山东省济南市2020年高三数学一模试题含答案答案

1、1 保密启用前2020年济南市高三模拟考试数学试题一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知全集ur，集合 a2x xx，则uaa0,1b（0，1）c(,1d1（， ）2.设复数21izi+（其中 i 为虚数单位） ，则复数z在复平面内对应的点所在的象限为a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限3.加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分。某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60，每只胳膊的拉力大小均为400n，则该学生的体重（单位:kg）约为（参考数据 :取重力加速度大小为210

2、/31.732gm s，）a63 b69 c75 d81 4.已知函数yf x（ ）的部分图象如图，则fx（ ）的解析式可能是af xxtanx（ ） b2f xxsin x（ ） c1 22f xxsinx-（ ）d. 1cos2fxxx-（ ）5.方舱医院的创设，在抗击新冠肺炎疫情中发挥了不可替代的重要作用。某方舱医院医疗小组有七名护士，每名护士从周一到周日轮流安排一个夜班。若甲的夜班比丙晚一天，丁的夜班比戊晚两天，乙的夜班比庚早三天，己的夜班在周四，且恰好在乙和丙的正中间，则周五值夜班的护士为a甲b丙c戊d庚6.已知抛物线24yx的焦点为f，直线l过 f 且与抛物线交于a，b 两点，过a

3、 作抛物线准线的垂线，垂足为 m，maf的角平分线与抛物线的准线交于点p，线段 ab 的中点为q。若8abpq ，则a2 b4 c6 d 8 2 7.洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，被世界公认为组合数学的鼻祖，它是中华民族对人类的伟大贡献之一。 在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有图1： “以五居中， 五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数” ，这就是最早的三阶幻方，按照上述说法，将1 到 9 这九个数字，填在如图2 所示的九宫格里，九宫格的中间填 5，四个角填偶数，其余位置填奇数.则每一横行、每一竖列以及两条对角线上3 个数字的和都等于15的概率是a13b16c172d11448.已知直线0y

4、axb b（ ）与曲线3yx有且只有两个公共点1122,a xyb xy（ ， ），（），其中12xx，则122xxa1-b0 c1 da二、多项选择题:本题共 4 小题，每小题5 分，共 20 分。在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5 分，部分选对的得3 分，有选错的得0 分。9.原油价格的走势在一定程度上反映了全球的经济形势。下面是2008 年至 2019 年国际原油价格高低区间的对比图。下列说法正确的是a.2008 年原油价格波动幅度最大b.2008 年至 2019 年，原油价格平均值不断变小3 c.2013 年原油价格平均值一定大于2018 年原油价格平均值d.2

5、008 年至 2019 年，原油价格波动幅度均不小于20 美元 /桶10.已知符号函数1,0sgn( )0,01,0 xxxx=-下列说法正确的是a.函数ysgn x（ ）是奇函数b.对任意的11xsgnx ，（ln ）c.函数xyesgnx-（）的值域为1（， ）d.对任意的xr xx sgn x， （ ）11.如图，在棱长为1 的正方体1111abcda bc d-中， p为棱1cc上的动点（点p 不与点 c，c1重合） ，过点 p 作平面分别与棱abc ，cd 交于 m，n 两点，若cpcmcn，则下列说法正确的是a1ac 平面b 存在点 p，使得1ac p平面c 存在点 p，使得点a1

6、到平面的距离为53d用过 p， m，d1三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形12.已知函数cosf xsinxcosx sin xx-（ ）（），下列说法正确的是a.f x（ ）是周期函数b.f x（ ）在区间22-， 上是增函数c.若12+=2f xf x（ ）（），则12)2kxxkz（d.函数1g xf x（ ）（ ）在区间0 2 ， 上有且仅有1 个零点三、填空题 :本题共 4 小题，每小题5 分，共 20 分13.已知2233cos-（)=，则21sin ()26-的值为 _ 14.已知双曲线222210,0 xyabab- （ ）的渐近线与圆（22(21xy-） 相切，则该双

