2020届内蒙古赤峰市高三下学期模拟考试数学(文)试题(解析版)

1、2020 届内蒙古赤峰市高三下学期模拟考试数学（文）试题一、单选题1 已知集合 A x x2 x 2 0 , B x y 1 x ，则 AI B （ ） A,2B ,1C 1,1 D 1,2【答案】 C【解析】 化简集合 A， B ，根据交集定义，即可求得 AI B；【详解】Q A x x2 x 2 0 ,2A x x2 x 2 0 = x x 2 x 1 0 1,2Q B x y 1 xB x y 1 x = ,1故 AI B 1,2 I ,1 1,1故选： C.【点睛】 本题主要考查了集合的交集运算，解题关键是掌握交集定义和一元二次不等式的解法， 考查了分析能力和计算能力，属于基础题 .2

2、设复数 z在复平面上的对应点为 1, 1 ，z为 z的共轭复数，则（）zA z z 是纯虚数B z z是实数C z z是纯虚数 D 是纯虚数z【答案】 D【解析】由复数 z在复平面上的对应点为 1, 1 ，可得 z 1 i，根据 z为 z的共轭复数， 可得 z 1 i ，逐项验证，即可求得答案 .【详解】Q 复数 z 在复平面上的对应点为 1, 1z1i根据 z为 z的共轭复数对于 A ， z z1i 1 i2，z对于 B ， z z1i1i2i ，对于 C ， z z1i1i2，2对于 D ， z 1i1iz1i1i1i故选： D.z 是实数，故 A 错误；zz 是实数，故 C 错误；z z

3、 是纯虚数，故 B 错误；i， z 是纯虚数， z故 D 正确 .【点睛】本题主要考查了复数共轭的定义和复数四则运算法则， 考查了分析能力和计算能力， 属 于基础题 .3“ x y 0”是“ lg x 1 lg y 1 ”成立的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C充要条件D 既不充分也不必要条件【答案】 A【解析】 根本充分条件和必要条件定义，结合对数单调性，即可求得答案 【详解】Q x y 0 ，可得 x 1 y 1 1由 y lg x 在定义域是单调递增函数lg x 1 lg y 1故由“ x y 0 ”可以推出“ lg x 1 lg y 1 ”“ x y 0 ”是“ lg x 1

4、 lg y 1 ”充分条件由 lg x 1 lg y 1 ，x 1 y 1可得 x 1 0 ，解得 x y 1 y10故由“ lg x 1 lg y 1 ”不能推出“ x y 0 ”“ x y 0 ”是“ lg x 1 lg y 1 ”非必要条件综上所述，“ x y 0 ”是“ lg x 1 lg y 1 ” 充分不必要条件故选： A.【点睛】本题主要考查了判断充分不必要条件， 解题关键是掌握充分条件和必要条件的定义， 及 其对数的单调性，考查了分析能力和推理能力，属于基础题 .4 随着我国经济实力的不断提升， 居民收入也在不断增加 .抽样发现赤峰市某家庭 2019 年全年的收入与 2015

5、年全年的收入相比增加了一倍，实现翻番.同时该家庭的消费结构随之也发生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例， 得到了如下折线图：则下列结论中正确的是（ ）A该家庭 2019 年食品的消费额是 2015 年食品的消费额的一半B该家庭2019年教育医疗的消费额是2015年教育医疗的消费额的 1.5 倍C该家庭2019年休闲旅游的消费额是2015年休闲旅游的消费额的六倍D该家庭2019年生活用品的消费额与2015年生活用品的消费额相当【答案】 C【解析】 先对折线图信息的理解及处理， 再结合数据进行简单的合情推理逐一检验即可 得解 .【详解】由折线图可知：不妨设 2015 年

