上海市十四校联考2017年高考数学模拟试卷(3月份)含解析

1、2017 年上海市十四校联考高考数学模拟试卷（3 月份）一、填空题 .1已知（ x）n的二项式系数之和为256，则 n=2设复数z=1+i（i 是虚数单位），则z22iz的值等于3设向量、的夹角为 （其中0 ）， | =1，| =2，若（ 2 ）（k + ），则实数k 的值为4设函数 f（x）=| lgx| ，若 f（a）=f（b），其中 0ab，则 a+b 取值范围是5函数 f（x）=2x+234x，x（， 1）的值域为6已知方程+=1 表示的曲线为c，任取a， b1，2，3，4，5 ，则曲线c表示焦距等于2 的椭圆的概率等于7若实数x、y 满足，则 x2y 的取值范围是8已知双曲线=1（a

2、0，b0），过双曲线上任意一点p 分别作斜率为和的两条直线l1和 l2， 设直线l1与 x 轴、y 轴所围成的三角形的面积为s，直线 l2与 x 轴、 y 轴所围成的三角形的面积为t，则 s?t的值为9在 abc中，角a、b、c 所对的边分别为a、b、c，若满足a=4，a=30 的三角形的个数恰好为一个，则b 的取值范围是10设 i、j、nn*，ij，集合mn= （i， j）| 4?3n3i+3j4?3n+1 ，则集合mn中元素的个数为个11设正实数集合a= a1，a2，a3，an ，集合s= （a，b）| aa，ba，ab a ，则集合s中元素最多有个12对于正整数n，设 xn是关于 x 的

3、方程 nx3+2xn=0 的实数根，记an= （n+1）xn （n2），其中 x 表示不超过实数x 的最大整数，则（a2+a3+ +a2015）=二、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的13若 x1、x2、x3、x10的平均数为3，则 3 （ x12）、3 （x22）、3（x32）、 、3（x102）的平均数为（）a3 b9 c 18 d2714设 a、b 都是不等于1 的正数，则“ b1” 是“ loga3logb3” 的（）条件a充要b充分非必要c必要非充分d既非充分也非必要15设双曲线=1（a0，b 0）的右焦点为f，右顶点为a，过 f 作 af的垂线与双曲线交于b

4、、c两点，过b 作 ac 的垂线交x 轴于点d，若点 d 到直线 bc的距离小于a+，则的取值范围为（）a（ 0，1）b（ 1，+）c（ 0，）d（，+）16已知数列 an 、 bn、 cn ，以下两个命题：若 an+bn 、 bn+cn、 an+cn 都是递增数列， 则 an 、 bn 、 cn 都是递增数列；若 an+bn 、 bn+cn、 an+cn 都是等差数列， 则 an 、 bn 、 cn 都是等差数列；下列判断正确的是（）a都是真命题 b都是假命题c是真命题，是假命题d是假命题，是真命题三、解答题，解答写出文字说明、证明过程或演算过程17如图，三棱锥abcd中， bcd为等边三角

5、形，ac=ad，e 为 cd的中点；（1）求证： cd平面 abe；（2）设 ab=3，cd=2，若 aebc，求三棱锥abcd的体积18已知抛物线y2=4x 的焦点为f，过焦点f 的直线 l 交抛物线于a、b 两点，设ab 的中点为m，a、b、m 在准线上的射影依次为c、d、n（1）求直线fn 与直线 ab 的夹角 的大小；（2）求证：点b、o、c三点共线19已知 ar，函数 f（x）=x2+（2a+1）x，g（x）=ax（1）解关于x 的不等式： f（x） g（x）；（2）若不等式| f（x）| g（x）对任意实数x 恒成立，求a的取值范围20已知（ x0，y0，z0）是关于x、y、z 的

