如何求下列系统微振动的动力学方程和固有频率

1、1 第七章第七章机械振动基础机械振动基础2 机械振动基础机械振动基础振动振动:描述系统的一组参数在某一固定值附近往复变化。描述系统的一组参数在某一固定值附近往复变化。 机械振动机械振动: 力学和机械系统中的振动。力学和机械系统中的振动。钟表摆的运动钟表摆的运动编钟敲击后的振动编钟敲击后的振动3 机械振动基础机械振动基础双轮串联振动式压路机双轮串联振动式压路机1. 认识振动的性质与特性认识振动的性质与特性 2. 利用振动利用振动 3. 消除振动消除振动研究振动的目的：研究振动的目的：利用振动利用振动4 机械振动基础机械振动基础汽车减震器动力学的计算机仿真汽车减震器动力学的计算机仿真消除或减小振动

2、消除或减小振动5 机械振动基础机械振动基础利用振动来消除或减小振动利用振动来消除或减小振动6 机械振动基础机械振动基础建筑工程中的减震研究建筑工程中的减震研究7 机械振动基础机械振动基础车车 辆辆 减减 震震 系系 统统问题：问题：如何建立机械振动的力学模型？如何建立机械振动的力学模型？8 机械振动基础机械振动基础v车车身身振振动动的的最最大大振振幅幅 m m 9 7-1 7-1 单自由度系统的振动单自由度系统的振动 一、质量一、质量-弹簧系统的自由振动弹簧系统的自由振动自由振动：自由振动：质量块受初始扰动，仅在恢复力的作用下产生的振动。质量块受初始扰动，仅在恢复力的作用下产生的振动。 0ls

3、t xy ookm问题：问题：用什么方法建立运动微分方程？用什么方法建立运动微分方程？ 牛顿第二定律牛顿第二定律 动量定理动量定理 动量矩定理动量矩定理 动能定理动能定理 动静法动静法 动力学普遍方程动力学普遍方程 拉格朗日方程拉格朗日方程10 7-1 7-1 单自由度系统的振动单自由度系统的振动0 kxxm 0lst x1x ookm020 xx 固有频率固有频率 mk20tctcx0201sincos)sin(0tagmfgfammfmgxmx :)(stxkmgxm stkkxmgxm fmgxmx11: 11kxmgxm mgkxxm11 坐标原点选在静平衡位置，可得到齐次常微分方程坐

4、标原点选在静平衡位置，可得到齐次常微分方程11 7-1 7-1 单自由度系统的振动单自由度系统的振动0lxokm例：例：求下列单自由度系统振动的固有频率求下列单自由度系统振动的固有频率0 kxxm 0 xmkx mk0光滑光滑0lxokm纯滚动纯滚动023 kxxm 032xmkx mk32012 7-1 7-1 单自由度系统的振动单自由度系统的振动 o(a)agmif例：例：图示单摆系统，其支座以加图示单摆系统，其支座以加速度速度 a 运动，求系统作微幅振动运动，求系统作微幅振动的固有频率。已知：的固有频率。已知：a, l，m，ksinsin2malmglml 0)(agl lag 00si

5、n)(agl 系统系统a13 7-1 7-1 单自由度系统的振动单自由度系统的振动0sin)(agl )1 . 0sin(1 . 0, 42tlalg：设 o(a)agmif0, 0sinagl 14 7-1 7-1 单自由度系统的振动单自由度系统的振动问题：问题：如何求下列系统微振动的动力学方程和固有频率？如何求下列系统微振动的动力学方程和固有频率？ og o xoab02312mglml 0 qkqm 15 7-1 7-1 单自由度系统的振动单自由度系统的振动二、微幅自由振动微分方程建立的方法二、微幅自由振动微分方程建立的方法设：设：定常约束的单自由度质点系，广义坐标为定常约束的单自由度质