6、全年的收入为 对于 A ，该家庭 2019 年食品的消费额为 × t=0.4 t ，故 A 错误， 对于 B ，该家庭 2019 年教育医疗的消费额为 额为 0.3 × t=0.3 t，故 B 错误， 对于 C，该家庭 2019 年休闲旅游的消费额是 额是 0.1 × t=0.1 t，故 C 正确， 对于 D ，该家庭 2019 年生活用品的消费额是 品的消费额是 0.15 × t =0.15 t，故 D 错误，t，则 2019 年全年的收入为 2t，0.2 × 2 t=0.4 t，2015 年食品的消费额为 0.40.2 ×2 t

7、=0.4 t，2015 年教育医疗的消费0.3 ×2 t =0.6 t，2015 年休闲旅游的消费0.15 × 2t=0.3 t，该家庭 2015 年生活用故选： C.【点睛】本题解题关键是掌握折线图基础知识， 结合所给数据进行简单的合情推理， 考查了分析 能力和计算能力，属于基础题 .115 已知 a22 , b 55 , clog3 2 ，则 a，b，c 的大小关系为()A abcB cbaC c a bDbac【答案】B【解析】由a122 1, b155 1 ，而 clog3 2 1，即可得到 ac,bc . 在比较 a10和 b10 ，即可a,b 大小关系，进而求得

8、 a，b，c 的大小关系 .【详解】1Q a 22 1, b1551，c log3 2 1a c,bc又 Q a10525 =32，b10252 =25,10 10a b ，即 ab综上所述，cba故选： B.点睛】 本题主要考查了比较数的大小， 解题关键是不等式的基本性质和对数函数单调性， 考查了分析能力和计算能力，属于基础题6 若双曲线 C ：2x y2 1 的一条渐近线方程为 m3x 2y 0 ，则 m()4923ABCD9432【答案】 A解析】 根据双曲线的渐近线列方程，解方程求得m 的值.详解】由题意知双曲线的渐近线方程为 y1xmm0 ， 3x 2y 0 可化为 y3x，则 1

9、3 ，解得 m 4 . m 2 9故选： A 【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，属于基础题 .7 孪生素数猜想是希尔伯特在 1900 年提出的 23 个问题之一， 2013 年华人数学家张 益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式，问题可以描述为: 存在无穷多个素数 p ，使得 p 2是素数，素数对 p,p 2 称为孪生素数对问：如果从 30 以内的素数组成的 孪生素数对中随机抽取一对，这对孪生素数的积不超过 20 的概率是( )1111AB CD 2345【答案】 C【解析】 由题意可得不超过 30 的素数有 10 个，满足题意的孪生素数对有 4 个，利用 古典概型公式可得结果 .【详解】不

10、超过 30 的素数有 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29 ，共 10 个，根据素数对 p,p 2 称为孪生素数，则由不超过 30 的素数组成的孪生素数对为 (3,5),(5,7),(11,13),(17,19) ，这 4 个孪生素数只有孪生素数 (3,5) 的积为 15 201共有 4 组，孪生素数的积不超过 20 的概率： P ，4故选： C.【点睛】 本题考查古典概型概率公式，考查组合知识的应用，考查分析问题解决问题的能力 .8 设等比数列 an 的前 n项和为 Sn ，若a1 1，且4a2，2a3，a4成等差数列， 则 S8 ()A510B 255C512D 256【答案

11、】 B【解析】 由题意，设等比数列 an 的公比为 q，由 4a2， 2a3，a4成等差数列，求得 q， 进而求得 S8 .【详解】设等比数列 an 的公比为 q，Q 4a2 ， 2 a3， a4 成等差数列，23即 4a3 4a2 a4，则 4a1q2 4a1q a1q3 ， 又 Q a1 1 ，q2 4q 4 0，解得 q= 2 ，a1 1 q81 1 28 1 1 28S8 1255.8 1 q 1 2 1 2故选： B.点睛】本题主要考查了等差数列的中项公式和等比数列的前n 项和公式的应用， 其中根据等差数列和等比数列的基本量的运算， 列出方程求解等比数列的公比是解答本题的关键，重考查

