2016年全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷及参考答案

1、2016年全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷及参考答案2016年福建省高中数学竞赛暨2016年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参考答案（考试时间：2016年5月22日上午9： 00-11： 30,满分160分）一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上）jrrrL若函数/（x） = 3cos（s+7）-sin3x-；）（6?>0）的最小正周期为4，则/5）在区间 63。，上的最大值为【答案】273【解答】:f (x) = 3cos(iyx + )-sin(6;x-)=3cos(69x + )-sin(d>x + -)6366 2= 3cOS(6

2、9A+ )+cos(fyx+) =4cos(6?x + ) F 且 f(x)的最小正周期为 O 666/ S=2 , f (x) = 4cos(2x + ) o 又工£ 06，泊,冗n In<2xd< >、冗 冗2x + =6 6即x = 0时，/1）在区间0,|上取最大值2代。2.已知集合4 = "/-3、+ 2<0, 8 = <、|二7< ，若则实数“的取值范围为【答案】（-»+°°）【解答】A = 、|J<2。由白人，得艺竽<°。 = 0时,B = xx<3 满足a >

3、 0 时，-ax + 3。+1 八<0工一3x (3 + 一) 得B= x x<3sHx>3 + >。满足ax-(3 + )B = < x 3 +，<xv3 由满足,n t.f._ax + 3a +1 八出a v 0时，由< 0 ,得x-315得3 +,<1, -<t/<0oa 2综合得，>-1。4的取值范围为(-L+OO)。 223.函数/(%)=工2 lnx + x? -2零点的个数为 o【答案】1【解答】* /'( x)= 2x 1 n甘2.庐 x( 2 1 ffo330 < x < e '时，

4、fx) < 0 ： x>e '时，/x) > 0 «/(x)在区间(0,e<上为减函数，在区间(<3,+ 8)上为增函数。二31又0cx2 时，lnx + l<- -+ 1 = -<0> f(x) = x?(Inx +1)-2<0；f(e 2) = e-3(- + l)-2<0, f(e) = 2e2-2>0c 2函数/(x)的零点个数为1。或：作图考察函数y = 111工与卜=-1图像交点的个数。 x4 .如图，在正方体力6c。-44GQ中，二面角的大小为【答案】120°：.DEI£ =

5、DE =反小Z(,/8月力为二面角8-4。一。的平白角，二小、1BD = Oq二乂由正方体的性质知，4QCg48C。J3阜一 2:.cos NBED = 3 /_ = 一一。,V2 V2 22"百二面角4-/的大小为120。或：设力(7、8D交于点0,由N4EO = 6Ck_K!z AB（第4题）D icP,得/BED = 120。D一 1#AB【解答】设正方体棱长为1。作4c于石，连结。E。Du5 .在空间四边形A3CO中，已知A8 = 2, BC = 3 , CD = 4 , DA = 5 ,则ACBD=【答案】7【解答】以XS, bc9而为基底向量。则75 =赤+而+而。工访=

6、(AB+ BC+ CD)2 9，2)2即 AD =AB +BC + CD +2AB BC+2AB CD+2JBC CD.：.25 = 4+94-16+2( AB-BC+ABGD + BCCD),:.AB BC +AB CD + BC CD = -2o：. ACBD =(AB+BCy(BC+CD)=AB -BC +AB -CD+ BC -CD+ BC BC =-2 + 9 = 7 o6 .已知直线/过椭圆C：5+卡=1的左焦点/且交椭圆。于A、8两点。为坐标原点，若O4_LO8,则点0到直线A8的距离为 o【答案】£【解答】F(-l,0)o显然X轴不符合要求。设直线A8方程为 =x =

7、 ty-由、x2 ，得(入2犷_2)_1 = 0 + v = 122/_1的判别式大于0。设A(X1,y), B(x2 , >2)»则其+ 为=石77，%为=西不。由。4_1_。8,得xtx2 + yy2 = (5 -1)(优 T) + -=(产 +一“弘 + 力)+1=rxpT7 + 1 = 0 °； -(/2 + l)-2r2 +r2 + 2 = 0, r = o2.点。到直线A3的距离为=丁2=出。衍FI 337.已知z",若关于k的方程丁-27/ + = +，= 0 (，为虚数单位)有实数根，则复数z的4模I Z |的最小值为 O【答案】13【解答】

