,则 OM1= |a|cos0(2)e.名师点拨Tn当0=0 时，OM1=|a|e;当0

5、= ?时,OM1=0;当00,n时，O1M1与 b 方向相反；当0= n时, OM1= |a|e.f对于性质(2)，可以用来解决有关垂直的问题，即若要证明某两个非零向量垂直，只需判定它们的数量积为 0 即可；若两个非零向量的数量积为0,则它们互相垂直.5.向量数量积的运算律(1) a b= ba(交换律).(2) (沦)b=Xa b) = a (血)(结合律).(3) (a+ b) c= a c+ b c(分配律).名师点拨(1) 向量的数量积不满足消去律；若a， b， c 均为非零向量，且 a c= b c,但得不到 a = b.(2) (a b)CMa (-b c)，因为 a b, b c

6、 是数量积，是实数，不是向量，所以(a b) c 与向量 c 共线，a (b c)与向量 a 共线，因此，(a b) c= a (b c)在一般情况下不成立.2 2 2(3) (ab) = a 2a b+ b .O 判断(正确的打“V”，错误的打“X”)(1)两个向量的数量积仍然是向量.()若 a b= 0,贝 U a= 0 或 b= 0.()a, b 共线? a b= |a|b|.()若 a b= b c,则一定有 a = c.()(5)两个向量的数量积是一个实数，向量的加法、减法、数乘运算的运算结果是向量.()答案：X(2)X(3)X(4)X(5)V秒若|m|= 4, |n|= 6, m

7、与 n 的夹角为 45 ，则 m n=()A. 12B . 12.2C. 12 2D . - 12解析：选 B.m n = |m| |n|cos 45=4X6X吉1 2 3 4 5= 12 寸 2. 已知 |a|= 10, |b|= 12,且(3a) gb = 36,则 a 与 b 的夹角为()A. 60B. 120C. 135D . 150解析：选 B.设 a 与 b 的夹角为 0.1所以 3X5a b= 36,又|a|= 10, |b|= 12,所以 3XX10X12cos0=36,5因为(3 a)36,1所以 COS0=2又因为氏0,180 ,所以0=1204.已知|a = J2, |b

8、|= 1，且 a b 与 a + 2b 互相垂直，则 a b=_解析：因为 a b 与 a+ 2b 互相垂直，所以(a b) (a+ 2b) = 0,22即 a + a b 2b = 0.又因为 |a|= .2, |b|= 1,所以 ab= 2b2 a2= 2x12 ( ,2)2= 0,即 a b= 0.答案：0(2)如图，在?ABCD 中,|AB|= 4, |AD|= 3，/ DAB = 60，求:AD BC；ABDA.【解】(1)(a + 2b) (-a+ 3b)=a a+5ab+6 b b2 2=|a |+5a b+6|b|=|a |2+5|a|b|cos 6046|b|222=6+5x

9、6x4Xcos 6046x4=192.因为 AD /BC，且方向相同,所以 AD 与 BC 的夹角是 0探究案 盘越解惑掠究突破 - - - - - 2 2232解析：BD CD = BD BA = (BA+ BC) BA = (BA) + BC BA= a + a cos 60 右 a .答案：|a2探究点 _向量模的有关计算=4X3X匸 3 (1)已知平面向量 a 与 b 的夹角为 60 , |a|= 2, |b|= 1，则|a + 2b|=()A. .3B. 2 3C. 4D . 12aa= a2= |a|2或|a|= a2,可以实现实数运算与向量运算的相互转化.1.已知向量a 与 b的

10、夹角为_ 120,且 |a|= 4,|b|=2,则 |a + b|=,|3a- 4b|=_解析：由已知得 a b= |a|b|cos0=4X2Xcos 120=4, a2= |a|2= 16, b2= |b|2= 4.2 2 2 2因为 |a+ b| = (a + b) = a + 2a b+ b=16+2X(-4)+4=12,所以 |a+ b|= 2 3.2 2 2 2因为 |3a- 4b| = (3a-4b) = 9a - 24a b+ 16b=9X16-24X(-4)+16X4=304,所以 |3a- 4b|= 4 . 19.答案：2 ,34 ,192 .已知向量 a, b 满足 |a|

11、= |b|= 1, |a- b|= 1,贝U|a+ b|=_解析：法一：由 |a- b|= 1 得 a2- 2a b+ b2= 1,方.向量 a, b 满足|a|= 1, |a- bU#, a 与 b 的夹角为 60,1A.3Cg则 |b|=()1B.1【解析】(1)|a + 2b|=(a+ 2b)2=- a2+ 4ab+ 4b2= a|2+ 4|a|b|cos 6044|b|24+4X2X1X2+4=2 ,3.22232由题意得 |a - b|2=|a|2+ |b|2-2|a|b|cos60，即 1 + bf【答案】(1)B(2)B求向量的模的常见思路及方法31|b|= 4 解得 |b|=?

