上海市金山中学高二下期末考试数学试卷及解析

1、. . 金山中学第二学期高二数学期末考试一、填空题 ( 本大题满分 54 分)本大题共有 12 题，其中第 1 题至第 6 题每小题 4 分，第 7 题至第 12 题每小题 5 分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分1. 的展开式中项的系数为 _【答案】【解析】的展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中项的系数为，故答案为10.2. 已知直线经过点且方向向量为，则原点到直线的距离为_.【答案】1 【解析】直线的方向向量为，所以直线的斜率为，直线方程为，由点到直线的距离可知，故答案为1.3. 已知全集，集合, 若，则实数的值为 _ .【答案】 2 【解析】试题分析：由

2、题意，则，由得，解得考点：集合的运算4. 若变量满足约束条件则的最小值为 _.【答案】【解析】由约束条件作出可行域如图，联立，解得，化目标函数，得， 由图可知， 当直线过点时，直线在y 轴上的截距最小，有最小值为， 故答案为. 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题 .求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”： （1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）； （2）找到目标函数对应的最优解对应. . 点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）； （3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.5. 直线上与点的距离等于的点的坐标是_ .【答

3、案】或. 【解析】解：因为直线上与点的距离等于的点的坐标是和6. 某学生在上学的路上要经过2 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 ，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是_.【答案】【解析】设“这名学生在上学路上到第二个路口首次遇到红灯”为事件，则所求概率为，故答案为.7. 某学校随机抽取名学生调查其上学所需时间（单位： 分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是，样本数据分组为，则该校学生上学所需时间的均值估计为_ （精确到分钟） . 【答案】 34. .点睛：本题考查频率分布直方图，解题的关键是理解直方图中各

4、个小矩形的面积的意义及各个小矩形的面积和为 1，本题考查了识图的能力；根据直方图求平均值的公式，各个小矩形的面积乘以相应组距的中点的值，将它们相加即可得到平均值.8. 一个口袋内有4 个不同的红球，6 个不同的白球，若取一个红球记2 分，取一个白球记1 分，从中任. . 取 5 个球，使总分不少于7 分的取法有多少种_ .【答案】 186 【解析】试题分析：设取红球个，白球个，则考点：古典概型.9. 如图，三棱锥满足：，则该三棱锥的体积v的取值范围是 _【答案】【解析】由于平面，在中，要使面积最大，只需，的最大值为，的最大值为，该三棱锥的体积v的取值范围是.10. 是双曲线的右支上一点，分别是

5、圆和上的点，则的最大值等于 _.【答案】 9 【解析】试题分析：两个圆心正好是双曲线的焦点，再根据双曲线的定义得的最大值为. 考点：双曲线的定义，距离的最值问题.11. 棱长为 1 的正方体及其内部一动点，集合, 则集合构成的几何体表面积为_.【答案】【解析】试题分析：. 考点：几何体的表面积.12. 在直角坐标平面中，已知两定点与位于动直线的同侧，设集合点与点到直线的距离之差等于， 记,.则由中的所有点所组成的图形的面积是_. . 【答案】【解析】过与分别作直线的垂线，垂足分别为，则由题意值，即，三角形为正三角形，边长为，正三角形的高为，且， 集合对应的轨迹为线段的上方部分，对应的区域为半径

6、为1 的单位圆内部，根据的定义可知，中的所有点所组成的图形为图形阴影部分阴影部分的面积为，故答案为.二、选择题 (本大题满分 20 分) 本大题共有 4 题，每题只有一个正确答案. 考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5 分，否则一律得零分13. 已知为实数，若复数是纯虚数，则的虚部为（）a. 2b. 0c. -2d. -2【答案】c 【解析】复数是纯虚数，化为，解得， 的虚部为，故选 c.14. 已知条件：“直线在两条坐标轴上的截距相等”，条件：“直线的斜率等于”，则是的（）a. 充分非必要条件b. 必要非充分条件c. 充要条件d. 既非充分又非必要条件【答案】 b 【

7、解析】当直线过原点时，直线在两条坐标轴上的截距相等，斜率可以为任意数，故不成立；当直线的斜率等于，可设直线方程为，故其在两坐标轴上的截距均为，故可得成立，则是的必要非充分条件，故选b.15. 如图，在空间直角坐标系中，已知直三棱柱的顶点在 轴上，平行于轴，侧棱平行于轴当顶点在轴正半轴上运动时，以下关于此直三棱柱三视图的表述正确的是（）. . a. 该三棱柱主视图的投影不发生变化；b. 该三棱柱左视图的投影不发生变化；c. 该三棱柱俯视图的投影不发生变化；d. 该三棱柱三个视图的投影都不发生变化【答案】 b 【解析】 a、该三棱柱主视图的长度是或者在轴上的投影， 随点得运动发生变化，故错误； b

