理论力学13动量矩定理

1、12 131 动量矩动量矩 132 动量矩定理动量矩定理 133 刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程 134 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量 135 质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 习题课习题课第十三章第十三章 动量矩定理动量矩定理3质点质点系动量定理：动量定理：动量的改变外力（外力系主矢） 若当质心为固定轴上一点时，vC=0，则其动量恒等于零，质心无运动，可是质点系确受外力的作用。动量矩定理建立了动量矩定理建立了质点和质点系相对于某固定点（固定轴）的动量矩的改变与外质点和质点系相对于某固定点（固定轴）的动量矩的改

2、变与外力对同一点（轴）之矩两者之间的关系。力对同一点（轴）之矩两者之间的关系。13-1动量矩动量矩一质点的动量矩一质点的动量矩质点对点质点对点O的动量矩：的动量矩： 矢量质点对轴质点对轴 z 的动量矩：的动量矩： 代数量vmrvmmO)()()(xyOzvmmvmm质心运动定理质心运动定理：质心的运动外力（外力系主矢）4质点对点质点对点O的动量矩与对轴的动量矩与对轴z 的动量矩之间的关系的动量矩之间的关系：)( )(vmmvmmzzOOABvmmO2)(2)(BOAvmmz正负号规定与力对轴矩的规定相同对着轴看：顺时针为负逆时针为正二质点系的动量矩二质点系的动量矩质系对点质系对点O动量矩动量矩

3、：质系对轴质系对轴z 动量矩：动量矩：iiiiiOOvmrvmmL)( zOiizzLvmmL )(kg2/s。动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点(轴轴)转动的强弱。转动的强弱。52定轴转动刚体定轴转动刚体定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴转动惯量与角速度的乘积。3平面运动刚体平面运动刚体平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动量矩，等于刚体随同质心作平动时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心轴作转动时的动量矩之和。ziiiizzIrmvmmL2)(CCzzIvmmL)(刚体动量矩计算刚体动量矩计算：1平动刚体平动刚体CCCOOvmrvmmL)()(CCCi

4、iiiivmrvrmvmr)(CzzvmmL 平动刚体对固定点（轴）的动量矩等于刚体质心的动量对该点（轴）的动量矩。611222321RRvv3232222221)(vRmmRIRILOOCOBOAOLLLL 2332222211)(RvmRvmII解解：例例1 滑轮A：m1，R1，R1=2R2，I1 滑轮B：m2，R2，I2 ；物体C：m3 ，v3 求求系统对O轴的动量矩。7Fdtvmd)(13-2动量矩定理动量矩定理一质点的动量矩定理一质点的动量矩定理两边叉乘矢径 , 有Frdtvmdr)(r左边可写成vmdtrdvmrdtddtvmdr)()(, )( , 0FmFrvmvvmdtrdO

5、而)()( , )(FmvmmdtdFrvmrdtdOO 质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定理。质点对固定点的动量矩定理。故：8将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得)()( ),()( ),()(FmvmmdtdFmvmmdtdFmvmmdtdzzyyxx 上式称质点对固定轴的动量矩定理质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一轴之矩。称为质点的动量矩守恒质点的动量矩守恒。若)0)( 0)(FmFmzO则)( vmmO常矢量)(常量vmm

6、z9运动分析： 。2)(mllmlvmmOOMlv , 由动量矩定理即)()(FmvmmdtdOO0sin , sin)(2lgmglmldtd 微幅摆动时，并令，则 , sinlgn202n 解微分方程,并代入初始条件 则运动方程)0, 0(00ttlgcos0，摆动周期lgT2sin)()()(mglgmmTmFmOOO解解：将小球视为质点。受力分析；受力图如图示。例例2 单摆已知m，l，t =0时= 0，从静止 开始释放。 求求单摆的运动规律。10注：计算动量矩与力矩时，符号规定应一致（本题规定逆时注：计算动量矩与力矩时，符号规定应一致（本题规定逆时针转向为正）针转向为正）质点动量矩定理

7、的应用：质点动量矩定理的应用：在质点受有心力的作用时。质点绕某心（轴）转动的问题。11 质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同一点之矩的矢量和（外力系的主矩）。二质点系的动量矩定理二质点系的动量矩定理左边交换求和与导数运算的顺序，而则, 0)( ),()(iiOiiOOFmvmmL)()()(eOeiOOMFmdtLd一质点系对固定点的动量矩定理质点系对固定点的动量矩定理), 3 , 2 , 1( )()()()()(niFmFmvmmdtdeiOiiOiiO 对质点系，有), 3 , 2 , 1( )()()()()(niFmFmvmmdtdeiOiiOiiO

8、 对质点Mi ：)()()()()()()( ,)( ,)(ezeizzeyeiyyexeixxMFmdtdLMFmdtdLMFmdtdL将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得12 上式称为质点系对固定轴的动量矩定理质点系对固定轴的动量矩定理。即质点系对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。 质点系的动量矩守恒质点系的动量矩守恒当时，常矢量。当时，常量。0)(eOM0)(ezMOLzL 定理说明内力不会改变质点系的动量矩，只有外力才能改变质点系的动量矩。13解解: 取整个系统为研究对象， 受力分析如图示。 运动分析：

