2020届北京市大兴区高三第一次模拟考试数学试题(带答案解析)

1、2020 届北京市大兴区高三第一次模拟考试数学试题试卷第 6页，总 4 页1在复平面内，复数1i对应的点位于A 第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2已知集合 Ax|x 2k，k Z ，x|2 ，则 A I B (A 1，1B2，2C 0 ，2D2，0，23已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，a2a4 1，则 S4 等于(1A2B1CD4列函数中，在区间(0, ) 上单调递增且存在零点的是AyeB yxClog 1 x2D y ( x1)25在 ( x2)n 的展开式中， 只有第三项的二项式系数最大，则含 x项的系数等于 (A 32B24C8D6若抛物线y2 4x上一点 M 到其焦

2、点的距离等于2，则 M到其顶点 O的距离等于(BC 5D7已知数列“数列 Sn 为递增数列”的(A 充分而不必要条件C充分必要条件8某四棱锥的三视图如图所示，长棱的棱长为( )an是等比数列，它的前 n项和为 Sn ，则“对任意 n N*，an 0”B必要而不充分条件D既不充分也不必要条件如果方格纸上小正方形的边长为 1，那么该几何体的最A3B10C13D 179已知函数 f （x） sin（ x6）（0) 若关于x 的方程 f (x) 1 在区间 0 ， 上有且仅有两个不相等的实根，则的最大整数值为(BA3D10如图，假定两点 P ，Q以相同的初速度运动 点Q沿直线 CD 作匀速运动， CQ

3、 x；点 P 沿线段 AB (长度为 107 单位)运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距 离(PB y)令 P与Q同时分别从 A ， C出发，那么，定义 x为 y的纳皮尔对数，用x现在的数学符号表示 x与 y的对应关系就是 y 107(1)107 ，其中 e为自然对数的底当 e点 P 从线段 AB 的三等分点移动到中点时，经过的时间为(A ln2Bln3C ln 32D4 ln311 已知向量 a（ 1，1） ，b （2，t） ， 若 a/ /b ，则 t12若函数 f (x)cos2 xsin2 x在区间 0，m 上单调减区间，则m 的一个值可以是13 若对任意 x0，关于1x 的不

4、等式 ax 恒成立，x则实数的范围是14已知 A(a ，r ) ，B( b，s) 为函数 ylog2 x图象上两点，其中 ab 已知直线 AB 的斜率等于 2，且| AB| 5，则 a b的离心率 e 2 ，其渐2215在直角坐标系 xOy 中，双曲线x2 y2 1（ a 0，b 0）a2 b2近线与圆 x2 (y 2)2 4 交 x轴上方于 A，B 两点，有下列三个结论： |OA OB | |OA OB| ； |OA OB | 存在最大值； |OA OB | 6 则正确结论的序号为 .16在 ABC中， c 1 ， A 2，且 ABC的面积为 3 32（ 1）求 a 的值；（ 2）若 D 为

5、 BC 上一点，且，求 sin ADB 的值从 AD 1 ， CAD 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答617为了调查各校学生体质健康达标情况，某机构M 采用分层抽样的方法从 A 校抽取了 m 名学生进行体育测试， 成绩按照以下区间分为七组： 30，40） ，40，50），50 ，60）， 60，70），70，80），80，90），90，100，并得到如下频率分布直方图根据规定，测 试成绩低于 60 分为体质不达标已知本次测试中不达标学生共有20 人（ 2）现从 A 校全体同学中随机抽取 2人，以频率作为概率，记 X 表示成绩不低于 90 分的人数，求 X 的分布列及数学期望；（ 3

