吴川一中等比数列的概念课件

1、人民教育出版社人民教育出版社A版高中数学必修版高中数学必修5第二章第二章第第四四节第节第一课时一课时2.4 等等 比比 数数 列列广东吴川第一中学广东吴川第一中学 杨炳章杨炳章名称名称等差数列等差数列概念概念常数常数性质性质通项通项通项通项变形变形dnaan) 1(1 dknaakn)( ),(*Nkn旧知回顾旧知回顾从第从第2项起项起,每一项与它每一项与它前前一项的一项的差差等等同一个常数同一个常数公差公差(d)d可正可负可正可负,且可以为零且可以为零（2） 一位数学家说过：你如果能将一张一位数学家说过：你如果能将一张纸对折纸对折38次，我就能顺着它在今天晚上爬次，我就能顺着它在今天晚上爬上

2、月球。上月球。以上两个实例所包含的数学问题以上两个实例所包含的数学问题:创设情景,引入新课（1）“一尺之棰，日取其半，万世不竭一尺之棰，日取其半，万世不竭.”1 ， ， ， ， ， 214181161(1) 1 ，2 ，4 ，8 ，16 ，32 ， (2)情景引入引例情景引入引例1：v 如下图是某种细胞分裂的模型：如下图是某种细胞分裂的模型：细胞分裂个数可以组成下面的数列：细胞分裂个数可以组成下面的数列：124816 庄子庄子曰：曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭一尺之棰，日取其半，万世不竭.”意思：意思：“一尺长的木一尺长的木棒，每日取其一半，棒，每日取其一半，永远也取不完永远也取不完” 。

3、11111 24816， 如果将如果将“一尺之棰一尺之棰”视为单位视为单位“1”，则每日剩下的部分依次为：则每日剩下的部分依次为：引例2：引例3：v一种计算机病毒可以查找计算机中的地一种计算机病毒可以查找计算机中的地址簿，通过邮件进行传播。如果把病毒制址簿，通过邮件进行传播。如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发造者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推。假设每一送病毒称为第二轮，依此类推。假设每一轮每一台计算机都感染轮每一台计算机都感染20台计算机，那么台计算机，那么在不重复的情况下，这种病毒每一轮感染在不重复的情况下，这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是：

4、的计算机数构成的数列是：120202203引例4：v 除了单利，银行还有一种支付利息的方式除了单利，银行还有一种支付利息的方式复利，复利，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，也就是通常说的期的利息，也就是通常说的“利滚利利滚利”。按照复利计算本。按照复利计算本利和的公式是：本利和利和的公式是：本利和 = 本金本金（1+利率）利率）存期存期。v现在存入银行现在存入银行10000元钱，年利率是元钱，年利率是1.98%，那么按照复，那么按照复利，利，5年内各年末的本利和组成了下面的数列：年内各年末的本利和组成了下面的数列：10

5、000 1.0198210000 1.0198310000 1.0198410000 1.0198510000 1.0198v观察：请同学们仔细观察一下，看看以上观察：请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？四个数列有什么共同特征？v共同特征：从第二项起，每一项与它前面共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的比等于同一个常数；一项的比等于同一个常数；v我们给具有这种特征的数列一个名字我们给具有这种特征的数列一个名字等比数列等比数列 1.探究新知探究新知“探探”v 一般地，如果一个数列从第一般地，如果一个数列从第2项起，每一项起，每一项与它的项与它的前前一项的一项的 比比 等于等

6、于同一个常数同一个常数，那么这个数列就叫做等那么这个数列就叫做等比比数列数列 ，这个常数叫，这个常数叫做等比数列的做等比数列的公比公比（q）。v 一般地，如果一个数列从第一般地，如果一个数列从第2项起，每一项起，每一项与它的项与它的前前一项的一项的 差差 等于等于同一个常数同一个常数，那么这个数列就叫做等那么这个数列就叫做等差差数列数列 ，这个常数叫，这个常数叫做等差数列的做等差数列的公差公差（d）。）。等比数列等比数列等差数列等差数列等比数列概念课堂互动(1) 1，3，9，27，81， (3) 5，5，5，5，5，5，(4) 1，-1，1，-1，1，是是,公比公比 q=3是是,公比公比 q=

7、 x 是是,公公 比比q= -1(7) 2341, , , , , (0)x x x xx(2) ,161,81,41,21是是,公比公比 q=21观察并判断下列数列是否是等比数列观察并判断下列数列是否是等比数列: :是是,公比公比 q=1(5) 1，0，1，0，1，(6) 0，0，0，0，0，不是等比数列不是等比数列不是等比数列不是等比数列）且无关的数或式子是与0,(1qnqaann(1) 1，3，9，27， (3) 5， 5， 5， 5，(4) 1，-1，1，-1，(2) ,161,81,41,21(5) 1，0，1，0，(6) 0，0，0，0，1. 1. 各项不能为零各项不能为零, ,即

