2016高考全国1卷理科数学试题和答案解析[精校解析版]

1、2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷I ）理科数学注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.用2B铅笔将答题卡上试卷类型 A后的方框涂黑.2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上白非答题区域内均无效3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的

2、非答题区域均无效5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交第I卷.选择题：本大题共的.12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求(A) 100(B) 99(C) 98(D) 97、一八.2_1 .设集合 A xx 4x 3 0 , x2x 3 0，则 AI B4.某公司的班车在 7:00 , 8:00 , 8:30发车，小明在 7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是(A) 1(B) 2(0 3(D) 44,则n的取值范围3234(A)1,3(B)1点(C)0,3(D)0,736.如图，某几何体的三视

3、图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是 28,则它的表面积是3(A) 17(B) 18(C) 20(D) 287.函数y2x2e叫在2,2的图像大致为(B)abc bac(C)(A) ac bc2(D)2OalogbC blog a c (D9.执行右面的程序框图,如果输入的x 0, y 1n 1,则输出(A) y 2x(B)y 3x(C) y 4x (D) y 5x10.以抛物线C的顶点为圆心的圆交 C于A、B两点，交C的准线于H E两点.已知| AB= 4j2,| DE|=2j5,则C的焦点到准线的距离为(A)2(B)4(C)6(D)811.平面过正方体ABC

4、DABCD 的顶点 A,/平面CBD,I平面ABC=mI 平面 AB BA1=n,则 mn所成角的正弦值为(A)2(B)(C) (D)23lOgaC lOgbC12.已知函数 f(x) sin( x+ )(0,-),xi 为f(x)的零点，x 4为y f(x)图则的最大值为 一5.像的对称轴，且f(x)在一,5 单调, 18 36(A) 11(B) 9(C) 7(D) 5二、填空题：本大题共 3小题，每小题5分13.设向量a=(m1),b=(1,2),且 |a+b|2=|a|2+|b| 2,14. (2x JX)5的展开式中，x3的系数是(用数字填写答案)an的最大值为15 .设等比数列 an

5、 满足 31+33=10, 32+34=5,则 aa216 .某高科技企业生产产品 A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品 B需要甲材料0.5kg ,乙材料0.3kg ,用3个工时.生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品 B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为.解答题：解答应写出文字说明 ，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分为12分)ABC的内角A,B, C的对边分别为 a, b, c,已知 2cosc(a cos B

6、+b cos A) c.求C；(II )若 c ",ABC的面积为 晅,求 ABC的周长.218.(本小题满分为AF=2FD, AFDCF12分)如图，在以 A, B, C, D, E, F为顶点的五面体中，面 ABEF为正方形,90°,且二面角 D-AF-E与二面角C BE F都是60°.证明：平面 ABEF平面EFDC(II )求二面角E-BGA的余弦值.19 .(本小题满分12分)某公司1f划购买 2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再贝买，则每个500

7、元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 1002台机器的同时购买的易损零件数台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买，记X表示2(I )求X的分布列；(II )若要求P(X n) 0.5，确定n的最小值;(III )以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n 19与n 20之中选其一，应选用哪个？20 .(本小题满分12分)设圆x2 y2 2x 15 0的圆心为A直线l过点B (1,0)且与x轴不重合，l交圆A于CD两点，过 B作AC的平行线交 AD于点E(I)证明EA EB为定值，并写出点 E的轨迹方程；(II )设点E的轨迹为曲线 C,直线l交C于MN两点

8、，过B且与l垂直的直线与圆 A交于P,Q 两点，求四边形 MPN画积的取值范围.221 .(本小题满分12分)已知函数 fx x 2 e a x 1有两个零点.(I)求a的取值范围；(II)设xi,X2是f x的两个零点，证明：x1x22.请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22 .(本小题满分10分)选修4-1 :几何证明选讲，一 一 一 一 。，、一 ，一、 1 一 ，一 如图， OA盟等腰三角形，/ AOB120。.以O为圆心，OA为半径作圆2(I)证明：直线AB与。O相切；(II)点C, D在OO±,且 A B, C, D四点共圆，证明：

9、AB/ CD23 .(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程，一 一一 ,.x a cost , 一在直角坐标系x y中，曲线G的参数方程为(t为参数，a>0).y 1 asint在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线G: p=4cos .(I)说明C1是哪一种曲线，并将 C的方程化为极坐标方程；(II )直线C3的极坐标方程为0,其中°满足tan 0=2,若曲线。与O的公共点都在。上,求a.24.(本小题满分10分)选修45:不等式选讲已知函数f x x 1 2x 3.(I)画出y f x的图像；(II )求不等式f x 1的解集.2016年高考全国1卷

