2019-2020年广东省东莞市高三期末调研测试文科数学试题(解析版)

1、2019-2020 学年度第一学期高三调研测试文科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题 5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑. 1.复数 z 满足(1i)2iz，则za. 1ib. 1ic. 1id. 1i【答案】 b 【解析】因为1i2iz，所以2i111iziii,选 b. 2.已知集合230|ax xx，0,1,2,3b，则abi等于 ( ) a. 0,1,2,3b. 1,2,3c. 1,2d. 0,3【答案】 c 【解析】【分析】先由二次不等式的解法得|03axx，再结合交集的运算即可得解. 【详解】解：因为2

2、30|03ax xxxx，又0,1,2,3b，所以abi1,2，故选： c. 【点睛】本题考查了二次不等式的解法，重点考查了集合交集的运算，属基础题. 3.已知向量,arbr满足| 1,ar|2br，且ar与br的夹角为60，则|=abrr( ) a. 7b. 3c. 5d. 2 2【答案】 a 【解析】【分析】先由向量数量积的运算可得cos601a ba borrr r，再结合向量模的运算即可得解. 【详解】解：因为向量,arbr满足| 1,ar|2br，且ar与br的夹角为60，所以1cos601212a ba bor rr r，所以22| =24217abaa bbrrrrrr，故选：

3、a. 【点睛】本题考查了向量数量积的运算，重点考查了向量模的运算，属基础题. 4.已知数列na为等差数列，ns为其前n项和，6353aaa，则7s() a. 42b. 21c. 7d. 3【答案】 b 【解析】【分析】利用等差数列的性质求出4a的值，然后利用等差数列求和公式以及等差中项的性质可求出7s的值 . 【详解】由等差数列的性质可得6354553aaaaaa，1747772732122aaas. 故选： b. 【点睛】本题考查等差数列基本性质的应用，同时也考查了等差数列求和，考查计算能力，属于基础题 . 5.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图和

4、90 后从事互联网行业者岗位分布图(90 后指 1990 年及以后出生，80 后指 1980-1989 年之间出生，80 前指 1979 年及以前出生 ) ，则下列结论中不一定正确的是( ) 整个互联网行业从业者年龄分布饼状图90 后从事互联网行业者岗位分布图a. 互联网行业从业人员中90 后占一半以上b. 互联网行业中从事技术岗位的人数90 后比 80 后多c. 互联网行业中从事设计岗位的人数90 后比 80 前多d. 互联网行业中从事市场岗位的90 后人数不足总人数的10% 【答案】 b 【解析】【分析】根据行业从业者年龄分布饼状图和90 后从事互联网行业者岗位分布图中的数据进行分析,即可

5、判断选项【详解】对于选项a,由饼状图可得90后占56%50%,故 a 正确；对于选项 b,互联网行业中从事技术岗位的人数90后占总体的56% 39.6%22.176%41%,故 b错误；对于选项 c,互联网行业中从事设计岗位的人数90后占总体的56% 12.3%6.888%3%,故 c 正确；对于选项 d,互联网行业中从事市场岗位的90 后占总体的56% 13.2%7.392%10%,故 d 正确 , 故选： b 【点睛】本题考查饼状图的识别,考查数据的处理,属于基础题6.已知(1,2)p在双曲线22221xyab(0,0)ab的渐近线上，则该双曲线的离心率为( ) a. 10b. 2c. 5

6、d. 3【答案】d 【解析】【分析】先由双曲线方程求出双曲线的渐近线方程，再结合双曲线离心率的求法求解即可. 【详解】解：由双曲线方程为22221xyab(0,0)ab，则双曲线的渐近线方程为byxa，又(1,2)p在双曲线的渐近线上，则2ab，即22222abca，即223ac，即3cea，故选： d. 【点睛】本题考查了双曲线渐近线方程的求法，重点考查了双曲线离心率的求法，属基础题. 7.函数311xxefxxe( 其中e为自然对数的底数) 的图象大致为 () a. b. c. d. 【答案】 d 【解析】【分析】先根据函数的奇偶性排除a、c,再由x时,fx的趋向性判断选项即可【详解】由题