6、）另一机构 N 也对该校学生做同样的体质达标测试，并用简单随机抽样方法抽取了 100名学生，经测试有 20名学生成绩低于 60 分计算两家机构测试成绩的不达标率， 你认为用哪一个值作为对该校学生体质不达标率的估计较为合理，说明理由18如图，在三棱柱 ABC A1 B1C1中， AB AC BC AA1， BCC1 60o ， 平面ABC 平面BCC1B1， D是BC 的中点， E是棱 A1B1上一动点(1)若 E是棱 A1B1的中点，证明： DE / 平面 ACC1A1 ；( 2)求二面角 C1 CA B 的余弦值；( 3)是否存在点 E，使得 DE BC1，若存在， 求出 E 的坐标，若不存

7、在，说明理由x 2 y2119已知椭圆 C : x2 y2 1(a b 0)的离心率为 1 ，且经过点 (2,0) ，一条直线 l 与 a 2 b22椭圆 C交于 P， Q两点，以 PQ为直径的圆经过坐标原点 O( 1)求椭圆 C 的标准方程；2)求证：12|OP |212|OQ |2为定值20已知函数 f (x)ln xaxx11)若 a 1，求曲线 y f ( x) 在点 (1，f (1)处的切线方程；2)求证：函数 f ( x) 有且只有一个零点21已知数列 a1，a2，L ，a10满足：对任意的 i，j 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ，若i j ，则 ai aj，且ai 1

8、,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ，设集合 A ai ai1 ai 2|i 1,2,3,4,5,6,7,8 ，集 合 A中元素最小值记为 m(A) ，集合 A中元素最大值记为 n(A) ( 1)对于数列： 10，6，1，2，7，8，3，9，5 4 ，写出集合 A及 m( A)，n( A) ；( 2)求证： m( A) 不可能为 18 ；( 3)求 m( A) 的最大值以及 n( A) 的最小值本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考参考答案1D【解析】【分析】 利用复数的运算法则、几何意义即可得出【详解】2 2 1 i在复平面内，复数 =1i 对应的点（ 1， 1）位于第四象限

9、1 i 1 i 1 i故选 D【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2D【解析】【分析】直接根据交集运算，即可得答案；【详解】Q A x|x 2k，k Z， B x| 2 x 2，AI B 2，0，2 ，故选： D.【点睛】本题考查集合的交运算，考查运算求解能力，属于基础题 .3B【解析】【分析】 根据数列的通项公式可求得 a1,d 的值，再代入前 n项和公式，即可得答案；详解】Q a1 d 0, a1 3d 1,1 a12答案第 1页，总 19 页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考答案第 4 页，总 19 页S41 4 4 3 11，

10、2 2 2故选： B.点睛】 本题考查等差数列的通项公式和前 n 项和公式，考查运算求解能力，属于基础题 4C【解析】【分析】根据函数的零点为方程的根，结合解析式判断函数的单调性，即可得答案；【详解】对 A，Q方程 ex 0无解， y ex不存在零点，故 A错误；对 B， Qx +1=0 无解， yx 1不存在零点，故 B 错误；对 D， y (x 1)2在 (0,1)单调递减，在 (1, )单调递增， y (x 1)2在(0, )不具有 单调性，故 D 错误；故选： C.【点睛】 本题考查通过函数的解析式研究函数的零点和单调性，考查转化与化归思想，属于基础题 . 5A【解析】【分析】根据展开

11、式的第三项的二项式系数最大可得 n 4 ，再由二项式展开式的通项公式，即可得 答案；【详解】由题意得 n 4 ，r 4 r rTr 1 C4r x4 r ( 2)r,r 0,L ,4，33当 r 3时， T4 C43 x ( 2)3 32x ，含 x 项的系数等于 32 ，故选： A.点睛】本题考查二项式定理的运用， 考查逻辑推理能力、 运算求解能力， 求解时注意二项式系数与 系数的区别 .6C【解析】【分析】设点 M (x1,y1) ，根据焦半径公式可求得 M 的坐标，再利用两点间的距离公式，即可得答 案；【详解】设点 M(x1,y1)，F 为抛物线的焦点，2Q |MF | x1 1 2 x