9、 v =rPPrPrPMBABAeO)()(OBAOIrvgPrvgPL)2( , 2122PPPgrLrgPIBAOO得代入将由动量矩定理：rPPPPPgrdtdBABA)()2(22/PPPPPrgdtdBABA例例3 已知: 。求。 ; ; rPPPBA14解解： 系统的动量矩守恒。 , 0)()(eOFmrvvmrvmABAA)(02vvA猴A与猴B向上的绝对速度是一样的,均为 。2v例例4 已知：猴子A重=猴子B重，猴B以相对绳速度上爬，猴A不动，问当猴B向上爬时，猴A将如何动？动的速度多大？（轮重不计）v15 13-313-3刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程对于一个定轴转动

10、刚体一个定轴转动刚体代入质点系动量矩定理，有zzIL )()(ezzMIdtd)(22)( ezzezzMdtdIMI或刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程解决两类问题解决两类问题：已知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律。已知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力（矩）。但不能求出轴承处的约束反力，需用质心运动定理求解。16 特殊情况特殊情况： 若 ,则恒量，刚体作匀速转动或 保持静止。 若 常量，则 =常量，刚体作匀变速转动。 将 与 比较，刚体的转动惯量 是刚体转动惯性的度量。0)()()(ezezFmM, 0)(ezM)(ezzMIFam zI1713-4 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的

11、转动惯量一定义一定义：若刚体的质量是连续分布，则2iizrmIdmrImz2 刚体的转动惯量是刚体对某轴转动惯性大小的度量，它的大小表现了刚体转动状态改变的难易程度。 转动惯量恒为正值，国际单位制中单位kgm2 。18积分法积分法（具有规则几何形状的均匀刚体可采用） 例例1 匀质细直杆长为l ,质量为m 。 求求：对z轴的转动惯量 ； 对z 轴的转动惯量 。zI zI二转动惯量的计算二转动惯量的计算2222121 mldxlmxIllz202 31 mldxlmxIlz解解：192. 回转半径回转半径由所定义的长度 称为刚体对 z 轴的回转半径。mIzz2zzmI 对于均质刚体，仅与几何形状有

12、关，与密度无关。对于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚体，其回转半径是相同的。z 在机械工程设计手册中，可以查阅到简单几何形状或已标准化的零件的转动惯量和回转半径。书中列出几种常见均质刚体的，以供参考。zzI和203. 平行移轴定理平行移轴定理同一个刚体对不同轴的转动惯量一般是不相同的。2mdIIzCz 刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平行的刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积。轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积。21)(222iiiiizCyxmrmI)(222iiiiizyxmrmI

13、)( , 22dyxmIdyyxxiiiziiiiiiiiiiymddmyxm2 )()(222证明证明：设质量为m的刚体，质心为C，CzzO/ 2 0 , mdIImyymmmzCzCiii例如例如，对于例1中均质细杆z 轴的转动惯量为22223141121)2(mlmlmllmIIzz刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值。22当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每一部分(物体)的转动惯量, 然后再加起来就是整个物体的转动惯量。 若物体有空心部分, 要把此部分的转动惯量视为负值来处理。4计算转动惯量的组合法计算转动惯量的组合法盘杆OOOIII22

14、2221)(2131RlmRmlm)423(213122221lRlRmlm解解：例例2 钟摆： 均质直杆m1, l ； 均质圆盘：m2 , R 。 求 IO 。23例例3 提升装置中，轮A、B的重量分别为P1 、 P2 ,半径分别为 r1 、 r2 , 可视为均质圆盘; 物体C 的重量为P3 ; 轮A上作用常力矩M1 。求求 物体C上升的加速度。取轮B连同物体C为研究对象(2) )21(232232222rPrTvrgPrgPdtd补充运动学条件112222 ,rarvr化简(1) 得：化简(2) 得：33222PTagPPTrMagP1112gPPPPrMa22/321311(1) 211

15、11211TrMrgP解解: 取轮A为研究对象2413-5质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程一质点系动量矩一质点系动量矩)( rCCrCCCOLLLvmrL 质点系相对于质心和固定点的动量矩定理，具有完全相似质点系相对于质心和固定点的动量矩定理，具有完全相似的数学形式，而对于质心以外的其它动点，一般并不存在这种的数学形式，而对于质心以外的其它动点，一般并不存在这种简单的关系简单的关系。)()( )(eCeiCrCMFmdtLd二质点系相对质心的动量矩定理二质点系相对质心的动量矩定理 质点系相对于质心的动量矩的改变，只与作用在质点系