7、 ,fx的定义域为|0 x x, 因为331111xxxxeefxfxxexe,所以fx是偶函数 ,图象关于y轴对称 ,故排除a、c；又因为33311211xxxefxxxexe,则当x时,3x,1xe,所以0fx, 故选： d 【点睛】本题考查函数奇偶性的应用,考查函数图象8.为了纪念中华人民共和国成立70 周年， 某单位计划印制纪念图案.为了测算纪念图案的面积，如图所示，作一个面积约为212cm的正六边形将其包含在内，并向正六边形内随机投掷300 个点，已知有 124个点落在纪念图案部分，据此可以估计纪念图案的面积约为( ) a. 23cmb. 24cmc. 25cmd. 26cm【答案】

8、 c 【解析】【分析】先阅读题意，再结合随机模拟实验的结果求解即可. 【详解】解：设纪念图案的面积为s，由随机模拟实验可得12412300s，则4.965s，故选： c. 【点睛】本题考查了随机模拟实验，重点考查了利用随机模拟实验求几何图形的面积，属基础题. 9.已知函数1( )sin23f xx，把函数( )f x 的图象上每个点向右平移3个单位得到函数( )g x的图象，则函数( )g x的一条对称轴方程为( ) a. 34xb. xc. 2xd. 73x【答案】 c 【解析】【分析】先由三角函数图像的平移变换可得( )g x1cos2x，然后由三角函数图像的对称轴方程的求法求解即可 .

9、【详解】解：把函数( )f x 的图象上每个点向右平移3个单位得到函数( )g x的图象，则( )g x111sin()sin()cos233222xxx，令12xk，即2,xkkz，即函数( )g x的对称轴方程为2,xkkz，即函数( )g x的一条对称轴方程为2x，故选： c. 【点睛】本题考查了三角函数图像的平移变换，重点考查了三角函数图像的对称轴方程的求法，属基础题 . 10.设是给定的平面，ab，是不在内的任意两点有下列四个命题： 在内存在直线与直线ab异面； 在内存在直线与直线ab相交； 存在过直线ab的平面与垂直； 存在过直线ab的平面与平行其中，一定正确的是() a. b.

10、c. d. 【答案】 b 【解析】【分析】根据直线和平面的位置关系 ,找到反例 ,即可判断选项【详解】由题 , 对于 , 当直线/ /ab平面时, 不成立；对于, 当直线ab平面时,不成立；对于 , 根据直线与平面的位置关系, 显然成立 , 故选： b 【点睛】本题考查直线与平面的位置关系的判定,熟练掌握直线与平面位置关系的判定定理与定义及推论是解题关键11.已知椭圆2222:1(0)xycabab的左焦点为f，直线3yx与椭圆c相交于a，b两点，且afbf，则椭圆c的离心率为 () a. 212b. 21c. 312d. 31【答案】 d 【解析】【分析】可解得点a、b坐标，由afbf，得0

11、af bfuuu r uu u rg， 把222bac代入该式整理后两边同除以4a ，得 e方程，解出即可，注意e的取值范围【详解】解：由222213xyabyx，消y可得得22222(3)abxa b ，解得223abxab，分别代入2233abyab，22(3abaab，223)3abab，22(3abbab，223)3abab，22(3abafcabuu u r，223)3abab，22(3abbfcabu uu r，223)3abab，afbfq2222222223033a ba baf bfcababuu u r uuu rg，2222243a bcab，(*)把222bac代入(*

12、)式并整理得22422244()a ccaac，两边同除以4a并整理得42840ee，解得242 3e31e，故选d【点睛】本题考查椭圆的简单性质、直线与椭圆的位置关系，考查学生的运算能力，属中档题12.己知函数( )f x()xr满足( )(2)f xfx，函数11( )xxg xa ee，若方程( )( )f xg x有 2019个解，记为(1,2,2019)ix i，则20191iix( ) a. 2019b. 4038c. 2020d. 4040 【答案】 a 【解析】【分析】由已知有函数( )f x 与函数( )g x的图像都关于点1,0对称，又方程( )( )f xg x的解等价于

13、函数( )f x 的图像与函数( )g x的图像交点的横坐标，再结合函数图像的对称性求解即可. 【详解】解：因为函数( )f x()xr满足( )(2)f xfx，则函数( )f x 的图像关于点1,0对称，又函数11( )xxg xa ee， 则(1)(1)0gxgx，即函数( )g x的图像也关于点1,0对称，又方程( )( )f xg x的解等价于函数( )f x 的图像与函数( )g x的图像交点的横坐标，由题意可得函数( )f x 的图像与函数( )g x的图像交点关于点1,0对称，且每组对称点的横坐标之和为2 12，又( )( )f xg x有 2019 个解，则201912201