12、1 1， y12 4 ，|MO| x12 y12 5 ，故选： C.【点睛】 本题考查抛物线的焦半径公式，考查运算求解能力，属于基础题 .7C【解析】【分析】根据 an Sn Sn 1(n 2) 这一关系，即可得答案；【详解】Q an Sn Sn 1(n 2) ，an 0 Sn Sn 1 0， Sn Sn 1， “数列 Sn 为递增数列”，若“数列 Sn为递增数列”，则 Sn Sn 1 Sn Sn 1 0 an 0，“对任意 n N* ，an 0 ”是“数列 Sn 为递增数列”的充分必要条件， 故选： C.【点睛】本题考查 an与 Sn的关系、充分必要条件的判断， 考查转化与化归思想， 考查逻

13、辑推理能力、本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考运算求解能力8D【解析】【分析】根据几何体的三视图可得，该几何体是四棱锥ABCDE ，再计算各条棱的长度，即可得答案；【详解】根据几何体的三视图可得，该几何体是四棱锥ABCDEAB AD 13， AC 10， AE 17 ，BE DE 2， BC 5，CD 1， 该几何体的最长棱的棱长为 AE 17 ，故选： D.【点睛】本题考查利用三视图还原几何体的直观图、 棱长的计算， 考查空间想象能力、 运算求解能力， 求解时注意准确还原几何体的直观图是关键 .9B【解析】【分析】的不等式，即可得答案；利用换元法求出 x 的取值范围， 再根据

14、三角函数的图象得到6【详解】 令 t x ， Q x 0 ， ，x6 6 6 6Q y sint 的图象如图所示，答案第 4页，总 19 页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考答案第 21 页，总 19 页Q 关于 x 的方程 f (x)1在区间 0， 上有且仅有两个不相等的实根，y sint 1 在 ,65 1726 4 上有且仅有两个不相等的实根，6549 ，212 ，的最大整数值为 4 ，故选： B.【点睛】本题考查利用换元法和图象法解三角方程， 考查函数与方程思想、 转化与化归思想， 辑推理能力、运算求解能力，求解时注意换元后新元的取值范围 .考查逻10D【解析】【分析】

15、设 P 运动点三等分点的时间为 t1 ，此时 Q 运动的距离为 x1 ， P 运动点中点的时间为t2 ，此时 Q 运动的距离为 x2 ，再利用 Q 做匀速运动，利用路程除以速度可得时间 .【详解】设 P 运动点三等分点的时间为 t1 ，此时 Q 运动的距离为 x1 ， P 运动点中点的时间为t2 ，此时 Q 运动的距离为 x2 ，Q 两点 P ， Q 以相同的初速度运动，设点 Q 的运动速度为 v 107 ，107x1107(1)1017，e12 107x2107(1)1027ex1107 log 1 2 ， x2e3107 log 1 1 ， e2x2 x1 ln 4v3故选： D.【点睛】

16、本题考查数学中的新定义问题、 对数的运算法则， 考查函数与方程思想、 考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意对数运算法则的运用 . 11 2【解析】【分析】 根据向量平行，向量坐标交叉相乘相等，即可得答案；【详解】Q ar /br ，1 t 1 2 t 2 ，故答案为： t 2.【点睛】 本题考查向量平行的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题 .12 (答案不唯一，只要 0 m )42【解析】【分析】由题意可得 f '(x) 0在区间 0，m 上恒成立，即可得答案；【详解】Q f(x) cos2x， f'(x) 2sin 2x，f '(x) 2sin 2x 0在区

17、间 0，m 上恒成立，sin2x 0在区间 0，m 上恒成立，取 m，显然 sin2x 0 恒成立，4故答案为： .4【点睛】本题考查余弦二倍角公式、 三角函数的图象与性质， 考查运算求解能力， 角函数的图象进行求解 .转化与化归思想、求解时注意结合三13 ( ，2【解析】【分析】1求出函数 x 的最小值，即可得到答案；x【详解】1Q x 0 ， x 2，等号成立当且仅当 x 1，xa 2 ，故答案为： ( ，2. 【点睛】 本题考查不等式恒成立问题求参数的取值范围，考查运算求解能力 14 14【解析】【分析】 根据斜率公式和两点间的距离公式，即可求得答案； 【详解】Q 直线 AB 的斜率等于