8、设Z = a+i (。，x = x。是方程寸-2% +二+ i = 0的一个实数根。4贝!Jx； 2(+ 6)/+3+ i = 0 o4,3.xj 2(iXg + 0 Q) 4©一孙)+ 1 = 0由得，/=2，代入，得一2，/ + ： =。，3Z?2 -4ab + =0 , a = J ° I z2=a2+b2=()2+b2=-b2 + -L. + ->- + - = f 当且仅当b = ±立时等号1 14h1616b2 8 8 85成立。I z |的最小值为1。/26 . 小 T275 .>/5 Bn ,2 小 小.、=或。=一_, b = -BP

9、z = ±(- +-/)o2JW/8.将16本相同的书全部分给4个班级，每个班级至少有一本书，且各班所得书的数量互不相同，则不同的分配方法种数为。(用数字作答)【答案】216【解答】V 将16分解成4个互不相同的正整数的和有9种不同的方式：16 = 1 + 2 + 3 + 10, 16 = 1 + 2+4+9, 16 = 1 + 2+5+8, 16 = 1 + 2+6+7, 16 = 1 + 3+4 + 8,16 = 1 + 3+5 + 7, 16 = 1+4+5+6, 16 = 2 + 3+4+7, 16 = 2 + 3 + 5 + 6。符合条件的不同分配方法有9 A： = 216

10、种。9. 7(x)是定义在R的函数，若/(0) = 1008 ,且对任意x £ /?,满足/(x + 4) - /(X)K 2(x +1),/(x+12)-/(x)>6(x+5),则/(2016)2016【答案】504【解答】V 对任意xeR, /(x + 4)-/(x)<2(a + 1), /(x+12)-/(x) = /(x+12)-/(x+8)+/(x+8)-/(x+4)+/(x+4)-/(x)<2(x+8) + l + 2(x+4) + l + 2(x+l) = 6x+30 = 6(x+5)又 /(a- + 12)-/(x)>6(a+5),:./(x

11、+ 12)- f(x) = 6(x + 5) o /(2016) = /(2016)-/(2004) + /(2004)-/(1992)+/(12)-/(0) + /(0)= 6x2009 + 6xl997 + + 6x5 +1008 = 6x 也世卫堂+ 1008 = 1008x1008。2/(2016)20161008= 504210-当、' >一为正数时'与5的最大值为【答案】5【解答】r+肛22点卬 当且仅当户京z时等号成立,当且仅当y =时等号成立。V17A x2 + y2+z2 =(x2 + 2) + (y2 +-Lz2)>2xz + 2yz = -=(

12、4xz + yz) 0F' ： '、，当且仅当x = -=z, y =，=z,即x：y：z = 4：l： JF7时等号成 x- + y-+Z2V17V17立。. 当吃二的最大值为 尊。厂+厂+ zr2注：本题利用待定系数法。将F拆成两项双2和(J。由/+衣2之271a,V+(1丸炉之2口以及二旦二士, 2717 1得力=£。由此得到本题的解法。二、解答题(共5小题，每小题20分，满分100分。要求写出解题过程)11.已知数列q的前项和S“ =2”“-2 ( n w N. )。(1)求q的通项公式4；设,7；是数列" 的前项和，求正整数攵，使得对任意 eN,均

13、(3)设% =三，4是数列 c;的前项和，若对任意 e M均有此 <丸成(1 + 可)(1+。.1)立，求4的最小值。【解答】(1)由S=24-2,得S+1 =2。.1-2。两式相减,得一.！ =2。一-2%。:.尸2勺，数列4为等比数列, 由又 S = 2q _ 2 ,得 0 = 2c4 - 2 , q = 2。； an = 2；i o公比4=2。(2) b =2" ( + 1) nn +1) _2由计算可知，4=0, /?2 >0, b3>09 Z?4 >0o当5时，由n(n +1) (n +1)( + 2) (/? +1)。? - 2)22+】>0

14、,得当25时，数列递减数列。于是，让5时,25<lo+ DL心+ 1)T-1 <0 o因此，7； <T2 <7； <7； , T4 >T5 >T6 >. o10分(3) V G2+】(1 + q)(1 + 为.1)(1 + 2”)(1 + 2.)=2() 2、12川+115分:,对任意九eM均有7； NT； °故攵=4。& =2(,3 55 92+1 2”讨+1V对任意n e N，均有& < A成立,2220分>0几的最小值为12.已知/(x) = In(“x + ) + x2 (工0)。(1)若曲线y =

15、/(x)在点(1,/)处的切线方程为)，= x,求”，的值;(2)若+X恒成立，求4的最大值。【解答】(1) ru)= - + 2xoax + b依题意，有,")=币+ 2 = 1 。解得，。=_1, 6 = 2。/(I) = n(a + b) + = 1： a = f /? = 2 © 5 分(2)设g*) = /(x)-(V+x),贝!|g(x) = ln(ax: + ) x, g(%)<0。 "0时，g(x)定义域(-8,- a-%/,)Q 1)，)取X。使得ln(a%+)= - + l ,得.% =<- oaa a贝I gC%) = ln(a%