7、曲线的离心率为_ 15.已知12ee，是夹角为3的单位向量，若123aebeabr= （ ，），则ab的最大值为 _ 4 16.古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现:平面上到两定点a，b 距离之比为常数01（ 且）的点的轨迹是一个圆心在直线ab 上的圆，该圆简称为阿氏圆。根据以上信息，解决下面的问题: 如图，在长方体1111abcda bc d-中，1226abadaa，点 e 在棱 ab 上，2beae，动点 p 满足3bppe.若点 p在平面 abcd 内运动，则点p所形成的阿氏圆的半径为_;若点 p 在长方体1111abcda bc d-内部运动， f 为棱11c d的中点， m 为 cp 的中

8、点，则三棱锥1mbcf-的体积的最小值为 _（本小题第一空2 分，第二空3 分）四、解答题 :本题共 6 小题，共70 分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤17.（10 分）若数列na满足221nnaap nnp+-（， 为常数），则称数列na为等方差数列，p为公方差。（1）已知数列nnncdxn, ，y分别满足2020,1,21,3nnnnncdnxny，从上述四个数列中找出所有的等方差数列（不用证明）; （2）若数列na是首项为 1，公方差为2 的等方差数列，求数列2na 的前 n 项和 sn5 18.（12 分）如图，平面四边形abcd ，点 b，c，d 均在半径为5 33的圆上，且3

9、bcd（1）求 bd 的长度；（2）若32adadbabd ，求 abd 的面积6 19.（12 分）如图1，平面四边形abcd 中，2abacabacaccd，e 为 bc 的中点，将 acd 沿对角线ac 折起，使cdbc，连接 bd ，得到如图2 所示的三棱锥dabc-.（1）证明 :adebcd平面平面；（2）已知直线de 与平面 abc 所成的角为4，求二面角abdc-的余弦值7 20.（12 分）网络购物已经成为人们的一种生活方式.某购物平台为了给顾客提供更好的购物体验，为人驻商家设置了积分制度，每笔购物完成后，买家可以根据物流情况、商品质量等因素对商家做出评价，评价分为好评、中评

10、和差评平台规定商家有50 天的试营业时间，期间只评价不积分，正式营业后，每个好评给商家计1分，中评计0 分，差评计1-分，某商家在试营业期间随机抽取100 单交易调查了其商品的物流情况以及买家的评价情况，分别制成了图1 和图 2 （1）通常收件时间不超过四天认为是物流迅速，否则认为是物流迟缓；请根据题目所给信息完成下面2 2 列联表，并判断能否有99的把握认为“ 获得好评 ” 与物流速度有关？（2）从正式营业开始，记商家在每笔交易中得到的评价得分为x.该商家将试营业50 天期间的成交情况制成了频数分布表（表1） ，以试营业期间成交单数的频率代替正式营业时成交单数发生的概率。（）求 x 的分布列

11、和数学期望；（）平台规定，当积分超过10 000 分时，商家会获得“ 诚信商家称号，请估计该商家从正式营业开始，1年内（ 365 天）能否获得“ 诚信商家称号8 21.（12 分）在平面直角坐标系xoy 中，已知点3 0a （， ），直线l:4 33x，动点 p 满足到点a 的距离与到直线l 的距离之比为32已知圆 c 的方程为224xy，直线l为圆 c 的切线，记点( 30)3 0)a-， ,(，到直线l的距离分别为12dd，动点 p 满足12padpbd，点 s，t 分别在 x轴， y 轴上运动，且3st ，动点 p 满足2133oposotu uu ruuu ruuu r（1）在，这三个

12、条件中任选一个，求动点p 的轨迹方程；注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分（2）记（ 1）中的轨迹为e，经过点d（1，0）的直线l交 e 于 m，n 两点，若线段mn 的垂直平分线与y 轴相交于点q，求点 q 纵坐标的取值范围. 9 22.（12 分）已知函数2(1)xa exf xx-（ ）=，且曲线yf x（ ）在22f（ ，（ ）处的切线斜率为1. （1）求实数a 的值；（2）证明 :01xfx当 时，（ ）（3）若数列nx 满足1nxnef x+（ ），且113x，证明 :211nxne-1高三年级学习质量评估考试数学参考答案及评分标准一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5

13、 分，共 40 分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案a a b c d b c b 二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5 分，部分选对的得3 分，有选错的得0 分。题号 9 10 11 12 答案 ac abd acd ac三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。1313； 142 33； 152； 16 2 3 ，94（本小题第一空2 分，第二空3 分） 四、解答题：共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【解析】（1