14、920192iix，故选： a. 【点睛】本题考查了函数图像的对称性，重点考查了方程的解与函数图像交点的关系，属中档题. 二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分，共 20分.请把答案填在答题卡的相应位置上. 13.已知函数1,0,( )2019,0,xexf xxx满足( 1)( )0ff a，则 a 的值为 _. 【答案】 2018 【解析】【分析】先由分段函数解析式可得( )1f a，再分类讨论得不等式组101aae或020191aa，然后求解即可 . 【详解】解：由分段函数解析式可得1 1( 1)1fe，又( 1)( )0ff a，则( )1f a，则101aae或020191aa

15、，解得：2018a，故答案为：2018. 【点睛】本题考查了分段函数求值问题，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属基础题. 14.已知2sin45，则cos4_. 【答案】25【解析】【分析】由()442，然后求解即可. 【详解】解：因为2sin45，所以2coscos()sin()44245，故答案为：25. 【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式，重点考查了角与角之间的关系，属基础题. 15.已知abcv的内角 a，b，c 的对边分别为a，b，c，满足coscos2 cos,baabcb2 3b，则abcv外接圆的面积为_. 【答案】 4. 【解析】【分析】先由正弦定理sinsinsinab

16、cabc可得sincossincos2sincos ,baabcb然后结合两角和的正弦公式求出3sin2b，再求出abcv外接圆的半径为2，再结合圆的面积公式求解即可. 【详解】解：因为coscos2 cos ,baabcb由正弦定理sinsinsinabcabc可得：sincossincos2sincos ,baabcb即sin()2sincos ,abcb即sin2sincos ,ccb又sin0c，即1cos2b，又0,b，所以3sin2b，设abcv外接圆的半径为r，则2 324sin32brb，即2r，则abcv外接圆的面积为2224r，故答案为：4. 【点睛】本题考查了正弦定理及两

17、角和的正弦公式，重点考查了圆的面积公式，属中档题. 16.如图所示，六氟化硫6sf的分子是一个正八面体结构，其中6 个氟原子()f恰好在正八面体的顶点上，而硫原子( )s恰好是正八面体的中心.若把该分子放入一个球内，则这个球的体积与六氟化硫分子体积之比的最小值为_. 【答案】. 【解析】【分析】当这个球的体积与六氟化硫分子体积之比取最小值时，此时这个球为正八面体的外接球，由正八面体的性质可得球心为点s，再结合锥体及球体的体积公式求解即可. 【详解】解：由正八面体的性质可得：当这个球的体积与六氟化硫分子体积之比取最小值时，此时这个球为正八面体的外接球，且球心为点s， 设外接球的半径为r，则正八面

18、体的体积为32142(2)33rrr，又正八面体的外接球的体积为343r，则这个球的体积与六氟化硫分子体积之比的最小值为334343rr, 故答案为：. 【点睛】本题考查了正八面体的外接球的有关问题，重点考查了锥体及球体的体积公式，属中档题. 三、解答题：本大题共6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17至 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答 . ( 一) 必考题：本大题共5 小题，每小题 12分，共 60分. 17.已知各项均为正数的等比数列na满足11,a2312,aa*nn. ( 1) 求数列na的通项公式；(

19、2) 设nnba是首项为1，公差为2的等差数列，求数列nb的前n项和nt. 【答案】 (1)13nna；(2)23122nn【解析】【分析】( 1) 由已知条件求出等比数列的公比q，再求通项即可；( 2) 先由等差数列通项公式的求法求出数列nb的通项，然后由分组求和法及公式法求数列nb的前 n项和nt即可 . 【详解】解： ( 1) 因为na是正数等比数列，且11,a2312aa所以1211112aa qa q，即2120qq分解得(4)(3)0qq，又因为0na，所以3q，所以数列na的通项公式为13nna；(2) 因为nnba是首项为1，公差为2的等差数列，所以1(1)221nnbann，