16、 +)-% >+/?)-(-) = (- + 1) + - = 1 > 0 与 g(x) <。矛盾。a a aa<0时，g*)<0不恒成立，即。<0不符合要求。 10分, a-b、-ax-) a>0时，g'(x) = 1 = (cix+b>0 )oax + hax + b-<x<-时，g'(x)>。；当时，gx)v。 a aag(x)在区间(,j)上为增函数，在区间(j, + s)上为减函数。 a aag(x)在其定义域(-,+8)上有最大值，最大值为g(i)。 aa由 g(x)<。，=<0oaa：

17、b<a-alna。 15 分:.ab<a2 - a2 Ina o设/?(a) = a2 - a2 In a 9 贝 1J ha) = 2。一 (2a Ina + a) = a(l 21na)。:.Ovo<>/7时，ha） > 0 ； 五时，"（a）<0。 力（“）在区间（0，G）上为增函数，在区间（G，+8）上为减函数。 田。）的最大值为力（出=e - ； = ；。 2 2 当，=五，=芈时，外取最大值为二。2220分综合，得，"的最大值为1。13.如图，。为八48。的外接圆，DA是。的切线，且ZDBA = ZABC, E是直 线08与。

18、的另一交点。点尸在。上，且BFEC, G是C尸的延长线与切线ZM的交点。（第13题）求证：AG = AD o【解答】在"BC和八钻。中，由D4是。的切线知,ZBAD = ZBCAO 又 ZDBA = ZABC。：.ZADB = ZCAB0 5 分V A、B、E、C四点共圆，:. NC43+NCEB = 180。:. ZADE+ZDEC = 180。 EC/DA. 10 分又 BF EC,：.EC/BF/DG。由EC, 8歹是。的两条平行弦知CE = E3。A GC = DE, GF = DB 0 15 分又GA2 = GF GC, DA2 =DB DE。：. GA2 = DA2, A

19、G = ADO 20 分14.如图，F鸟为双曲线C：:一了2 = 1的左、右焦点，动点P(x°,y°) (3'0>1)在双曲线C上的右支上。设N"尸入的角平分线交x轴于点M(?,0),交)，轴于点N。(1)求?的取值范围；(2)设过斗，N的直线/交双曲线C于点。，E 两点，求EQE面积的最大值。【解答】(D依题意，耳(->后,0),鸟(乔,0)。直线PF方程为严上土 (x + 6)；直线PF,方 4 +，5程为)，= '。?(X4) O即直线PF、方程为yGx-(xi) +6)y +逐比=0 ；直线 PF2 方程为 yox-(x0-&g

20、t;/5)y->/5y0 =0oyom + /5y()儿 ? 一五治由点M(,，O)在N"P巴的平分线上，得； .一 =；，上。Jy； + (4 + 6)2 Qy；+ (玉)一番了由-6K卮"1,以及*=%-得存2日+(/+ /了=+2如X。+4 =(当工0 + 2)2, y；+(%一有尸=(当X。-2)。. m + 5/5小 一 m4 = =。 m =正飞+ 2叵x2/22_4/结合x0 > 2>/2，得。< « a/2 o 瓦10分根的取值范围为(。，点】(2)由(D知，直线月W方程为)，=上二。_±)。 r -1 X。0-(

21、)令X = O,得、，= " = ，。故，点N坐标为(0,-!)。左= 上 不一4 %凡 -V5-0：直线/方程为），= -高"+日）。由、)'=一直("+"),5, °，消 K 得(5£ - 4)V +10%)，+1 =。三-=14 .的判别式 = 1。04 - 4（5片-4） = 80y； +16 > 0。设。（内，力），E（x2 , y2）,则9 + 乃=-J!。%力=5%一415分>1- >2 | = "(y+%)2-4凹力=J(- 5：?>J _ 4 x由），0之1,得+1 1>0。5兆一45垢一4丫2<°，5转桃=（”鸟冈凹一）2| =设5M -4 = 则年1,S4F、DE = 4# X = 4A/5 X1 = 1,即点。为（2点，1）时，鸟八七面积取最大值4回。面积的最大值为4闻。20分15.求满足下列条件的最小正整数：若将集合A = 1,2,3,任意划分为63个两 两不相交的子集(它们非空且并集为集合A ) 4, A?, A3,，&3,则总存在两个正整 数