6、方程组的解（1）求证：=（a+b+c） ?；（2）设 z0=1，a、b、c 分别为 abc三边长， 试判断 abc的形状， 并说明理由；（3）设 a、b、c 为不全相等的实数，试判断 “+b+c=0” 是“02+y02+z020” 的条件，并证明：充分非必要；必要非充分；充分且必要；非充分非充要21 已知等差数列 an 的前 n 项和为 sn， 等比数列 bn 的前 n项和为 pn， 且 a1=b1=1（1）设 a3=b2，a4=b3，求数列 an+bn 的通项公式；（2）在（ 1）的条件下，且anan+1，求满足sn=pm的所有正整数n、 m；（3）若存在正整数m（m3），且 am=bm0，

7、试比较sm与 pm的大小，并说明理由2017 年上海市十四校联考高考数学模拟试卷（3 月份）参考答案与试题解析一、填空题 .1已知（ x）n的二项式系数之和为256，则 n=8【考点】 二项式系数的性质【分析】 由题意可得：2n=256，解得 n【解答】 解：由题意可得：2n=256，解得 n=8故答案为： 8【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2设复数z=1+i（i 是虚数单位），则z22iz 的值等于2【考点】 复数代数形式的乘除运算【分析】 利用复数的运算法则即可得出【解答】 解：复数z=1+i（i 是虚数单位），则z22iz=（1+i）22i（1+i

8、）=2i2i+2=2故答案为： 2【点评】本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3设向量、的夹角为 （其中0 ）， | =1，| =2，若（ 2 ）（k + ），则实数k 的值为2【考点】 数量积判断两个平面向量的垂直关系【分析】 （2 ）（ k + ），（ 2）?（k + ）=0，即可得出【解答】 解：（ 2 ）（ k + ），向量、 的夹角为 （其中 0 ），| =1，| =2，（ 2 ）?（ k + ）=2k+（2k）=2k4+2（2k）cos=0 ，（ k2）（ 1cos ）=0 对于 （ 0， 都成立k=2故答案为： 2【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系

9、，考查了推理能力与计算能力，属于中档题4设函数f（x）=| lgx| ，若 f（a）=f（b），其中0ab，则 a+b 取值范围是（2， +）【考点】 函数的零点与方程根的关系【分析】 画出函数f（x）的图象，则数形结合可知0a1，b1，且 ab=1，利用基本不等式可求a+b 的取值范围【解答】 解：画出y=| lgx| 的图象如图：0 ab，且 f（a）=f（b），| lga| =| lgb| 且 0 a 1，b1， lga=lgb，ab=1，a+b2=2，ab，a+b2，故答案为：（2，+）【点评】本题主要考查了对数函数的图象和性质，利数形结合的思想方法，考查基本不等式的运用，属基础题5函

10、数 f（x）=2x+234x，x（， 1）的值域为（ 4， 【考点】 二次函数的性质【分析】 配方化简函数的表达式，设2x=t，t（ 0，2），利用二次函数的性质，根据 t 的范围即可得出y 的最大、最小值，从而得出原函数的值域【解答】 解： f（x） =2x+234x，=42x3（ 2x）2=3（2x）2+；x（， 1）；2x（ 0，2），令 2x=t，t（ 0，2），则y=3（t）2+；t=时， y 取最大值，t=2 时， y 取最小值 4；因为 t 2，所以 y 4 4y；故答案为：（4， 【点评】考查函数值域的概念及求法，配方法处理二次式子，换元求函数值域的方法，注意确定换元后引入新变

11、量的范围，以及二次函数值域的求法6已知方程+=1 表示的曲线为c，任取a， b1，2，3，4，5 ，则曲线c表示焦距等于2 的椭圆的概率等于【考点】 椭圆的简单性质；古典概型及其概率计算公式【分析】 椭圆的焦距为：2，半焦距为：1，则 a，b 两个数的差值为1，然后利用古典概型求解即可【解答】 解：方程+=1 表示的曲线为c，任取 a，b1，2，3，4，5 ，曲线 c表示焦距等于2 的椭圆，可知半焦距为：1，则 a，b 两个数的差值为1，共有 8 种情况，表示曲线的情况共有55=25 种则曲线 c 表示焦距等于2 的椭圆的概率等于故答案为：【点评】本题考查椭圆的简单性质，古典概型的概率的求法，