20、所以121321nnnbnan，所以12nntbbb0113133321nn011333(1 321)nn13(121)132nnn23122nn. 【点睛】本题考查了等比数列及等差数列的通项公式的求法，重点考查了利用分组求和法及公式法求数列的前n 项和，属中档题. 18.某农科所对冬季昼夜温差( 最高温度与最低温度的差) 大小与某反季节大豆新品种一天内发芽数之间的关系进行了分析研究，他们分别记录了12 月 1 日至 12 月 6 日每天昼夜最高、最低的温度( 如图甲 ) ，以及实验室每天每100 颗种子中的发芽数情况( 如图乙 ) ，得到如下资料：最高温度最低温度甲乙( 1) 请画出发芽数y

21、 与温差 x的散点图；( 2) 若建立发芽数y 与温差 x之间的线性回归模型，请用相关系数说明建立模型的合理性；( 3) 求出发芽数y 与温差 x之间的回归方程?yabx( 系数精确到0.01) ；若 12 月 7日的昼夜温差为8 c， 通过建立的y 关于 x 的回归方程， 估计该实验室12 月 7日当天 100颗种子的发芽数. 参考数据：6175,iix6611162,2051,iiiiiyx y622164.2,iixx622166.5iiyy. 参考公式：相关系数：1222211niiinniiiix ynx yrxnxyny( 当| | 0.75r时，具有较强的相关关系) . 回归方程

22、?yabx中斜率和截距计算公式：1221?,niiiniix ynx ybxnx? aybx. 【答案】 (1) 见解析；(2) y 与 x 的线性相关程度较强；( 3) ?1.478.63yx； 20 颗. 【解析】【分析】( 1) 结合题设所给数据作出散点图即可；( 2) 结合题设所给数据，求出相关系数r的值，再作出判断即可；( 3) 结合题设所给数据，由最小二乘估计公式求出发芽数y与温差 x 之间的回归方程，从而运算即可得解 . 【详解】解： ( 1) 散点图如图所示( 2)6166222211666iiiiiiix yx yrxxyy75 1622051 6664.2 6.544.20

23、.9520.75因为 y与 x 的相关系数近似为0.9520.75，说明 y 与 x的线性相关程度较强，从而建立发芽数y与温差 x 之间的线性回归模型是合理的；( 3) 由最小二乘估计公式，得6162216?6iiiiix yx ybxx275 1622051 6664.22264.21.47，? aybx162751.47668.63，所以?1.478.63yx，当8x时，?1.4788.6320y(颗 ) ，所以，估计该实验室12月 7日当天种子的发芽数为20 颗. 【点睛】本题考查了散点图的作法，主要考查了回归方程的求法，重点考查了运算能力，属中档题. 19.如图甲， ad，bc 是等腰

24、梯形cdef 的两条高，2adaecd，点 m 是线段 ae 的中点，将该等腰梯形沿着两条高ad，bc 折叠成如图乙所示的四棱锥p-abcd ( e，f 重合，记为点p) . 甲乙( 1) 求证：bmdp；( 2) 求点 m 到平面 bdp 距离 h. 【答案】 (1) 证明见解析 (2)217【解析】【分析】( 1) 先证明bm平面 adp，再证明bmdp即可；( 2) 利用等体积法，由mbdpdbmpvv，然后结合锥体体积公式求解即可. 【详解】解： ( 1) 因为adef，所以,adapadab，又apabai，ap，ab平面 abp，所以ad平面 abp，因为bm平面 abp，所以ad

25、bm；由已知得，2abapbp，所以abp是等边三角形，又因为点m 是 ap的中点，所以bmap；因为,adbm,apbm,adapai,adap平面 adp，所以bm平面 adp，因为dp平面 adp，所以bmdp. ( 2) 取 bp 中点 n，连结 dn，因为ad平面 abp，2abapad，所以22dpbd，所以dnbp，所以，在rt dpnv中，228 17dndppn，所以12dbpsbpdnv12727，因为ad平面 abp，所以13dbmpbmpvadsv，因为mbdpd bmpvv，所以1133bdpbmphsadsvv，又12bmpabpssv21324ab233282，所

26、以32177bmpbdpadshsvv，即点 m 到平面 bdp 的距高为217. 【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理，重点考查了利用等体积法求点到面的距离，属中档题. 20.已知函数( )2()xf xeax ar. ( 1) 若( )fx 的极值为0，求实数 a 的值；( 2) 若( )2 ln2fxxxx对于(2,4)x恒成立，求实数a 的取值范围 . 【答案】 (1)2ea；( 2)2ln 214ea. 【解析】【分析】( 1) 先求函数的导函数，再讨论函数的单调性，从而确定函数的极值，然后求参数的值即可；( 2) 先将命题转化为222 lnxeaxx对于(2,4)x恒成立，再构造函