12、了推理与运算能力9 将函数 y sin x cosx21cos x22 的图象向右平移 8 个单位长度得到函数 g x 的图象，下列结论正确的是(A g x 是最小正周期为2 的偶函数Bgx是最小正周期为 4 的奇函数C g x ）在,2 上单调递减Dgx2在 0, 上的最大值为 2 22答案】 D解析】 化简21y sin xcosx cos x ，可得 y22sin sin 22x 4 ，由将函数y sin x cosx21cos2x 12 的图象向右平移 8 个单位长度得到函数 g x 的图象，可得gx22 cos2x ，结合余弦函数图象特征，即可求得答案2详解】Q y sin x co

13、sx21cos x2y 1 sin 2x21 cos2x22sin 2x24由将函数 ysin xcos x2cos x2 的图象向右平移 8 个单位长度得到函数 g x 的图象可得 g x2sin22= 2sin 2x2 4 422sin 2x2cos2x22可得其周期为2T 2, 故 A,B 错误根据其周期为，结合余弦图象特征可知， g x 在 ,2 不是单调函数根据 g x2 cos2x ，在 x20,2在 x 2 时，cos2x 1，故 g2此时取最大值 2 ，故 D 正确；2综上所述，只有选项 D 符合题意故选： D.点睛】本题解题关键是掌握三角函数图象平移的方法和余弦函数图象特征，

14、考查了分析能力和计算能力，属于中档题 .10 已知椭圆 C: 2xy2 1，a 9 aF1、 F2 是其左右焦点，若对椭圆都有uuur uuuurPF1 PF2 0 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A3,0 U 0,3B 3,0 U 0,3C, 3 U 3,D ,3 3,C 上的任意一点 P ，答案】C22解析】x2椭圆 C: 2xa92y22 1 ，2， aF1、 F2 是其左右焦点，若对椭圆C 上的任意一点 P ，画出图象，根据图象可知当点 P 移动到 y 轴顶点时，F1PF2 角度最大，此时uuur uuuur uuur uuuurPF1 PF2 0， P移动到椭圆其位置也必有 PF

15、1 PF20，uuur uuuur 求出 PF1 ， PF2 ，根据向量数量积坐标公式，即可求得答案2xQ 椭圆 C: 2xa2 9C 上的任意一点 P ，详解】22 1 ， F1、 F2 是其左右焦点，若对椭圆 a画出图象：uuur uuuur 根据图象可知当点 P移动到 y轴顶点时， F1PF2角度最大， 此时 PF1 PF2 0，P 移uuur uuuur 动到椭圆其位置也必有 PF1 PF2 022 根据 C: 2xy2 1a 9 aF1 3,0 ， F2 3,0 ，点 P 移动到 y 轴顶点时， P 0,auuur uuuur 可得： PF13, a ， PF2 3,auuur uu

16、uur 由 PF1 PF2 0，可得 9 a2 0 ，即 a2 9解得 3 a 3其 a 0故选： C.【点睛】数形结合， 考查了分析本题解题关键是掌握椭圆的图象特征和向量的数量积坐标公式，能力和计算能力，属于中档题11 已知三棱锥P ABC 中， PA PBPC3 ，当三棱锥 P ABC 体积最大值时，三棱锥 PABC 的外接球的体积为(9A2B 36C32712D9答案】 A解析】 三棱锥 P ABC ，以 PAB为底，C 到平面 PAB 的距离为高，得到三棱锥P ABC在 PA,PB,PC两两垂直时体积最大，此时三棱锥 P ABC 的外接球可以看 作是以 3 为棱长的正方体的外接球，从而

17、求出其半径，得到球的体积 【详解】三棱锥 P ABC ，以 PAB为底， C 到平面 PAB的距离为高，则可知 PC 平面 PAB时， C到平面 PAB的距离最大为 3 ， 底面 PAB 为等腰三角形，13S PAB PA PB sin BPA sin BPA ， 22当 sin BPA 1时， PAB 的面积最大，即 PA PB ，当 PA, PB,PC 两两垂直时，三棱锥 P ABC 体积最大，此时三棱锥 P ABC 的外接球可以看作是以3 为棱长的正方体的外接球，设球的半径为 R ，则 2R 2 3 3 3 ，解得 R 3 ，24 3 4 3 3 9所求球的体积为 V 4 R3 4 3