12、考查转化思想以及计算能力7若实数x、y 满足，则 x2y 的取值范围是 7，13 【考点】 简单线性规划【分析】 作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的abc及其内部，再将目标函数 z=x2y 对应的直线进行平移，求出最优解，可得x2y 的取值范围【解答】 解：作出不等式组，表示的平面区域：得到如图的abc及其内部，其中a（，0）， b（3，5）， c（3， 5）设 z=f（x，y）=x2y，将直线l： z=x2y 进行平移，当l经过点b时，目标函数z达到最大值，得z最大值=f（3， 5）=13；当 l 经过点 a 时，目标函数z 达到最小值，得z最小值=f（3，5）= 7因此， x+2y

13、的取值范围是 7，13 故答案为： 7，13 【点评】 本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x2y 的取值范围，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中档题8已知双曲线=1（a0，b0），过双曲线上任意一点p 分别作斜率为和的两条直线l1和 l2， 设直线l1与 x 轴、y 轴所围成的三角形的面积为s，直线 l2与 x 轴、 y 轴所围成的三角形的面积为t，则 s?t的值为【考点】 双曲线的简单性质【分析】不妨设点p 在第一象限， 设点 p （x0，y0），得到直线l1的方程为 yy0=（xx0），直线l2的方程为yy0=（x x0），再分别求出a，b，c，d

14、 的坐标，表示出s，t，计算 st即可【解答】 解：不妨设点p在第一象限，设点p（x0，y0）直线 l1的方程为yy0=（xx0），直线 l2的方程为yy0=（xx0），a（0，y0+x0），b（x0+x0，0），d（0，y0 x0），c（x0y0，0），s= （y0+x0）（ x0+x0）， t=（y0 x0）（ x0y0），st=（y02x02）（ x02y02）=，故答案为：【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，比较基础9在 abc中，角a、b、c 所对的边分别为a、b、c，若满足a=4，a=30 的三角形的个数恰好为一个，则b 的取值范围是（0，4 8 【考点】

15、 解三角形【分析】 利用正弦定理得出b=8sinb，根据 b+c的度数和三角形只有一解，可得b 只有一个值，根据正弦函数的性质得到b 的范围，从而得出b 的范围【解答】 解： a=30 ，a=4，根据正弦定理得：，b=8sinb，又 b+c=180 30 =150 ，且三角形只一解，可得b 有一个值，0 b30 ，或 b=90 0 sinb，或 sinb=1，又 b=8sinb，b 的取值范围为（0，4 8 故答案为：（0，4 8 【点评】 本题考查了正弦定理，正弦函数的性质，特殊角的三角函数值，属于中档题10设 i、j、nn*，ij，集合mn= （i， j）| 4?3n3i+3j4?3n+1

16、 ，则集合mn中元素的个数为2n个【考点】 集合的包含关系判断及应用【分析】 对 j 或者 i 讨论，不妨设i=j=t，可得 4?3n2?3t4?3n+1，两边取对数，ln2+nln3 tln3 ln2+（n+1） ln3，求解 t 即可得到集合mn中元素的个数【解答】解：由题意，不妨设i=j=t，可得 4?3n2?3t4?3n+1，即 2?3n3t2?3n+1，两边取对数，ln2+nln3 tln3 ln2+（n+1）ln3，可得： tn+1那么： i+j=2（n+1）=2n+2 个ij，集合 mn中元素的个数为2n 个故答案为2n【点评】 本题主要考查集合的证明和运算，转化的思想，属于中档

17、题11设正实数集合a= a1，a2，a3， ，an ，集合s= （a，b）| aa，ba，ab a ，则集合s中元素最多有个【考点】 集合中元素个数的最值【分析】 假设 a1，a2，a3，an按大小顺序排列，当a1，a2，an为等差数列，且首项为公差， 集合 s中的元素最多， n 个数字中任取2 个，之差也一定属于a1，a2，an，由此能求出集合s中的元素最多的个数【解答】 解：正实数集合a= a1，a2，a3，an ，集合s= （a，b）| aa，ba，aba ，不妨假设a1，a2，a3，an按大小顺序排列，当 a1，a2，an为等差数列，且首项为公差，集合s中的元素最多，n 个数字中任取2