14、）由等方差的定义可知 nncd，为等方差数列；.4分（2）因为数列 na是首项为1，公方差为2 的等方差数列，所以212(1)21nann， .7 分所以2(121)2nnnsn. 10 分18 【解析】（1） 【方法一】由题意可知，bcd的外接圆半径为5 33，由正弦定理5 322sin3bdrbcd， . 3 分解得5bd； . 5 分【方法二】2由题意可知，bcd的外接圆半径为5 33，设该外接圆的圆心为o ，则23bod，5 33obod，所以2222cos25bdobodob odbod，. 3 分解得5bd； . 5 分（2） 【方法一】在abd中，设abd，为锐角，则2adb，因

15、为sin2sinabad，所以32sincossinab， . 7 分所以6cosab，因为2222cosadabbdab bd，即22936cos2560cos，所以6cos3， .9 分则6cos2 6ab，3sin3，所以1sin5 22abdsab bd . 12 分【方法二】在abd中，因为2adbabd ，所以sinsin 22sincosadbabdabdabd， .7 分所以2222cos22abbdadabadabdadab bd，因为53bdad，所以2 6ab， . 9 分所以6cos3abd，则3sin3abd，所以1sin5 22abdsab bdabd . 12 分

16、【方法三】在abd中，设abd，为锐角，则2adb，3bad，因为sin3sinbdad，即53sin3sin， . 7 分因为sin3sin(2)sin 2coscos2sin2332sincossin2sin3sin4sin，3所以21sin3，则3sin3. 9 分则6cos3，2 2sin23，所以1sin25 22abdsad bd . 12 分19 【解析】（1）证明：在三棱锥dabc 中，因为cdbccdac，acbcc，所以cd平面 abc ，. 2 分又 ae平面 abc ，所以aecd ，因为abac ，e 为 bc 中点，所以bcae，又bccdc，所以ae平面 bcd

17、， . 4 分又 ae平面 ade ，所以 平面 ade平面 bcd . 5 分（2） 【方法一】由（ 1）可知dec 即为直线 de 与平面 abc 所成的角，所以4dec，故1cdce； . 6 分作efcd交 bd 于点 f ，由（ 1）知 ea eb ef，两两垂直，以 e 为原点， ea ebef，所在直线分别为x 轴， y 轴，z轴建系， . 7 分则(00 0)e， ，(1 0 0)a， ，(0 1 0)b，(01 1)d， ，易知 平面 bcd 的法向量为1(1 0 0)， ，n，. 8 分又(1 1 0)ab，(11 1)ad， ，设平面 abd 的法向量为2()xy z，

18、，n，则2200abxyadxyz，nn令1x，解得2(1 1 2 )，n，. 10 分所以1212126cos|6，nnnnnn，由图可知该二面角为锐角，zyx图2fedabc4所以 二面角 adbc 的余弦值为66 . 12 分【方法二】由（ 1）可知dec 即为直线 de 与平面 abc 所成的角，所以4dec，故1cdce； . 6 分由（ 1）知 ae平面 bcd ， 过 e 作bdeh于 h ，连接 ah ，由三垂线定理可知ahbd ，故ahe 为二面角adbc 的平面角 . . 8 分由bhebcd，得beehbdcd，即115eh，得55eh，所以530ah， . 10 分故6

19、cos6ehaheah，所以 二面角 adbc 的余弦值为66 . 12 分20 【解析】（1）由题意可得好评中评或差评合计物流迅速50 5 55 物流迟缓30 15 45 合计80 20 100 . 2 分22(5015305)1001006.6358020554511k，. 3 分所以有 99% 的把握认为“获得好评”与物流速度有关 . 4 分（2） （i）由题意可知，x 的取值可能是1 01， ，每位买家给商家作出好评、中评、差评的概率分别为0.8 0.1 0.1，所以x 的分布列为图2edabch5x1 0 1p0.8 0.1 0.1 所以1 0.800.1(1)0.10.7ex； .