27、数( )22lnxeh xxx，(2,4)x，则原问题转化为min2( ),ah x(2,4)x，再结合导数的应用求解即可. 【详解】 ( 1)由题得( )2xfxea，当0a时，( )0fx恒成立，( )f x在(,)上单调递增，没有极值. 当0a时，由( )0fx，得ln2xa ，当(,ln 2 )xa时，( )0fx，( )f x 在(,ln 2 )a上单调递减，当(ln 2 ,)xa时，( )0fx，( )f x 在(ln 2 ,)a上单调递增，( )f x在ln2xa时取到极小值，( )f xq的极值为0，(ln 2 )0fa，ln22 ln 20aeaa即2 (1ln 2 )0aa

28、，2ea；( 2) 由题得22 ln2xeaxxxx对于(2,4)x恒成立，222lnxeaxx对于(2,4)x恒成立，令( )22lnxeh xxx，原问题转化为min2( ),ah x(2,4)x，又22( )xxe xexhxx，令( )2xxg xe xex，则( )20 xg xe x在(2,4)x上恒成立，( )g x在(2,4)上单调递增，( )(2)g xg2224ee240e，( )0hx( )22lnxeh xxx(2,4)上单调递增，2( )(2)22ln 22eh xh，2ln 214ea. 【点睛】本题考查了导数的综合应用，重点考查了利用导数研究不等式恒成立问题，属综

29、合性较强的题型 . 21.已知抛物线2:4cyx，在 x 轴正半轴上任意选定一点( ,0)m m(0)m，过点 m 作与 x轴垂直的直线交c 于 p，o 两点 . ( 1) 设1m，证明：抛物线2:4cyx在点 p，q 处的切线方程的交点n 与点 m 关于原点o 对称；( 2) 通过解答 ( 1) ，猜想求过抛物线2:2c ypx(0)p上一点00,g x y( 不为原点 ) 的切线方程的一种做法，并加以证明. 【答案】 (1) 证明见解析 (2)证明见解析【解析】【分析】( 1) 先求函数2yx的导函数，再求抛物线在点p、q 处的切线方程，然后求两直线的交点坐标即可得证；( 2) 先由 (

30、1) 猜想切线方程为直线000:2ygmyxxx，再利用导数求曲线在某点处的切线方程即可得证 . 【详解】 (1)当1m时，点(1,0),m(1,2),p(1, 2)q，由24yx得2yx，故1yx或1yx，所以在点p处的切线方程为21yx，即1yx，在点 q 处的切线方程为2(1)yx，即1yx，由11yxyx得交点( 1,0)n，所以交点n 与 m 关于原点o 对称 . ( 2) 过点00,g xy00 x作与 x 轴垂直的直线交x 轴于点0,0mx，作点 m 关于原点对称的点0,0mx，猜想切线方程为直线000:2ygmyxxx，即00y yp xx，其中2002ypx, 由22ypx得

31、2ypx，122ypx或122ypx, 所以在点00,g xy处的切线斜率为10122kpx或20122kpx, 故点00,g xy处的切线方程为: 000122yypxxx或000122yypxxx, 由2002ypx得002pxy或002pxy, 所以在点00,g xy处切线方程为000pyyxxy, 整理得2000y yypxpx，即00y yp xx. 【点睛】本题考查了利用导数求曲线在某点处的切线方程，主要考查了两直线交点坐标的求法，重点考查了运算能力，属综合性较强的题型. ( 二) 选考题：共 10分，请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时

32、请写清题号. 选修 4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xoy中，圆c的普通方程为224650 xyxy在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为3 242sin(1) 写出圆c的参数方程和直线l的直角坐标方程；( 2) 设点p在c上，点 q在l上，求pq的最小值及此时点p的直角坐标【答案】 (1) 圆c的参数方程：22 2 cos32 2 sinxy，直线l：30 xy；(2)min2 2pq，此时点p的坐标为01 ，【解析】【分析】( 1) 整理圆c的方程为22238xy,即可写出参数方程,利用cossinxy将直线方程写为直角坐标方程即可；( 2) 法一：利用参数方程设曲线c上的点22 2 cos,32 2sinp,利用点到直线距离公式可得2 2 sin24d,则根据三角函数的性质求处最值,并将代回