18、 2，且 |AB | 5 ，(b a)2 (log2 b log2 a)25 且 log2b log2 a ba2，解得： |b a| 1，Q a b ， a b 1；log2 b log2 aba4；故答案为： 1； 4.点睛】本题考查直线的斜率公式和两点间的距离公式，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能 力运算求解能力，求解时注意对数的运算法则的应用 .15【解析】【分析】根据双曲线离心率的范围可得两条渐近线夹角的范围，再根据直线与圆的位置关系及弦长，即可得答案；【详解】故正确；AOB 60o ，结合 AOB 60o ，可得 |OAOB | |OA OB |成立，对， |OA OB|uuur

19、| AB| ，由于 AOB60o，AOB 没有最大值，uuur| AB | 没有最大值，故错误；对，当 AOB 60o时， | OA | |OB | 2 2cos30 o 2 3，2 uuur uuur 1|OA OB|2 12 12 2 OA OB 2 36，又Q AOB 60o， |OA OB |2 36，|OA OB | 6 ，故正确；故答案为：.【点睛】向量的数量积和模的运算，考查数形结合思想， 考查逻辑推本题考查向量与双曲线的交会、 理能力、运算求解能力 .16（1）a7 ；（2）选， sin ADB21721 ；选，sin ADB27解析】分析】11）利用三角形的面积公式得 S A

20、BC 2 bcsin A ，再利用余弦定理，即可得答案；2）当 AD1时，由正弦定理bsinBBCsin BAC可求得 sin B217再由ADB B ，可求得答案； 当 CAD 30 时，由余弦定理和诱导公式， 可求得答案；详解】1） 由于21c 1， A 3 ，S ABC 2bcsinA，所以 b 2 ，由余弦定理222abc2bc cos A ，解得 a 7 2）当 AD 1时，在 ABC 中，由正弦定理b BC ， sinB sin BAC2即 sinB73，2所以 sin B217因为 ADAB1，所以ADBB即 sin21 ADB7当CAD30 时，在 ABC 中，由余弦定理知，c

21、osB2AB222BC2 AC27 1 4272AB BC 2 7 17因为 A120，所以 DAB 90 ，所以 sinADBsinB ，所以BADB ，2所以sinADB cosB ，27即 sin ADB7【点睛】本题考查正余弦定理、 三角形面积公式、 诱导公式等知识的综合运用， 考查函数与方程思想、 转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力 .17（1）m 200；（2）分布列详见解析，数学期望为0.2；（3）用机构 M 测试的不达标率0.1估计 A 校不达标率较为合理，理由详见解析【解析】【分析】3)机构 M 抽测的不达标率为20200(1)由频率分布直方图知， m (0.00

22、2 0.002 0.006) 10 20 ，解方程可得 m的值； (2)由图知，每位学生成绩不低于 90分的频率为 0.01 10=0.1 ，由已知 X 的所有可能取值 为 0，1，2 ，再根据二项分布，即可得答案；0.1 ，机构 N 抽测的不达标率为 20 0.2，再从样100本能否较好反映总体的分布情况说明理由【详解】( 1)由频率分布直方图知， m (0.002 0.002 0.006) 10 20 ， 解得 m 200 (2)由图知，每位学生成绩不低于90 分的频率为 0.01 10=0.1由已知， X 的所有可能取值为 0，1，2 ，则 P(X 0) C20 (1 0.1)2 0.8

23、1 ，P(X 1) C21 0.1 (1 0.1) 0.18，P(X 2) C22 0.12 0.01所以 X 的分布列为X012P0.810.180.01所以 EX=0 0.81+1 0.18 2 0.01 0.2 20( 3)机构 M 抽测的不达标率为0.1 ，20020 机构 N 抽测的不达标率为0.2100(以下答案不唯一，只要写出理由即可)用机构 M 测试的不达标率 0.1估计 A 校不达标率较为合理理由：机构 M 选取样本时使用了分层抽样方法，样本量也大于机构N，样本更有代表性，所以，能较好反映了总体的分布没有充足的理由否认机构 N 的成绩更合理 理由：尽管机构 N 的样本量比机构