16、上的外力有关，而与内力无关。25三刚体平面运动微分方程三刚体平面运动微分方程 设有一平面运动刚体具有质量对称平面，力系可以简化为该平面内的一个力系。取质量对称平面为平面图形S，质心一定位于S内。nFFF,21 取质心C为动系原点，则此平面运动可分解为 随质心C的平动 (xC , yC) 绕质心C的平动 （）可通过质心运动定理和相对质心的动量矩定理来确定。 CCrCCrCIIdtdLIL , )( , )(eCCCFmIFam26写成投影形式投影形式)( , , )( eCCyCxCFmIYmaXma或)( , , )(eCCCCFmIYymXxm 上式称为平面运动微分方程平面运动微分方程。27

17、例例4 质量为m半径为R的均质圆轮置放于倾角为 的斜面上，在重力作用下由静止开始运动。设轮与斜面间的静、动滑动摩擦系数为f、f，不计滚动摩阻，试分析轮的运动。解解：取轮为研究对象。 受力分析如图示。 运动分析：取直角坐标系 Oxy aC y =0，aC x =aC， 一般情况下轮作平面运动。 根据平面运动微分方程，有FmgmaCsinNmgcos 0FRIC由式得cosmgN ，两式中含有三个未知数aC 、F、 ，需补充附加条件。281设接触面绝对光滑。因为轮由静止开始运动，故0，轮沿斜面平动下滑。常量。 , 0 ,sin , 0gaFCsin31 ; sin32 ,sin32mgFgRgaC

18、2设接触面足够粗糙。轮作纯滚动，所以可解得,raC3设轮与斜面间有滑动，轮又滚又滑。F=fN，可解得cos ,cos2 ,)cos(sinmgfFRgfgfaC轮作纯滚动的条件：cossin31maxfmgfNFmgFtg31f表明：当时，解答3适用； 当时，解答2适用；f =0 时解答1适用。tg31ftg31f29一基本概念一基本概念1动量矩动量矩：物体某瞬时机械运动强弱的一种度量。2质点的动量矩质点的动量矩：3质点系的动量矩质点系的动量矩：4转动惯量转动惯量：物体转动时惯性的度量。vmrvmmO)(iiiOvmrL 对于均匀直杆，细圆环，薄圆盘（圆柱）对过质心垂直于质量对称平面的转轴的转

19、动惯量要熟记。第十三章动量矩定理习题课第十三章动量矩定理习题课305刚体动量矩计算刚体动量矩计算平动：平动：定轴转动：定轴转动：平面运动：平面运动：)( , CzzCCOvmmLvmrLzzILCCzzIvmmL)( 二质点的动量矩定理及守恒二质点的动量矩定理及守恒1质点的动量矩定理质点的动量矩定理)()( )()(FmvmmdtdFmvmmdtdzzOO或2质点的动量矩守恒质点的动量矩守恒 若，则 常矢量。 若，则 常量。0)(FmO0)(Fmz)( vmmO)( vmmz31三质点系的动量矩定理及守恒三质点系的动量矩定理及守恒1质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理)()()()()( )(

20、ezezzeOeOOMFmdtdLMFmdtLd或2质点系的动量矩守恒质点系的动量矩守恒 若，则常矢量 若，则常量0)(eOm0)(ezmOLzL)( )( ezCzCeCCMdtdLMdtLd或四质点系相对质心的动量矩定理四质点系相对质心的动量矩定理32)( )(zFmIFmIzzz 或五刚体定轴转动微分方程和刚体平面运动微分方程五刚体定轴转动微分方程和刚体平面运动微分方程1刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程2刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程或XmaCxYmaCy)(FmICCXxmC YymC )(FmICC 33六动量矩定理的应用六动量矩定理的应用应用动量矩定理，一般可以处

21、理下列一些问题：（对单轴传动系统尤为方便）1已知质点系的转动运动，求系统所受的外力或外力矩。2已知质点系所受的外力矩是常力矩或时间的函数，求刚体的角加速度或角速度的改变。3已知质点所受到的外力主矩或外力矩在某轴上的投影代数和等于零，应用动量矩守恒定理求角速度或角位移。34七应用举例七应用举例例例1 均质圆柱，半径为r，重量为Q，置圆柱于墙角。初始角速度0，墙面、地面与圆柱接触处的动滑动摩擦系数均为 f ，滚阻不计，求使圆柱停止转动所需要的时间。解解：选取圆柱为研究对象。(注意只是一个刚体)受力分析如图示。运动分析：质心C不动，刚体绕质心转动。根据刚体平面运动微分方程)0 , 0(CyCxaaBAFN 0QNFBA0rFrFdtdrgQBA 212补充方程：BBAANfFNfF , 35将式代入、两式，有0) 1(2QNfB1 , 1 , 1 , 1 22222fQfFfQfNfQfFfQNAABB将上述结果代入式，有dtffrgfdrgfffdtdt0202112 , 2110解得：) 1 ( 2)1 (02fgfrftBAFN 0QNFBA0rFrFdtdrgQBA 212补充方程：BBAANfFNfF , 36例例2 两根质量各为8 kg的均质细杆固连成T 字型，可绕通过O点的水平轴转动，当OA处于水平位置时, T 形杆具有角速度 =