12、.(1)求模问题一a2= |a |2,勿忘记开所以 |af 2a b+ |bf= 1,所以 2a b= 1,所以 |a + b| = ； a + 2a b+ b =、.： 1 + 1 + 13.法二：如图，因为 |a|= |b|= |a b|= 1,所以 AOB 是正三角形， / AOB = 60 ,所以 |a bf= a2 2a b+ b2= 2 2a b= 1，所以 a b=壬，所以 |a+ bf= a2+ 2a b+ b2= 1 +12X2+ 1 = 3,所以 |a + b| = #3.答案：,3探究点国向量的夹角与垂直命题角度一：求两向量的夹角例 S (1)已知 |a| = 6，|b|

13、= 4，(a+ 2b) (a 3b)= 72，贝 U a 与 b 的夹角为 _;(2)(2019 高考全国卷I改编)已知非零向量 a, b 满足|a|= 2|b|,且(a b)丄 b,贝 U a 与 b 的 夹角为_ .【解析】(1)设 a 与 b 的夹角为 0, (a+ 2b) (-a 3b)= a a 3a b+ 2b a 6b b2 2=|a |2 a b- 6|b|22 2=|a|a|b|cos06|b|2 2=66X4Xcos0 6X4=72,所以 24cos0=36+ 72 96= 12,1 所以 cos0=2.又因为00,n，所以2、b2由(a b)丄 b,得(a b) b= 0

14、，所以 a b= b ,所以 cos0= lallbl又因为|a|= 2|b|,lb |21所以cos0=希=1设 a 与 b 的夹角为0,n又因为0,冗，所以0=|.nn【答案】（1）|（2）命题角度二：证明两向量垂直4 已知 a, b 是非零向量，当 a + tb（t R）的模取最小值时，求证：b 丄（a+1b）.【证明】 因为|a + tb|=-( a+1b)2=a2+ t2b2+2ta b=|bft2+2a bt + |a|2,此时 b (a+1b) = ba + tb2= a b+=a b a b= 0.所以 b 丄(a+ tb).命题角度三：利用夹角和垂直求参数C. In已知 a,

15、b,c 为单位向量，且满足 3a +血+ 7c= O,a 与 b 的夹角为 y，则实数入=【解析】 因为 Ia + 2b 与 ka b 互相垂直,所以(3a + 2b) (ka b)= 0,22所以 3ka + (2k 3)a b 2b = 0.因为 a 丄 b,所以 a b= 0,又|a|= 2, |b|= 3,所以 12k 18= 0, k = ?由 3a + ?b+ 7c= 0,可得 7c= (3a+b),2 2 2 2即 49c = 9a + 入 b + 6bb,而 a, b, c 为单位向量，则 a2= b2= c2= 1,2n则 49=9+ b+6bos -,所以当t=2器=器时,

16、|a+ tb|有最小值.陋匸 已知 a 丄 b, |a|= 2, |b|= 3 且向量3a + 2b 与 ka b 互相垂直，贝 U k 的值为（2即入+ 3 入一 40= 0，解得入=一 8 或入=5.【答案】（1）B（2） - 8 或 5求向量 a 与 b 夹角的思路（1）求向量 a 与 b 夹角的关键是计算 ab 及|a|b|,在此基础上结合数量积的定义或性质计算a bcos0=，最后借助0,冗，求出B的值.lallbl在个别含有|a|, |b|与 a b 的等量关系中，常利用消元思想计算cos0的值.若单位向量 e!,e2的夹角为 今，向量 a=冷2（入R）,且|a|=2?，贝 y 入

17、32解析：12212321由题意可得e1e2= 2 |a| = (e1+ ?es) = 1 + 2xx-+入=、化简得 入+入 + 4= 0，解1.已知向量 a, b 满足|a|= 1, |b|= 4,且 a b= 2，则 a 与 b 的夹角0为（）nA.?nnC.亍D.1解析：选 C.由题意，知 a b= |a|b|cos0=4cos0=2,所以 cos0=?.又 ow 0= 3,所以 cosa, b4.若向量 a 与b 的夹角为 60, |b|= 4, (a + 2b) (a 3b) = - 72,则 |a|=()A . 2B . 4C. 6D. 12解析：选 C.因为(a+ 2b) (-