18、9 .3 3 2 2故选： A.【点睛】 本题考查求三棱锥的体积，求三棱锥外接球的体积，考查了空间想象能力和计算能力， 属于中档题 .1212 已知函数 y 1 2ln x x ,e 的图象上存在点 M ，函数 y x2 a 的图象上存 e在点 N ，且点 M ，N 关于原点对称，则实数a 的取值范围是()A 0,112 e2B 0,e2 312C 1 2 ,e 3 eD1 e12 , e【答案】B【解析】原题等价于函数 y 1 2ln x x 1,e 的图象与函数 y2xa 的图象有交e2 1 2 1 点，即方程 1 2ln x x2 a x ,e 有解，即 a x2 1 2lnx x ,e

19、 有解， ee2令 f x x2 1 2lnx ，利用导数法求出函数的值域，即可求得答案【详解】22函数 y x2 a的图象与函数 y x2 a 的图象关于原点对称，12 则原题等价于函数 y 1 2ln x x ,e 的图象与函数 y x2 a 的图象有交点， e即方程 1 2ln x x2 a x 1,e 有解，x21 2lnx x1,e 有解， e1 2lnx1,e ，e2x2x1， x0，1,1 时， fe1,e0，故 f x min12 1， fee2 3 ，故当e 时， fx maxe2 3故 a 的取值范围为0,e23.故选： B.点睛】 本题考查了图象的对称性，以及运用导数求函

20、数的单调区间，极值的求解，在利用导数 求单调区间的过程中，要注意定义域的范围、填空题13 设 f x 在 R 上是奇函数，且 f 1 xf 1 x ，当 x 0,1 时， f x3x，则 f 7 .21【答案】80,1【解析】 由 f 1 x f 1 x ，结合 f x 是奇函数， 求出 f x 周期，根据 x37时， f x x ，即可求得 f .2【详解】Q f 1 x f 1 x ，f 1 x 1 f 2 x ，即 f x f 2 xQ f x 是定义是 R 上的奇函数，f 2 x f x 故 f 2 x 2 f f x f 4 x 故 f x 周期为 4x 2 ，即 f 4 xf x

21、2 77Qff422又Q当x0,1 时，11f2871故ff22故答案为：18.【点睛】f 1 f 122f x x318本题考查函数周期性的应用，重点在于得出函数的周期，难点在于对所求式子的化简， 属中档题 .rarb，且 va2a ，则ra与br 的夹角为 r r v14 已知非零向量 a，b 满足 b【答案】 （或写成 60 ）3 r r r r rr r r【解析】 设 ar 与 br 的夹角为 ，通过 br ra ar ，可得 b a a=0 ，化简整理可求出 cos ，从而得到答案 .【详解】rr 设 a 与 b 的夹角为r r rQ b a arrr可得 b a a=0 ，r r

22、 r 2a b a =0r r r 2 v v 故 a b cos a =0 ，将 b 2 a 代入可得得到 cos1，2，于是 ar 与br 的夹角为 3 .3故答案为： .3【点睛】本题主要考查向量的数量积运算， 向量垂直转化为数量积为 0 是解决本题的关键， 意在 考查学生的转化能力，分析能力及计算能力 .15 设数列an的前 n项和为 S，且满足 2anSn1，则使 a12a22Lan2352n1，3成立的 n 的最大值为 .【答案】 3解析】 对递推关系 2an2an2故 a12114n14n413由 a12a22 L2an5 2n 13可得 4 132nSn 1 再递推一步，得到新

23、的等式，两个等式相减，结合等 比数列的定义进行求解即可Q 2anSn1当n1 时， 2a1 S1 1 ，即 a1 1故 a11；2an Sn 1,当n2时，n n 两式相减得 an2an 1 Sn 1 1,故数列an为首项为 1，公比为 2 的等比数列，可得 n2，an = 2n-1当n1时，n- 1a1 1，即 n 1也符合 an = 2n- 1故数列an的通项公式为： an = 2n- 1详解】22an 1 .2n 14n 1n 2 n整理可得： 2n 1 10 2nn 2 n即 2n10 2n 1 0可得 0 2n 10 104 5+ 262故 n 的最大值为： 3.故答案为： 3.【点