24、 M 少，但由于样本的随机性，不能排除样本较好的反映 了总体的分布，所以，没有充足的理由否认机构 N 的成绩更合理【点睛】 本题考查频率分布直方图、二项分布、样本与总体的关系，考查数据处理能力，求解时注意 在说理由时要根据统计的相关知识来回答 .518（1）详见解析；（2） 5 ；（ 3）不存在，理由详见解析5【解析】【分析】 （1）取 A1C1中点为 P，连结 CP，EP ，证明 CP / / DE ，再利用线面平行判定定理，即可证得结论；（2）先证明 DC1 ，DA，DB 两两垂直，再建立如图所示的空间直角坐标系D xyz ，求出平面 ACC1 的法向量 n （1，3，1） ，平面ABC

25、的法向量为uuurDC1 （0，0， 3） ，再利用向量的夹角公式，即可得答案；uuur uuuruuuruuuur(3)设 A1EA1B1(0 1) ，由 DEBC1 0 ，解得2与假设矛盾，从而得到结论详解】1）证明：取 A1C1中点为 P，连结 CP，EP ，在 A1B1C1 中，因为 E、 P 为 A1B1、 A1C1 的中点，1所以 EP / / B1C1且 EPB1C12111又因为 D是 BC的中点， CDBC，2所以 EP/BC 且 EP CD ， 所以 CDEP 为平行四边形 所以 CP/DE 又因为 DE 平面 ACC1A1 ，CP 平面 ACC1A1 ， 所以 DE /

26、平面 ACC1 A1 2）连结 C1D、 AD ， 因为 ABC是等边三角形， D是 BC的中点，所以 ADBC，因为 BCAA1CC1，BCC1 60o ，所以 C1DBC因为平面ABC平面 BCC1B1 ，平面 ABC I 平面 BCC1B1BC，C1D 平面 BCC1 B1 ，所以 C1D平面ABC，所以 DC1 ，DA ，DB 两两垂直 如图，建立空间直角坐标系 D xyz ，则A（ 3，0，0），C（0，1，0），C1（0，0， 3），uuuurCC1( 3，1 ，0)设平面 ACC1 的法向量为 n （x，y，z），uuuur rCC1 n 0 则 uuur rCA n 0y 3z

27、3 x y令 x 1 ，则 y 3 ， z 1 ， 所以 rn （1， 3，1） uuur平面 ABC 的法向量为 DC 1uu ur ruu ur rDC1 n 5cos DC1 ，nuuurr1| DC1 | |n | 5所以二面角 C1 CA1 B 的余弦值为 553，1，0） ，又因为二面角 C1 CA1 B 为锐二面角，uu ur3) A1( 3 ，1， 3) ， A1B1uuur设 A1 EuuuurA1B1(0 1)，uuur则 A1E ( 3 ， ，0) ，所以 E ( 3 3 ，1uuruDE ( 3 3 ，1uuur所以 BC1假设 DE BC1，uuur uuuur则 D

28、E BC1 0 ，解得2 ，这与已知 0 1 矛盾 不存在点 E.【点睛】本题考查线面平行判定定理的运用、 向量法求二面角的大小及利用向量证明直线垂直， 考查 转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力 .2219（1） x y 1 ；（2）详见解析43【解析】【分析】1）因为椭圆经过点 （2,0） ，所以 a 2 ，再根据离心率，即可求得椭圆的方程； （ 2）若直线 l的斜率存在时， P（x1, y1），Q（x2,y2），l : y kx m ，与椭圆方程联立， 由 OP OQ 可得 x1x2 y1y2 0 ，从而得到 k ,m的关系，结合点到直线的距离公式，可证明结论；若直线 l 的斜