20、 7 分（ii ） 【方法一】设商家每天的成交量为y ，则 y 的取值可能为27 30 36， ，所以y 的分布列为y27 30 36 p0.4 0.4 0.2 所以270.4300.4360.230ey， . 10 分所以商家每天能获得的平均积分为300.721，商家一年能获得的积分：21365766510000 ， . 11 分所以该商家在 1 年内不能获得“诚信商家”称号. 12 分【方法二】商家每天的平均成交量为(361030202720)3050， . 10 分所以商家每天能获得的平均积分为300.721，商家一年能获得的积分：21365766510000 ， . 11 分所以该商家

21、在 1 年内不能获得“诚信商家”称号. 12 分21 【解析】（1）若选 ，设()p xy，根据题意，22(3)324 3|3xyx， . 3 分整理得2214xy，所以所求的轨迹方程为2214xy. 5 分若选 ，设()p xy，直线 l 与圆相切于点h ，则12|2|42 3|papbddohab ， . 2 分由椭圆定义知点 p 的轨迹是以a b， 为焦点的椭圆， . 3 分6所以24a， 2|2 3cab，故2a，3c，1b，所以所求的轨迹方程为2214xy. 5 分若选 ，设()p xy，(0)s x ，(0)ty，则22()()3xy（*） ，因为2133oposot，所以2313

22、xxyy，. 2 分整理得323xxyy， . 3 分代入（ *）得2214xy，所以所求的轨迹方程为2214xy. 5 分（ 2） 【方法一】设0(0)qy，当 l 斜率不存在时，00y. . 6 分当 l 斜率存在时，设直线l 的方程为(1)(0)yk xk，11()mxy，22()n xy，由22(1)14yk xxy，消去 y 并整理得2222(14)84(1)0kxk xk. 0恒成立，2122814kxxk，. . 8 分设线段 mn 的中点为33()g xy，则212324214xxkxk，332(1)14kyk xk. 所以线段 mn 的垂直平分线的方程为22214()1414

23、kkyxkkk. 令0 x，得02331144kykkk. . 10 分当0k时，144kk，当且仅当12k时，取等号，所以0304y；当0k时，144kk，当且仅当12k时，取等号，所以0304y；7综上，点 q 纵坐标的取值范围是3344，. . 12 分【方法二】设0(0)qy，根据题意直线l 斜率不为0，设直线 l 的方程为1xmy若0m，则00y. . 6 分当0m时，设11()m xy，22()nxy，由22114xmyxy，消去x并整理得22(4)230mymy. 0恒成立，12224myym. . 8 分设线段 mn 的中点为33()g xy，则123224yymym，3324

24、14xmym. 所以线段 mn 的垂直平分线的方程为224()44mym xmm. 令0 x，得023344mymmm. . 10 分当0m时，44mm，当且仅当2m时，取等号，所以0304y；当0m时，44mm，当且仅当2m时，取等号，所以0304y；综上，点 q 纵坐标的取值范围是3344，. . 12 分【方法三】设0(0)qy，当 l 斜率不存在时，00y. . 6 分当 l 斜率存在时， 设 l 斜率为 k ，11()mxy，22()n xy， 线段 mn 的中点为33()g xy，由221122221414xyxy，得12121212()()()()04xxxxyyyy. 所以33

25、121212123324()424xxyyxxkxxyyyy， . 8 分线段 mn 的垂直平分线的方程为33334()yyyxxx，令0 x，得033yy . 8由333341xykyx，得222333311111()444216yxxx， . 10 分因为301x，所以231016y，则3104y或3104y，所以0304y或0304y. 综上，点 q 纵坐标的取值范围是3344，. . 12 分22 【解析】（ 1）3(2)2( )xaxexfxx，(2)12af， . 1 分所以2a； . 2 分（2）要证( )1f x，只需证21( )e102xh xxx，( )e1xh xx，(

26、)e1xhx，因为(0)x，所以( )0hx，所以( )e1xh xx在 (0)，上单调递增，所以( )e1(0)0 xh xxh. 5 分所以21( )e12xh xxx在 (0)，上单调递增，所以21( )e1(0)02xh xxxh成立，所以当0 x时，( )1f x成立 . 6 分（ 3） 【方法一】由（ 2）知当0 x时，( )1f x，因为1()nxnef x，所以1ln()nnxf x，设()ln()nng xfx，则1()nnxg x，所以121()() )() )0nnnxg xg g xgg x； . 8 分要证： 2e11nxn，只需证：1| e1|()2nxn，因为113x，所以113| e1|e1x，9