24、睛】本题考查了由数列递推公式求数列通项公式， 考查了等比数列的定义， 考查了数学运算 能力 .三、双空题16 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题： “今有仓， 广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛，问高几何？”其意思为： “今有一个长方体的粮仓， 宽 3 丈，长 4 丈 5 尺，可装粟一万斛 . 已知 1 斛粟的体积为 2.7 立方尺， 1 丈为 10 尺， 则该粮仓的高是 尺. 若将这些粟装入一个圆柱形粮仓内，若使这个圆柱形粮仓的表面积（含上下两底）最小，那么它的底面半径是 尺 .【答案】 203320 （或写成 3 13500 ）【解析】 根据长方体的体积公式，即可求得该粮

25、仓的高；设圆柱形底面半径为R,根据一个长方体等于圆柱形体积，列出等式，结合均值不等式，即可求得答案 .【详解】设长方体高为 hQ1 斛粟的体积为 2.7 立方尺，即 110000 2.7立方丈根据长方体体积公式可得： 10000 2.7 30 45 h解得 h 20 丈设圆柱形底面半径为 R ，高为 H ，表面积为 S 根据题意可知：一个长方体等于圆柱形体积 可得 10000 2.7 R2H故 H 10000 2.7R2S 2 R2 2 R H2 R2 1000 272 R2 2 R10000 2 2.7R21000 27 3 3 2 R2 1000 27 1000 27 27003 2 R

26、R R当且仅当 2 R21000 27 1000 27RR3即 R31000 272，可得 R30故答案为：20 ，303 2 .点睛】本题主要考查了长方体的体积和根据基本不等式求最值，力，以及推理与计算能力，属于中档试题着重考查了学生的空间想象能四、解答题17 如图，四棱锥 P- ABCD 中，底面 ABCD为直角梯形， AB AD， ADC 45 ，AD/BC，AD 2AB 2，ADP为等边三角形， 平面PAD 底面 ABCD，E 为 AD 的中点 .1 ）求证：平面 PBC 平面 PCE ；2）点答案】解析】CF 3F 在线段 CD 上，且 CF 3 ，求三棱锥 FFD 21）证明见解析

27、； （2 ） 4 3151 ）要证平面 PBC 平面 PCE ，只需证明ABP的体积 .BC 平面 PCE ，结合已知条件，即可求得答案；1（2）过F 作FG AB ，垂足为 G，VF ABP VP ABFS4BF PE ，结合所给数据，F ABP P ABF 3 4BF即可求得答案 .【详解】（ 1 ） Q PAD 为等边三角形， E 为 AD 的中点，PE ADQ 平面 PAD 底面 ABCD ，平面 PAD I 底面 ABCD ADPE 底面 ABCD ， BC 平面 ABCD ，PE BC由又 Q 题意可知 ABCE 为正方形， CE BC，又 PEI EC E， BC平面 PCEBC

28、 平面 PBC平面 PBC平面 PCE（ 2 ）过 F 作FGAB ，垂足为GVF ABPVPABF1SS 4BF3PE11ABFGPE 1118332325【点睛】和椎体体积，本题主要考查了求证面面垂直4315解题关键是掌握将面面垂直转化为线面垂直方法和椎体体积公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题18 在 VABC 中，内角 A, B, C所对的边分别是 a,b,c，且 b c acosB 3asin B .（ 1）求角 A ；（2）若 a 2 3 ，求 VABC 的面积的最大值 .【答案】（1） 3 ；（2） 3 33【解析】（ 1 ）因为 b c acosB 3asin B ，根据