29、率不存在，则有 kOP1 ，可证结论也成立【详解】（ 1）因为椭圆经过点 （2,0） ，所以 a 2，c1又因为 c 1 ，则 c 1，由 b2 a2 c2 ，得 b2 3 ， a222 所以椭圆的标准方程为 x y 1 43（ 2）若直线 l的斜率存在时，设 l: y kx m ，与椭圆方程联立得：y kx mx2 y2 ，有 (3 4k2)x2 8kmx 4m2 12 0 ， 143由题意，设 P(x1, y1)，Q(x2,y2) ，所以 x1 x28km ，4m2124k2 3， x1x24k23因为以 PQ 为直径的圆过原点 O ，由 OP OQ ，得 x1x2 y1y2 0 ，即 x

30、1x2 (kx1 m)( kx2 m) 0 ，整理得，2212(1 k2) 7m2，12|OP |212|OQ|222 |OP|2 |OQ |2 22 |OP |2| OQ |22|PQ |222 |OP|2|OQ|2设 h为O到l 的距离，则|OP|OQ|PQ| h111所以1 21 212 ，|OP|2|OQ |2h2而h|m|所以12|OP |212|OQ|21 k2 7m212若直线 l 的斜率不存在，则有 kOP1 ， 不妨设 kOP 1 ，设 P(x1,y1) ，有 x1 y1 ，127，22代入椭圆方程 x y 1得， x124 3 12 2 24|OP|2 |OQ|2 274

31、，12|OP|212|OQ |224712综上12|OP|212|OQ|2712点睛】 本题考查椭圆标准方程的求解、离心率的概念、椭圆中的定值问题，考查函数与方程思想， 考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意对斜率进行讨论 .20(1) 3x 4y 5 0 ；( 2)详见解析【解析】分析】1)对函数进行求导，求出切线的斜率和切点坐标，即可得答案；2)函数的定义域为 (0,)，要使函数 f(x) 有且只有一个零点，只需方程(x 1)ln x ax 0有且只有一个根， 即只需关于 x的方程 (x 1)lnx a 0在(0， ) 上有且 x只有一个解，利用导数可得函数 g(x) (x 1)lnx

32、 a在(0， ) 单调递增，再利用零点存在x定理，即可得答案；详解】xf (x) 1x1(x 1)22x x 12 ， k x(x 1)2f (1)3，4，0， f (1)12，所以函数 yf (x) 在点 (1，f (1) 处的切线方程是 3x 4y2)函数的定义域为 (0,) ，要使函数 f(x) 有且只有一个零点，只需方程(x 1)ln x ax 0 有且只有一个根，即只需关于 x的方程 (x 1)ln x a 0在(0，x设函数 g(x) (x 1)lnx a，x) 上有且只有一个解则 g(x)x 1 lnx1)当 a 1时，函数 f(x) lnx ， x x1令 h(x) x 1 l

33、n x ，则 h(x) 1 1xx1x由 h (x) 0 ，得 x 1x(0，1)1(1， )h (x)0h(x)单调递减极小值单调递增由于 h(x)min h(1) 2 0 ，所以 g (x) 0 ，所以 g(x) (x 1)lnx a在 (0, )上单调递增，xaa又 g(1) a， g(ea) a ，e当 a 0时， g(1) 0，函数 g(x) 在(0,)有且只有一个零点，2当 a 0时，由于 g (1)g(ea )aa 0 ，所以存在唯一零点e综上所述，对任意的 a R 函数 y f ( x)有且只有一个零点【点睛】本题考查导数的几何意义、 利用导数证明函数的零点个数， 考查函数与方程思想、 转化与化 归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意对函数进行二次求 导的运用 .21(1) A 17,9,10,18,20 ， m(A) 9，n(A) 20；(2)详见解析；(3)m(A) 的最大值为 17， n(A) 的最小值为 16【解析】【分析】(1)由题意易得 A 17,9,10,18,