18、 个，之差也一定属于a1，a2，an，集合 s中的元素最多为：=故答案为：【点评】本题考查集合中最多的元素个数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列性质、排列组合知识的合理运用12对于正整数n，设 xn是关于 x 的方程 nx3+2xn=0 的实数根，记an= （n+1）xn （n2），其中 x 表示不超过实数x 的最大整数，则（a2+a3+ +a2015）=2017【考点】 数列的求和【分析】 根据条件构造f（x）=nx3+2xn，求函数的导数，判断函数的导数，求出方程根的取值范围进行求解即可【解答】 解：设 f（x）=nx3+2xn，则 f （x）=3nx2+2，当 n 是正整数

19、时，f （x） 0，则 f（x）为增函数，当 n2 时， f（）=n（）3+2（） n=?（ n2+n+1）0，且 f（1）=20，当 n2 时，方程nx3+2x n=0 有唯一的实数根xn且 xn（，1），n（ n+1）xnn+1，an= （n+1）xn =n，因此（a2+a3+a4+ +a2015）=（2+3+4+2015）=2017，故答案为： 2017【点评】本题考查递推数列的应用以及函数的单调性的应用函数的零点，数列求和的基本方法，考查分析问题解决问题以及计算能力，综合性较强，难度较大二、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的13若 x1、x2、x3、x10的平均

20、数为3，则 3 （ x12）、3 （x22）、3（x32）、 、3（x102）的平均数为（）a3 b9 c 18 d27【考点】 众数、中位数、平均数【分析】 根据题意，由x1、x2、 x3、x10的平均数为3，由平均数公式分析可得 x1+x2+x3+ +x10=30，对于数据3（x12）、3（x22）、3（x32）、 、3（x102），由平均数公式可得= 3（x12）+3（x22）+3（x102） ，计算可得答案【解答】 解：根据题意，x1、x2、x3、x10的平均数为3，则有（x1+x2+x3+x10）=3，即 x1+x2+x3+x10=30，对于数据3（x12）、3（x22）、3（x32

21、）、3（x102），其平均数= 3 （ x12）+3（x22）+ +3 （ x102） = 3 （x1+x2+x3+x10）60 =3；故选： a【点评】 本题考查数据平均数的计算，关键是牢记平均数计算的公式14设 a、b 都是不等于1 的正数，则“ b1” 是“ loga3logb3” 的（）条件a充要b充分非必要c必要非充分d既非充分也非必要【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】 根据对数函数的性质求解即可，再利用充分必要条件的定义判断即可【解答】 解： a、b 都是不等于1 的正数，loga3logb3，即0，或，求解得出： ab1 或 1ab0 或 b1，0a1根据充分必

22、要条件定义得出：“b1” 是“ loga3logb3” 的充分条不必要件，故选： b【点评】 本题综合考查了指数，对数函数的单调性，充分必要条件的定义，属于综合题目，关键是分类讨论15设双曲线=1（a0，b 0）的右焦点为f，右顶点为a，过 f 作 af的垂线与双曲线交于b、c两点，过b 作 ac 的垂线交x 轴于点d，若点 d 到直线 bc的距离小于a+，则的取值范围为（）a（ 0，1）b（ 1，+）c（ 0，）d（，+）【考点】 双曲线的简单性质【分析】 由双曲线的对称性知d 在 x 轴上，设d（x，0），则由bdab 得?=1， 求出 cx， 利用 d 到直线bc的距离小于a+， 即可得

23、出结论【解答】 解：由题意，a（a，0）， b（c，）， c（c，），由双曲线的对称性知d 在 x 轴上，设 d（x，0），则由bdab 得?=1，cx=，d 到直线 bc的距离小于a+，cx=| a+，c2a2=b2，01，故选： a【点评】 本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定d 到直线 bc的距离是关键16已知数列 an 、 bn、 cn ，以下两个命题：若 an+bn 、 bn+cn、 an+cn 都是递增数列， 则 an 、 bn 、 cn 都是递增数列；若 an+bn 、 bn+cn、 an+cn 都是等差数列， 则 an 、 bn 、 cn 都是等差数列；下列判断正确的