29、正弦定理“边化角” ，结合正弦两角 和公式，即可求得角 A ；（ 2 ）根据余弦定理求得 b,c 关系式，结合均值不等式和三角形面积公式，即可求得VABC 的面积的最大值 .【详解】（ 1 ）由题设及正弦定理得sinB sinC sin AcosB 3sin AsinBQ A B CsinC sin(A B)sinB sin(A B) sin A cosB 3sin AsinB化简得 sinB( 3sin A cosA 1) 0Q sinB 0 ，3sin A cosA 1，1可得： sin A62Q 0 A xA32）由已知 a 2 3 （ 1 ），根据余弦定理得cosAb2122bcb21

30、22bc22bc b2 c2 12 Q b2 c2 2bc ， bc 12（当且仅当 b c时取号）SABC1 bc sin A1bc3112 33 3 （当且仅当b c 时取号） ABC2222 2点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理解三角形问题， 解题关键是掌握正弦定理和余弦定 理公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题 .19 3 月 3 日，武汉大学人民医院的团队在预印本平台SSRN上发布了一项研究： 在新冠肺炎病例的统计数据中，男性患者往往比女性患者多.研究者分析了 1 月 1 日29 日的 6013 份病例数据，发现 55.9% 的患者为男性；进入重症监护病房的患者中，则有 5

31、8.8%为男性 .随后，他们分析了武汉大学人民医院的数据. 他们按照症状程度的不同进行分析， 结果发现， 男性患者有 11.8%为危重， 而女性患者危重情况的为 7% .也就是说 男性的发病情况似乎普遍更严重 . 研究者总结道： “男性在新冠肺炎的传播中扮演着重要的角色 .”那么，病毒真的偏爱男性吗？有一个中学生学习小组，在自己封闭的社区进 行无接触抽样问卷调查，收集到男、女患者各 50 个数据，统计如下：轻中度感染重度（包括危重）总计男性患者20mx女性患者30ny总计50501001）求 2 2列联表中的数据 m,n,x,y 的值；2 ）能否有 99.9%把握认为，新冠肺炎的感染程度和性别

32、有关？5 人，追踪3）该学生实验小组打算从“轻中度感染”的患者中按男女比例再抽取某种中药制剂的效果 .然后从这 5 人中随机抽取 3 人进行每日的健康记录，求至少抽到n(ad bc)2(a b)(c d)(a c)(b d)2 名女性患者的概率 .2P K 2 k00.050.0250.0100.0050.001k03.8415.0246.6357.87910.828附表及公式：K2n a b c d .答案】（1） m 30，n 20， x 50，y 50 ；（ 2 ）没有；（3 ） 710解析】（1）根据 2 2 列联表所给数据，联立方程组，即可求得答案；2）根所给数据得到列联表，利用公式

33、求得K2，与临界值比较，即可求得答案；3 ）利用列举法，结合古典概型概率计算公式，求得所求概率.详解】1）求 2 2 列联表可得20 m x30nymn 50xy 100解得： m 30， n 20， x 50， y 50 .（ 2 ）根据所给数据由K2n(ad bc)2, n a b c d (a b)(c d)(a c)(b d)K2100(20 20 30 30)24 10.82850 50 50 50没有 99.9% 把握认为新冠肺炎的感染程度和性别有关（ 3 ）由于在“轻 -中度感染”的患者中，按男女比例为2:3 ，设抽取的 5 人中 3 名女性患者用 a，b，c表示，2 名男性患者

34、用 D，E表示， 则所有组合为：（D,E,a）（D,E,b）,（D,E,c）,（D,a,b）, (D,a,c),(D,b,c),(E,a,b),(E,a,c),（E,b,c）,（a，b，c），可能的情况共有 10 种其中至少抽到 2 名女性患者的情况有 7 种，设至少抽到 2 名女性患者的事件为 A，则 P（A） 710【点睛】本题主要考查 2 2 列联表独立性检验，考查古典概型概率计算，考查运算求解能力， 属于基础题 .20 已知曲线 C上的任意一点 M 到点 F 0,1 的距离比到直线 l :y 2的距离少 1， 动点 P在直线 s:y 1上，过点 P作曲线 C的两条切线 PA, PB ，

