2412垂直于弦的直径

1、单位：王洼镇第一中学单位：王洼镇第一中学教师：高继峰教师：高继峰1、知识与技能目标：、知识与技能目标：理解圆是轴对称图形，任何一条直径所在直理解圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴线都是它的对称轴掌握垂径定理及其推论掌握垂径定理及其推论学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证学会运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算和作图问题明、计算和作图问题2、过程与方法目标：、过程与方法目标：经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及其经历探索发现圆的对称性，证明垂径定理及其推论的过程，锻炼学生的思维品质，学习几何推论的过程，锻炼学生的思维品质，学习几何证明的方法证明的方法3、情感与态度目标：

2、、情感与态度目标：在学生通过观察、操作、变换和研究的在学生通过观察、操作、变换和研究的过程中进一步培养学生的思维能力，创过程中进一步培养学生的思维能力，创新意识和良好的运用数学的习惯和意识新意识和良好的运用数学的习惯和意识教学重点：教学重点：垂径定理及其推论的发现、垂径定理及其推论的发现、 记忆与证明记忆与证明教学难点：教学难点：垂径定理及其推论的运用垂径定理及其推论的运用问题问题 ：你知道赵州桥吗：你知道赵州桥吗? ?它是它是13001300多年前我国隋代建造的石多年前我国隋代建造的石拱桥拱桥, , 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形形

3、, ,它的跨度它的跨度( (弧所对的弦的长弧所对的弦的长) )为为37.4m37.4m, , 拱高拱高( (弧的中点到弧的中点到弦的距离弦的距离) )为为7.2m7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 赵州桥主桥拱的半径是多少赵州桥主桥拱的半径是多少？ 实践探究实践探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折，把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？什么结论？可以发现：可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴它的对称轴如图，如图，ABA

4、B是是O O的一条弦，做直径的一条弦，做直径CDCD，使，使CDCDABAB，垂足为，垂足为E E因为圆是轴对称图形，以直径因为圆是轴对称图形，以直径CDCD为对称轴把为对称轴把O O折叠，折叠，你能你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？OABCDE活活 动动 二二相等线段：相等线段： AE=BEAC=BC, AD=BD把圆沿着直径把圆沿着直径CD折叠时，折叠时，CD两侧的两个半两侧的两个半圆重合，点圆重合，点A与点与点B重合，线段重合，线段AE与与BE重合，重合，弧弧AC与弧与弧BC重合，弧重合，弧AD与弧与弧BD重合。重合。OABCDE垂径定理：垂

5、径定理：垂直于弦的直径平分垂直于弦的直径平分 弦，并且平分弦所对的两条弧弦，并且平分弦所对的两条弧 结论结论：AE=BE,AD=BD,AC=BC即直径即直径CD平分弦平分弦 AB，并且平分并且平分AB和和ACB.AE=BE ACBC=ADBD=在在 O中，中，CD是直径是直径CDAB于于E已知：在已知：在 O中，中，CD是直径，是直径，AB是弦，是弦，CDAB，垂，垂足为足为E（如图）。（如图）。求证：求证：AE=BE ，ACBC=ADBD.=,OCDEBA证明：证明：连结连结OA、OB， OAOB,CDAB直径直径CD所在的直线既是等腰所在的直线既是等腰 三角形三角形OAB的对称轴，又是的对

6、称轴，又是 O的对称轴的对称轴. 则则A点与点与B点重合，点重合，AE和和BE重合，重合，ACBC和和ADBD和和也重合也重合.AE=BE ，ACBC=ADBD.=,验证垂径定理验证垂径定理如图，当直径平分弦时，与垂直如图，当直径平分弦时，与垂直吗？吗？ AC=BC,AD=BDAC=BC,AD=BD吗？如果弦也是直径，上述吗？如果弦也是直径，上述结论是否成立？结论是否成立？A AB BD DE E O OC C图图推论推论: :平分弦平分弦( (不是直径不是直径) )的直径垂的直径垂直于弦直于弦, ,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧. .根据垂径定理与推论可知对于一个根据垂径定理与

7、推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备圆和一条直线来说。如果具备（1）过圆心）过圆心 （2）垂直于弦）垂直于弦 （3）平分弦（）平分弦（4）平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧上述五个条件中的任何两个条件都上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论。可以推出其他三个结论。注意注意问题问题 ：你知道赵州桥吗：你知道赵州桥吗? ?它是它是13001300多年前我国隋代建造的石多年前我国隋代建造的石拱桥拱桥, , 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形形, ,它的跨度它的跨度( (弧所对的弦的长弧所

8、对的弦的长) )为为37.4m37.4m, , 拱高拱高( (弧的中点到弧的中点到弦的距离弦的距离) )为为7.2m7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？ 赵州桥主桥拱的半径是多少赵州桥主桥拱的半径是多少？ BODACRAB=37.4m CD=7.2m 解得：解得：R279（m）BODACR解决求赵州桥拱半径的问题解决求赵州桥拱半径的问题在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得即即 R2=18.72+（R7.2）2赵州桥的主桥拱半径约为赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OA2=AD2+OD2,7.184.372121ABAD解：解：AB=37.4，CD

9、=7.2，OD=OCCD=R7.21 判断下列说法的正误判断下列说法的正误 平分弧的直径必平分弧所对的弦（平分弧的直径必平分弧所对的弦（ ） 在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦必平分此弦所对的弧必平分此弦所对的弧 （ ）垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦 （ ）平分弦的直径垂直于这条弦平分弦的直径垂直于这条弦( ) 弦的垂直平分线是圆的直径弦的垂直平分线是圆的直径 ( ) 平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦( ) D A B O5 3cm2.在直径是20cm的O中，AB的度数是60，那么弦AB的弦心距是 。3.弓形的弦长为弓形的弦长为6cm，弓形的高为，弓形的高为2cm，则这弓形所在的圆的半径为则这弓形所在的圆的半径为. D C A B O134cm4如图，在如图，在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8cm，圆心，圆心O到到AB的距离为的距离为3cm，求，求 O的半径的半径OABE5如图，在如图，在 O中，中，AB、AC为互相垂直且相等的为互相垂直且