24、是（）a都是真命题 b都是假命题c是真命题，是假命题d是假命题，是真命题【考点】 数列的概念及简单表示法【分析】 对于不妨设an=2n，bn=3n、cn=sinn，满足 an+bn 、 bn+cn、 an+cn都是递增数列，但是不满足cn=sinn 是递增数列，对于根据等差数列的性质和定义即可判断【解答】 解：对于不妨设an=2n，bn=3n、cn=sinn，an+bn 、 bn+cn 、 an+cn都是递增数列，但cn=sinn 不是递增数列，故为假命题，对于 an+bn、 bn+cn 、 an+cn 都是等差数列，不妨设公差为分别为a，b，c，an+bnan1bn1=a，bn+cnbn1c

25、n1=b， an+cnan1cn1=c，设an ， bn 、 cn的公差为x，y，x，则 x=，y=，z=，故若 an+bn 、 bn+cn、 an+cn 都是等差数列， 则 an 、 bn 、 cn 都是等差数列，故为真命题，故选： d【点评】 本题考查了等差数列的性质和定义，以及命题的真假，属于基础题三、解答题，解答写出文字说明、证明过程或演算过程17 （2017?上海模拟） 如图，三棱锥a bcd中， bcd为等边三角形，ac=ad，e为 cd 的中点；（1）求证： cd平面 abe；（2）设 ab=3，cd=2，若 aebc，求三棱锥abcd的体积【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线

26、与平面垂直的判定【分析】 （1）推导出becd ， aecd，由此能证明cd平面 abe（2）推导出ae平面bcd，由此能求出三棱锥abcd的体积【解答】 证明：（ 1）三棱锥abcd中， bcd为等边三角形，ac=ad，e为 cd的中点，be cd，ae cd，又 aebe=e ， cd 平面abe解：（ 2）由（ 1）知 aecd，又 aebc，bccd=c ，ae平面 bcd，ab=3，cd=2，三棱锥abcd的体积：=【点评】 本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养18（2017?上海模拟）已知抛物线y2=4x的焦点为f，过焦

27、点f的直线l交抛物线于 a、b 两点，设ab的中点为m，a、b、m 在准线上的射影依次为c、d、n（1）求直线fn 与直线 ab 的夹角 的大小；（2）求证：点b、o、c三点共线【考点】 抛物线的简单性质【分析】 （1）先设 a（x1，y1）、 b（x2，y2）、中点m（x0，y0），利用斜率公式得出kfn=y0，再分类讨论：当x1=x2时，显然fnab；当 x1x2时，证出kfn?kab=1从而知fnab 成立，即可得出结论（2）将焦点弦ab 的直线的方程代入抛物线的方程，消去 x 得到关于y 的一元二次方程，再结合直线斜率的关系即可证得b、o、c三点共线，从而解决问题【解答】 （1）解：设

28、a（x1，y1）、 b（x2，y2）、中点m（x0，y0），焦点f 的坐标是（ 1，0）kfn=y0，当 x1=x2时，显然fnab；当 x1x2时， kab=，kfn?kab=1fnab综上所述知fnab 成立，即直线 fn 与直线 ab 的夹角 的大小为90 ；（2）证明：由y=k（x1）与抛物线方程联立，可得ky24y4k=0， y1y2=4，a 在准线上的射影为c，c （ 1，y1）， koc=y1，kob=，y1y2=4，kob=koc，点 b、o、c三点共线【点评】 本题给出抛物线过焦点的弦在准线上的射影，求证三点共线及线线角，着重考查了用解析几何理解抛物线的定义的知识点，属于中档