35、其中 A,B为切点 .（ 1 ）求曲线 C 的方程；（ 2 ）判断直线 AB 是否能恒过定点？若能，求定点坐标；若不能，说明理由.【答案】（1） x2 4y ；（2 ）能， 0,1【解析】（1）曲线 C上的任意一点 M 到点 F 0,1 的距离比到直线 l: y 2的距离少 1，得动点 M 到点 F 0,1 的距离与到直线 l： y 1的距离相等 ,根据抛物线定义，即 可求得答案 .（2）设点 A x1,y1 ， B x2,y2 ， P t, 1 ，由根据导数可得求得抛物线 C 在点 A处的切线 PA的方程，结合点 P t, 1 在切线 PA 上，结合已知，即可求得答案 .【详解】（1）Q 曲

36、线 C上的任意一点 M 到点 F 0,1 的距离比到直线 l :y 2的距离少 1 得动点 M 到点 F 0,1 的距离与到直线 l ： y 1 的距离相等 又Q由抛物线的定义可知，曲线 C为抛物线，焦点为 F 0,1 ，准线为 l： y 1曲线 C 的方程为 x2 4y（2）设点 A x1, y1 ， B x2,y2 ， P t, 1由 x2 4y ，即 y 1x2 ，41得 y x .2抛物线 C 在点 A处的切线 PA 的方程为 y y1 x1 x x12x11 2即 y x y1x1 .22Q y112x1 ，4x1yx y1 ，2Q 点 P t, 1 在切线 PA 上，1 x21 t

37、 y1 ，同理 1 x2 t y22x 综合、得，点 A x1,y1 ， B x2,y2 的坐标都满足方程 1 t y2 即直线 AB ： y 2t x 1恒过抛物线焦点 F 0,1【点睛】本题主要考查了求抛物线方程和抛物线与直线位置关系问题， 解题关键是掌握抛物线定义和导数求切线斜率的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题 .a221 已知函数 f xx2 1 a x lnx.2( 1 )当 a 0 时，求函数 f x 的极值；12)当 a 0 时，求函数 f x 在 ,1 上的最小值4【答案】(a1) f x 极小值 1 2 ，无极大值； ( 2)1 7 a 2ln 2,a 44 32

38、f (x)min111 ln , 4 a 1 2a aa1 , 1 a 02【解析】( 1 )因为 a 0，x 0，求得 f ( x) ，可得函数 f x 单调区间， 结合极值定义，即可求得答案；(2)由(1)可得 f (x) (ax 1)(x 1)(x 0) ，分别讨论 1 a 0，1 a 0， 4 a1，x求 f (x)min ，即可求得答案 .【详解】1)函数 f x 的定义域为 (0, ). f (x) ax (1 a) 1 (x 1)(ax 1)Q a 0， x 02ax 1 0 ，当 Q f(x) 0 ，1 ，函数 f x在 0,1 上为减函数；f(x)0，1 函数 f x 在 (

39、1,) 上为增函数 .2)a2，无极大值由( 1 )可得 f (x) (ax 1)(x 1)(x 0)x 极小值11Qa0，可得 x11,x2a1.1，即 1a 0 时，f (x)minf(1)1,1 成立，4在此区间 1 ,14上为减函数，1,1af (x)min01ax 1,141，a 1 时，f (x)f (x)14，即a0；为减函数，在,f (x) 01f x 在 x ,14f (x)min12aln4时，为增函数，7a 2ln1,1a为增函数17a2ln 2,a 4432111ln, 4 a12aaa1,1a02综上所述， f （x）min点睛】本题主要考查了含参函数的极值问题和根据导数求最值问题， 解题关键是掌握导数求单 调性的方法和极值的定义，考查了分析能力和计算能力，属于难题 .22 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为xa2ttt 为参数），以坐标原点为极点，2 12x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为 2 23 sin（ 1）若 a2 ，求曲线 C 与 l 的交点坐标；2）过曲线 C上任意一点 P作与 l 夹角为 45 °的直线，交 l于点 A，且 PA的最大值为 10 ，求 a 的值 .3【答案】（1） 2,0 ， 1,2 ；（