10、理科数学参考答案题号123456789101112答案DBCBAADCCBAB一 2 .一一 ._ 一一31. A xx 4x 3 0 x1 x 3 , B x 2x 3 0 xx -故 AI B x- x 3 . 2故选D.x 1x 12 .由 1 i x 1 yi 可知：x xi 1 yi ,故 ，解得： x yy 1所以，x yi| ； x2 y2.2 .故选B.3 .由等差数列性质可知：S,9a1a99冬9a527,故a53,22而a。 8,因此公差d a10 a5 110 5a100 a10 90d 98 .故选C.4.如图所示，画出时间轴：7:307:407:508:008:108

11、:208:30A CD B小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中，而当他的到达时间落在线段AC或DB时，才能保证他等车的时间不超过10分钟根据几何概型，所求概率 P2040故选B.5.-2T-2m n 3m n1表示双曲线，则2n 3m n 022m n 3m由双曲线性质知：c23 m2n 4m2,其中c是半焦距焦距 2c 2 2m 4,解得m故选A.6.原立体图如图所示:是一个球被切掉左上角的1后的三视图8表面积是7的球面面积和三个扇形面积之和8- 7212S=- 4 22+3 22=1784故选A.7. f 28 e28 2.820 ,排除 A22f 28 e 8 2.71 ,排除 B1

12、1ox 0 时，f x 2x e f x 4x e ,当 x 0-时，f x - 4 e 0 441因此f x在0,1单调递减，排除 C故选D.8.对A:由于01,xc在R上单调递增，因此 abc , A错误对B：由于1 c 1 0, .函数y xc1在1,上单调递减,c 1 c 1c c a b 1 a b ba ab , B 错庆对C：要比较alogbC和blogaC ,只需比较aln c bln c和ln bln alnc ln c和,只需blnbbln b aln a和 aln a构造函数fx xln x x 1 ,则 f' xln x 10, f在1,上单调递增,因此faln

13、 a bln b 01aln a1bln b又由01 得 ln c 0ln caln aln cbln bblogac alogb c,C正确对D: 要比较loga C和 lOgb C ,只需比较见c和lncln aln b而函数y ln x 在 1,上单调递增，故a b 1 ln a ln b110 ln a ln b又由0c 1 得 ln c 0ln c lncln a ln blogac logbc, D错误故选C.9.如下表:循环节运行次数n 1 x x x 2y y ny判断22”x y 36是否输出n n n 1运行前01/1A次01否否2第二次122否否3第三次326是是输出x3

14、一，y 6 ,满足 y 4x 2故选C.10.以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理设抛物线为y2 2px p 0 ,设圆的方程为x2 y2设 A Xo,2金,D /,而,题目条件翻译如图:Xo,2 .2在抛物线2 Px 上，82pxoa-pj5在圆x 22 .r 上，52r2xo,2 2在圆2 r .2r 上， xo联立解得:故选B.11.如图所示:/平面 CBiDi,贝 U mi / m若设平面 CBD I平面ABCD平面 A BCiDiB Di焦点到准线的距离为p又平面ABCD/平面ABQDi,结合平面BiDiCIB1D1/ 3，故B1D1/ m同理可得：CR/n故m、n的所成角的大

15、小与 BiDi、CDi所成角的大小相等，即CDBi的大小.而BQ Bi Di CDi （均为面对交线）CRB口.3一,即 sin CDi Bi 32故选A.i2.由题意知:ki兀2k其中k ZQ f (x)在汽i8536i8nti2 2i2接下来用排除法若 ii, 一，此时4足f（x）在,5单调i8 36汽f (x) sin iix -, 4f (x)在113f递增在贲，56递减不满右 9,，一,此时 f (x) sin 4c 兀9x 一4单调递减故选B.13.-214.10151621600013.由已知得:1,3o223 m22_2121222 ，解得m14.设展开式的第1项为Tk0,12

16、3,4,5Tk 1C5 2x4,即 T55 4C425 4x q10x3故答案为10.15.由于an是等比数列，设anMn1,其中a1是首项,q是公比.a3102a1a1qa2a43aq aq10 ,解得:5a1. an4943或4时,49取到最小值 6 , 4此时497取到最大值26.所以a1 a2 . an的最大值为64.16.设生产A产品x件，B产品y件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，构造线性规则约束为可行域为:17.1 5x+0,5j<15(x + 0.3j? W 9051+3/ W前。，xOk"，目标函数z 2100x 900y作出可行域为图中的四边形

17、，包括边界，顶点为 (60,100) (0,200) (0,0) (90,0)在(60,100)处取得最大值， z 2100 60 900 100 216000解： 2cosc a cos B bcosA c由正弦定理得:2cosC sin A cosB sin B cos A sin C2cosC sin A B sin CABC n,A、 B、C 0, %/. sin A B sinC 01-2cosC 1 , cosC 2_ _ nC 0,兀 . C -3由余弦定理得：ca b 3ab 7 a2 b2 2ab cosC2217 a b 2ab 一2S -ab sin C23 .ab4ab