6、点系，广义坐标为q，系统的平，系统的平衡位置为衡位置为q=0，系统的势能函数连续可微，并且，系统的势能函数连续可微，并且v（0）=0。 22)(2121qqmvmtiii2221)0()0( )0(21qqmqmmt1|q2221)0(21qmqmt )0(mm 广义等效质量广义等效质量221)0()0( )0()(qvqvvqv因为：因为：q = 0 是稳定平衡位置，且为势能零点，所以有是稳定平衡位置，且为势能零点，所以有0)0(v0)0( v0)0(v2221)0(21)(qkqvqvkv)0( 等效刚度系数等效刚度系数应用拉格朗日方程应用拉格朗日方程222121qkqmvtl0 qkqm

7、 16 7-1 7-1 单自由度系统的振动单自由度系统的振动例：例：已知已知 m, oa=ab=l, 求系统微振动固有频率求系统微振动固有频率)cos1 (4)sin632(212222mglvmlmlt232mlm lgmk6g xoab解：系统的动能和势能解：系统的动能和势能2221)0(21qmqmt 2221)0( 21)(qkqvqv0 qkqm mglk4222221212121bccomvjmvjtcos2,sin5 . 0,cos5 . 1lxlylxbccc 为为 ab 杆杆 的的 质质 心心17 7-1 7-1 单自由度系统的振动单自由度系统的振动例：例：系统如图所示，滑块

8、的质量为系统如图所示，滑块的质量为m，杆长为，杆长为l，质量为，质量为m， 弹簧刚度系数分别为弹簧刚度系数分别为 。当杆铅垂时，弹簧无变形，确。当杆铅垂时，弹簧无变形，确定杆在铅垂位置附近作微振动的条件和振动的固有频率定杆在铅垂位置附近作微振动的条件和振动的固有频率。 1klgm2kabgm2, 1kk18 7-1 7-1 单自由度系统的振动单自由度系统的振动解：解：给出系统的动能，给出系统的动能，取取 =0 =0 为系统的零势位为系统的零势位 221sin21lkv sin23cos)(dd22221mgllklkkvcos)23(2cos)(dd2222122mgllklkkv)cos1

9、(23lmg222)cos1 (21lk222212121abccajmvmvt222)31(sin21ml231mlm 0mk)23()(22221mgllklkkk 1klgm2kabgm2221)0(21qmqmt 2221)0( 21)(qkqvqv19 7-1 7-1 单自由度系统的振动单自由度系统的振动三、弹簧的等效刚度三、弹簧的等效刚度km1km2km1k2km1k2k20 7-2 7-2 单自由度系统的阻尼振动单自由度系统的阻尼振动mgxcxkxmxst )(:运动微分方程运动微分方程设：设： mkmc20;20220 xxx 2022, 1vfccc：粘阻系数：粘阻系数 st

10、0 lxokgmckfcfgffammckgvfamcmk0kxxcxm 特征根决定方程解的形式特征根决定方程解的形式21 7-2 7-2 单自由度系统的阻尼振动单自由度系统的阻尼振动设：设： mkmc20;20220 xxx 2022, 1一、欠阻尼状态（一、欠阻尼状态（ 0） iid2202, 1)sin(aesinecosed-d-2d-1ttctcxttt22 7-2 7-2 单自由度系统的阻尼振动单自由度系统的阻尼振动二、过阻尼状态（二、过阻尼状态（ 0） 2022, 1ttccx21ee21三、临界状态（三、临界状态（ = 0） 2,1)(e211tccxt23 7-2 7-2 单

11、自由度系统的阻尼振动单自由度系统的阻尼振动例：例：求下列单自由度系统振动微分方程求下列单自由度系统振动微分方程0lxokm纯滚动纯滚动cx kfcf应用动能定理的微分形式应用动能定理的微分形式wtd222121ccjmvt243xmtwiidvftxxctxkxwdd xxmtd23dxxmd23txxctxkxdd 023kxxcxm 24 7-2 7-2 单自由度系统的阻尼振动单自由度系统的阻尼振动例：例：求质量为求质量为m的均质杆放在两个转动轮上的均质杆放在两个转动轮上,初始杆静止，其重初始杆静止，其重心在两轮之间且不在正中间，证明该杆的运动为简谐振动。心在两轮之间且不在正中间，证明该杆的运动为简谐振动。 ll25 7-2 7-2 单自由度系统的阻尼振动单自由度系统的阻尼振动gmx1nf1f2nf2f设：板与圆盘的滑动