18、a 3b) = a2 a b 6b22 2=|a| |a| |b|cos 60-6|b|=|a |2 2|a| 96 = 72.所以 |a|2 2|a| 24= 0.解得|a|= 6 或|a|= 4（舍去）故选 C.5.（2019 广东佛山质检）如图所示， ABC 是顶角为 120的等腰三角形，且 AB= 1，则 AB - BC 等于()C.解析：选 C.因为 ABC 是顶角为 120。的等腰三角形，且 AB= 1，所以 BC= ,3，所以 AB BC3=1X_3xcos 150=3.6.若向量 a 的方向是正南方向，向量b 的方向是北偏东 60方向，且|a|=|b|= 1,则(一3a) (-

19、a + b) =_ .解析：选 C.因为 a因为a, b 0,n,2n所以a, b= -3.解析：设 a 与 b 的夹角为0,贝U 0=120，所以(3a) (a + b)= 3|a|2 3a b = 3 o133x1x1xcos 120= 3 +3x?= ?答案:n7. 已知向量 a 与 b 的夹角是 亍,且|a|=1,|b|=2,若(3a+期丄 a,则实数X=_.n解析：根据题意得 a b= |a| |b|cos = 1,因为(3a+血)丄 a,所以(”J3a +血)a = 3a6 7+扫 b 3=h:3+ 入=0,所以匸一、3.答案：38._ 已知在厶ABC 中，AB = AC= 4,

20、AB - AC= 8，则 ABC 的形状是 _ .解析：因为ABAC= |AB|AC|cosZBAC,即 8 = 4X4C0S/BAC,于是 cosZBAC = 所以/ BAC=60又 AB =人 6 故厶 ABC 是等边三角形.答案：等边三角形1口19 .已知非零向量 a, b,满足 |a|= 1, (a 一 b) (a + b)= 2，且a b=(1) 求向量 a, b 的夹角；(2) 求 |a b |.1解：因为(a b) (a+ b)= ?,所以 a2 b2= 2,即 |af-|bf= 2,五、又|a|= 1，所以|b|=设向量 a, b 的夹角为0,6 1 因为 a b= 2，所以

21、|a| | b|cos0= ?,所以 cos0=牙，因为 OW0W180。，所以0=45。，所以向量 a, b 的夹角为 457 2 2 21(2)因为 |a b| = (a b) = |a| 2a b+ |b| =歹所以|a b|= 亏.10.已知|a|= 2|b|= 2, e 是与 b 方向相同的单位向量，且向量a 在向量 b 方向上的投影向量为一 e.(1)求 a 与 b 的夹角0(2)求(a 2b) b;(3)当入为何值时，向量 怡+ b 与向量 a 3b 互相垂直？解：由题意知|a|= 2, |b|= 1.又 a 在 b 方向上的投影向量为|a|cos0e= e,12n所以 cos0

22、=1所以0=-3.2(2)易知 a b=|a| |b |cos0=1，则(a2b) =a b 2b=12= 3.因为：a + b 与 a 3b 互相垂直，2 2所以(也 + b) (a 3b)=扫3 ?a b+ b a 3b=4 ?d- 3 入一 1 3 = 7 4 =0,4所以=7.B 能力提升11.在ABC中，若AB2= AB-AC+ BA - BC +CA-CB，则ABC是（ ）A .等边三角形B .锐角三角形C.钝角三角形D 直角三角形解析：选 D.因为 AB = AB AC+ BA BC + CA CB,所以 AB AB AC = BA BC + CA CB,所以 AB (AB AC

23、) = BC (BA CA), 2 所以 AB CB= BC，所以 BC (BC + AB)= 0,所以 BC AC = 0,所以 AC 丄 BC,所以ABC 是直角三角形.12.若|a+ b|= |a b|= 2|a|,则向量 a b 与 b 的夹角为（）c2n5nD.解析：选D.由|a+b|= a b|可得 a b= 0,由 |ab|=2|a|可得3a2=，所以|b|= .3|a 设向量 a b 与 b 的夹角为 0,贝 U cos2(ab)b|b|0 =3|a |2上亍|a b|b| = 2|a| 3|a|=2；3|a 厂一飞，又张【5nTT，所以0=石13.在 ABC 中，/ BAC = 120 ,AB= 2 ,AC = 1 ,D 是边 BC 上一点，DC =2BD，则 AD - BC解析：由 DC = 2BD，所以 BD = 3BC, BC= AC- AB,=3ABAC+3AC8-|AB21- -1- 2I- 21=3|A