8、、设是 z 轴上一点，且，则该三棱柱左视图就是矩形，图形不变故正确；c、该三棱柱俯视图就是，随点得运动发生变化，故错误d、与矛盾故错误；故选b. 点睛：本题考查几何体的三视图，借助于空间直角坐标系本题是一个比较好的题目，考查的知识点比较全，但是又是最基础的知识点；从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图，根据图中c 点对三棱柱的结构影响进一步判断.16. 如图，两个椭圆，内部重叠区域的边界记为曲线，是曲线上任意一点，给出下列三个判断： 到、四点的距离之和为定值；曲线关于直线、均对称；曲线所围区域面积必小于上述判断中正确命题的个数为（）a. 0 个b. 1 个

9、c. 2 个d. 3 个【答案】 c 【解析】对于，若点在椭圆上， 到、两点的距离之和为定值、到、. . 两点的距离之和不为定值，故错；对于，两个椭圆，关于直线、均对称，曲线关于直线、均对称，故正确；对于，曲线所围区域在边长为6 的正方形内部，所以面积必小于36 ，故正确；故选c.三、解答题 (本大题满分 76 分) 本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17. 已知复数满足，（其中是虚数单位） ，若，求的取值范围【答案】或【解析】试题分析：化简复数为分式的形式，利用复数同乘分母的共轭复数，化简为的形式即可得到， 根据模长之间的关系，得到关于的不等式，解

10、出的范围 . 试题解析：，即，解得或18. 如图，直四棱柱底面直角梯形，是棱上一点，. （1）求异面直线与所成的角；（2）求证：平面. 【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析： （1）本题中由于有两两垂直，因此在求异面直线所成角时，可以通过建立空间直角坐标系，利用向量的夹角求出所求角；（2）同（ 1）我们可以用向量法证明线线垂直，以证明线面垂直，易得当然我们也可直线用几何法证明线面垂直，首先，这由已知可直接得到，而证明可在直角梯形通过计算利用勾股定理证明，因此，得证 . （1） 以原点，、分别为轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系.则，. 3 分于是, . . 异面直线与所成的角的大小等于.

11、6 分（2）过作交于，在中，则，10 分，.又，平面. 12 分考点：（1）异面直线所成的角； （2）线面垂直 .19. 如图， 圆锥的顶点为，底面圆心为，线段和线段都是底面圆的直径，且直线与直线的夹角为，已知，（1）求该圆锥的体积；（2）求证：直线平行于平面，并求直线到平面的距离【答案】（1）（2）【解析】试题分析： （1）利用圆锥的体积公式求该圆锥的体积；（2）由对称性得，即可证明直线平行于平面，到平面的距离即直线到平面的距离，由，求出直线到平面的距离 . 试题解析：（1）设圆锥的高为，底面半径为，则，圆锥的体积；（2）证明：由对称性得，不在平面，平面，平面，. . c 到平面的距离即直线

12、到平面的距离，设到平面的距离为，则由，得，可得，直线到平面的距离为20. 阅读：已知，求的最小值 . 解法如下：，当且仅当，即时取到等号，则的最小值为. 应用上述解法，求解下列问题：（1）已知，求的最小值；（2）已知，求函数的最小值；（3）已知正数，求证：.【答案】（1）9（ 2）18（3）见解析【解析】试题分析：本题关键是阅读给定的材料，弄懂弄清给定材料提供的方法（“1”的代换），并加以运用 .主要就是，展开后就可应用基本不等式求得最值.（ 1）； （2）虽然没有已知的“1”，但观察求值式子的分母， 可以凑配出 “1”：，因此有，展开后即可应用基本不等式；（ 3）观察求证式的分母，结合已知有

13、， 因此有此式中关键是凑配出基本不等式所需要的两项，如与合并相加利用基本不等式有，从而最终得出. . . （1），2 分而，当且仅当时取到等号，则，即的最小值为. 5 分（2）， 7 分而，当且仅当，即时取到等号，则，所以函数的最小值为. 10 分（3）当且仅当时取到等号，则. 16 分考点：阅读材料问题，“1”的代换，基本不等式.21. 设椭圆的长半轴长为、短半轴长为，椭圆的长半轴长为、短半轴长为，若，则我们称椭圆与椭圆是相似椭圆已知椭圆，其左顶点为、右顶点为（1）设椭圆与椭圆是“相似椭圆”，求常数的值；（2）设椭圆，过作斜率为的直线与椭圆仅有一个公共点，过椭圆的上顶点为作斜率为的直线与椭圆仅有一个公共点， 当为何值时取得最小值， 并求其最小值；（3）已知椭圆与椭圆是相似椭圆椭圆上异于的任意一点，求证：的垂心在椭圆上【答案】（1）或 ； （2）当时，取得最小值 （3）见解析【解析】试题分析： （ 1）运用 “ 相似椭圆 ” 的定义，列出等式，解方程可得s；（2）求得的坐标， 可得直线与直线的方程， 代入椭圆的方程， 运用判别式为，求得，再由基本不等式即可得到所求最小值；（3）求得椭圆的方程，设出椭圆上的任意一点，代入椭圆的方程；