8、即 0na 2. 2. 公比不能为零公比不能为零, ,即即0q4. 4. 数列数列 a, a , a , a, a , a , 0a时时, ,既是等差数列既是等差数列又是等比数列又是等比数列;0a时时, ,只是等差数列只是等差数列而不是等比数列而不是等比数列. .3. 3. 当当q0q0，各项与首项同号，各项与首项同号 当当q0q0，各项符号正负相间，各项符号正负相间对概念的更深理解等差数列通项公式的推导等差数列通项公式的推导: :(n-1)个 式子daa12daa23daa34daann21daann1 dnaan) 1(1方法一方法一:(叠叠加法加法)daa12dnaan) 1(1dda)

9、(1daa23da21dda)2(1daa34da31 方法二方法二:(归纳法归纳法)1nnaadqaann1等比数列通项公式的推导：等比数列通项公式的推导：2n(n-1)个 式子11 nnqaa 方法一方法一:叠乘法叠乘法qaa12qaa23qaa34qaann1qaa12qqa)(1qaa2321qaqqa)(21qaa3431qa 方法二方法二:归纳法归纳法11nnqaa等比数列的通项公式11nnqaa当当q=1时，这是时，这是一个常函数。一个常函数。0na等比数列等比数列 ，首项为首项为 ,公比为公比为q,则通项公式为则通项公式为 na1a-12nna思考：思考：等比数列的通项公式与函

10、数有怎样的关系？等比数列的通项公式与函数有怎样的关系？例如：数列例如：数列an的首项是的首项是a1=1,公比公比q=2,则通项公式是：则通项公式是：an87654321 0 1 2 3 4 n 的点函数的图象上一些孤立的图象是其对应的等比数列结论na：在等差数列在等差数列 中中na()nmaanm d*( ,)n mN试问：在等比数列试问：在等比数列 中，如果知道中，如果知道 和公和公比比q，能否求，能否求 ？如果能，请写出表达式。？如果能，请写出表达式。 namanan mnmaa q*( ,)n m N变形结论变形结论:等比中项的定义等比中项的定义 如果在如果在a与与b中间插入一个数中间插

11、入一个数G，使，使a,G,b成成等比数列，那么等比数列，那么G就叫做就叫做a与与b的等比中项的等比中项 在这个定义下，由等比数列的定义可得在这个定义下，由等比数列的定义可得2GbaGGabGab 即范例讲解范例讲解v例例1(A)已知数列 的通项公式为 ，这个数列是等比数列吗？v分析：用定义法证明 na3 2nna 范例讲解范例讲解v变式训练变式训练1：已知数列 是等差数列，数列 满足 ，求证数列 是等比数列。分析：用定义法证明nb na2nanb nb(3)-1(3)-1，3 3，-9-9，2727，-81-81，(2) 1(2) 1，-1-1，1 1，-1-1，1 1，(1)(1)2 2，4

12、 4，8 8，1616，3232，6464，思考：试写出下面等比数列的通项公式思考：试写出下面等比数列的通项公式111(4) 1,41664练习练习1：在等比数列：在等比数列an中：中：1159115(1)2,3,162,;1(2)3,211,932,8,naqanaqaaqaaa 已知求已知，求 ；已知求 ；已知求q(3)(4)1,11naa qaq annn对于通项公式来说，有四个量，可以知三求一课堂巩固练习课堂巩固练习 例例1 一个等比数列的第一个等比数列的第3项与第项与第4项分别项分别是是12与与18,求它的第求它的第1项与第项与第2项项. 解：设这个等比数列的第解：设这个等比数列的第

13、1项是项是 ,公比是公比是q ，那么，那么82331612qaa3161a23q解得，解得， ， 因此因此316 答：这个数列的第答：这个数列的第1项与第项与第2项分别是项分别是 与与 8.1a1831qa1221qa典型例题课堂互动课堂互动（2 2）一个等比数列的第）一个等比数列的第2 2项是项是10,10,第第3 3项是项是20,20,求它的第求它的第1 1项与第项与第4 4项项. .(1)(1)一个等比数列的第一个等比数列的第5 5项是项是 , ,公比是公比是 ，求它的第，求它的第1 1项；项；94315 1114()39a 136a 解得，解得，答：它的第一项是答：它的第一项是36 .

14、解：设它的第一项是解：设它的第一项是 ，则由题意得，则由题意得1a解：设它的第一项是解：设它的第一项是 ，公比是，公比是 q ，则由题意得，则由题意得1a答：它的第一项是答：它的第一项是5，第，第4项是项是40.101qa2021qa，51a2q解得解得，40314qaa因此因此等比数列的例题.)()(2112111211111qqqqbaqqbababannnnnn它是一个与它是一个与n n无关的常数，无关的常数， 所以所以 nnba 是一个以是一个以 为公比的等比数列为公比的等比数列 21qqnnnnqbqaqbqa2111121111与例例2 已知已知 nnba ,是项数相同的等比数列，是项数相同的等比数列，nnba 是等比数列是等比数列.求证求证证明证明:设数列设数列 na首项为首项为 1a,公比为公比为 ; 1qnb首项为首项为 1b,公比为公比为 2q那么那么数列数列的第的第n n项与第项与第n+1n+1项项分别为：分别为：nnba 11 1121 112()()nna b q qa b q q与即为即为等比数列等比数列名称