18、 62a b 18 7a b 5 ABC 周长为 a b c 5 7718.解：（1）ABEF为正方形 AFD 90AF EF AF DFDF I EF=F AF 面 EFDCAF 面 ABEF，平面ABEF 平面EFDC由知DFE CEF 60AB II EFAB 平面EFDCEF 平面EFDCAB II 平面 ABCDAB 平面ABCD 面 ABCD I 面 EFDC CDAB II CD CD II EF 四边形EFDC为等腰梯形以E为原点，如图建立坐标系，设E 0 , 0, 0 B 0, 2a , 0 Cuuuuuir aEB 0, 2a , 0 , BC 一， 2aFD aa<

19、3_ , 0 , a A 2a , 2a , 0223 uur,a , AB 2a, 0, 0ur设面BEC法向量为m x, y, zur uuu m EB ur uuir m BC2a y1 0 a-Xi 2ayiXiV3, yi0, zi1r设面ABC法向量为n x2 , y2 , z2r uur n BC=0 r uur n AB 0X2a - 23y2X20, y23, Z24x2219解:20. (1)设二面角E BC A的大小为cos一-r-mn.31 .316ir r m n:二面角E BC A的余弦值为每台机器更换的易损零件数为记事件记事件由题知A为第一台机器Bi为第二台机器P

20、A P A32 19193年内换掉3年内换掉P A4P2 19198, 9, 10,Bi117个零件7个零件P B3设2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为19, 20, 210.2161718190.4A1A1A10.24B1B2B3B41,2,3,41,2,3,4B40.2, P A2P B20.4的可能的取值为16, 17, 18,0.2 0.20.04A2A2A2B1B2B30.20.40.40.20.16P A3B1B20.20.20.20.2 0.40.40.24B10.2 0.20.20.2 0.4 0.2202122P x<P A2B4P A3B3B20.4 0.20.

21、20.4 0.20.20.2P A3PB4P A4PB30.2 0.20.20.2 0.08P A4PB4X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.040.2 0.2 0.04n > 0.5, Q0.04 0.16 0.24 0.5, 0.04 0.16 0.24 0.24> 0.5则n的最小值为19购买零件所需费用含两部分, 时额外购买的费用当n 19时，费用的期望为当n 20时，费用的期望为所以应选用n 19部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足1920200 500 0.2 1000 0.08 1500 0.04 40402

22、00500 0.08 1000 0.0440802圆A整理为x 116,A坐标1,0 ,如图,QBE/AC，则 / CZEBD ,ACAD,则/ D ZC ,/EBD /D,则 EB EDAE EB AE ED AD 4所以E的轨迹为一个椭圆，方程为2yY 1, (y 0);3x422Ci :二匕1 ；设l : x43因为PQ±l，设 PQ :ym x 1 ,联立l与椭圆C1x2 x4则my 1v2得 3m213x42.m 1|MN | .1 m2|yMyN-36m2 36 3m2 4| 1 m223m 4122，3m 4圆心A到PQ距离dm 1 1 |2m|.1 m21 m2所以|

23、PQ |2Qrv 216 黑-1Smpnq | MN |PQ|1 12 m2 1 4.3m2 4-22 3m 424、m1,3m2 41-24 j 12,8 3132 dm 121.(I)f'(x)(x 1)ex 2a(x1) (x 1)90,则 f(x) (x 2)ex,f (x)只有一个零点.(ii )设 a0,则当 x (,1)时，f '(x) 0;当 x (1,)时，f'(x) 0.所以 f(x)在(，1)上单调递减,(1,)上单调递增.又 f(1) e,f(2) a,取b满足b 0且b- a _2f(b) 2(b 2) a(b 1)2a(b232 b) o.故

24、f (x)存在两个零点.(iii )设 a 0 ,由 f '(x)1或 x ln(若 a -,则 ln( 2a) 1 ,故当x(1,)时,f '(x) 0 ,因此f (x)在(1,)上单调递增.又当x 1时，f (x) 0,所以f (x)不存在两个零点.若 a e ,则 ln( 2a) 1 ,故当 x (1,ln( 2a)时,f '(x) 0 ；当 x (ln( 2a),)时, f'(x) 0 .因此f (x)在(1,ln( 2a)单调递减，在 (ln( 2a),)单调递增.又当 x 1时, f (x) 0,所以f (x)不存在两个零点.综上，a的取值范围为(0,).()不妨设 x1x2,由(I)知 X (,1), x2 (1,), 2 x2 (,1), f(x)在(，1)上单调递减，所以x1 x22等价于f(x1) f (2 x2),即f(2x2) 0.由于 f(2 x2)x2e2 x2 a(x21)2,而 f(x2) (x2 2)ex2a(x2 1)20,所以f (2 x2)x2e2 x2 (x2 2)ex2.设 g(x)xe2 x (x 2)ex,则 g (x) (x 1)(e2 x ex).所以当x 1时，g (