29、题19（ 2017?上海模拟）已知ar，函数 f（x）=x2+（2a+1）x，g（x）=ax（1）解关于x 的不等式： f（x） g（x）；（2）若不等式| f（x）| g（x）对任意实数x 恒成立，求a的取值范围【考点】 函数恒成立问题；一元二次不等式的解法【分析】 （ 1）由 f（x） g（x），得 x2+（2a+1） xax，即 x2+（a+1）x0然后分 a 1，a=1，a 1 三类求解不等式的解集；（2） | f（x）| g（ x）对任意实数x 恒成立 ? | x2+（2a+1）x| ax 对任意实数x恒成立，当a=0 时，不等式 | x2+（2a+1）x| ax 对任意 xr都成立

30、； 当 a0 时，分 x （， 0 与 x（0，+）分类分析；当a0 时，不等式 | x2+ （2a+1）x| ax 显然不成立；当a时，要使不等式| x2+（2a+1）x| ax 恒成立，则t（x）=x2+2（a+1）xax0 在 x（， 0）上恒成立然后利用导数求解满足条件的a 的取值范围【解答】 解：（ 1）由 f（x） g（x），得 x2+（2a+1） xax，即 x2+（a+1）x0当 a 1 时，解得0 x a1当 a=1 时，解得 x=0当 a 1 时，解得a1x0当 a 1 时，不等式f（x） g（x）的解集为 0， a1 ；当 a=1 时，不等式f（x） g（x）的解集为 0

31、 ；当a1时，不等式f（x）g（x）的解集为 a1，0 （2） | f（x）| g（ x）对任意实数x 恒成立 ? | x2+（2a+1）x| ax 对任意实数x恒成立，当 a=0 时，不等式| x2+（2a+1）x| ax 对任意 x r都成立；当 a0 时，当 x（， 0 时，不等式 | x2+（2a+1）x| ax 成立，当 x（ 0，+）时，令h（x）=x2+（ 2a+1）xax=x2+ax+x，h （x）=2x+a+10，h（x）在（ 0，+）上为增函数，则h（x）h（0）=0，不等式 | x2+（2a+1）x| ax 成立，当 a0 时，不等式 | x2+（2a+1）x| ax 成

32、立；当a0 时，不等式 | x2+（2a+1）x| ax 显然不成立；当 a时，要使不等式| x2+（2a+1）x| ax 恒成立，则t（x）=x2+2（a+1）xax0 在 x（，0）上恒成立t （x）=2x+a+1，由 2x+a+1=0，解得 x=，若 1a，则当 x（，）时， t （x） 0，当 x（， +）时， t （x）0， x （ ， 0 ） 时 ，=，不合题意；若 a 1，则x（， 0）时， t （x） 0，t（x）为减函数，则t（x） t（0） =0综上，不等式| f（ x）| g（x）对任意实数x 恒成立时a 的取值范围是（，1 0，+）【点评】本题考查函数恒成立问题，考查利

33、用导数求函数的最值，考查分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法，属中档题20（2017?上海模拟）已知（x0，y0，z0）是关于x、y、z 的方程组的解（1）求证：=（a+b+c） ?；（2）设 z0=1，a、b、c 分别为 abc三边长， 试判断 abc的形状， 并说明理由；（3）设 a、b、c 为不全相等的实数，试判断“+b+c=0” 是“02+y02+z020” 的条件，并证明：充分非必要；必要非充分；充分且必要； 非充分非充要【考点】 矩阵与矩阵的乘法的意义【分析】 （1）将行列式的前两列加到第三列上即可得出结论；（2）由方程组有非零解得出=0，即=0，将行列式展开化简即可得出 a=b=c；（3）利用（ 1），（ 2）的结论即可答案【解答】 解：（ 1）证明：将行列式的前两列加到第三列上，得：=（ a+b+c）?（2） z0=1，方程组有非零解，=0，由（ 1）可知（ a+b+c）?=0a、b、c 分别为 abc三边长， a+b+c0，=0，即 a2+b2+c2abbcac=0，2a2+2b2+2c22ab2bc2ac=0，即（ ab）2+（bc）2+（ac）2=0，a=b=c， abc是等边三角形（3）若 a+b+c=0，显然（ 0，0，0）是方程组的一组解，即x02+y02+z02=0