2019年高考数学一轮总复习专题28复数检测文

1、专题28复数的概念及运算本专题特别注意：1.复数四则运算2.复数加减的几何意义3.复数与数列的综合4.复数与二项式定理的综合问题5.复数的模和共轭复数问题【学习目标】1理解复数的有关概念，掌握复数相等的充要条件，并会应用.2了解复数的代数形式的表示方法，能进行复数的代数形式的四则运算.3了解复数代数形式的几何意义及复数的加、减法的几何意义，会简单应用.【方法总结】1.设z=a+bi( a,bR)，利用复数相等的充要条件转化为实数问题是求解复数常用的方法.2.实数的共轭复数是它本身，两个纯虚数的积是实数3.复数问题几何化，利用复数、复数的模、复数运算的几何意义，转化条件和结论，有效利用数和形的结

2、 合，取得事半功倍的效果.【高考模拟】：一、单选题33-+ -IA.B【答案】C【解析】【分析】化简原式，利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，求得复数【详解】-2 + i (2 + i)(l +0 14-3i 1 3z - =-=-= + -i1-i4-T)22 2【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、1313.33+ -1F 1 -i2C . ,2D 22，故选C.1已知|，其中 是虚数单位,是复数的共轭复数，则复数(，从而可得结果共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法

3、，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分2.已知 是虚数单位，则复数I- ；在复平面上所对应的点的坐标为()A.1B.: C. ：D.【答案】D【解析】【分析】将复数的分子分母同乘以讦利用多项式的乘法分子展开，求出对应的点的坐标.【详解】由于尸:襲；霊:忙则复数壬在复平面上的对应点(0, 1).故选：D.【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数.S + 3i3. (2017太原市一模)已知是虚数单位，则复数.的共轭复数是()A.B.C .1D. - - 【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法计算后取所得结

4、果的共轭即可【详解】5 +空(S + 3i)(4 + )17(1 + 1) = = =1 + 11717，故所求共轭复数为1,故选A.【点睛】本题考察复数的概念及其运算，是基础题2 + iZ 和；4.已知为虚数单位，复数-、，则下列命题为真命题的是()A.的共轭复数为B.的虚部为-1C.在复平面内对应的点在第一象限D【答案】D【解析】【分析】先化简复数 乙再判断每一个选项的真假【详解】因为E的共辄真数为弋所以选项A是错误的直由于复数莖的虛部为b所以选项B是错误的*由于复数z对应的点在y轴正半辄 不在第一象限，所以选项c是错误的;由于忆Kb所臥选项D杲正礁的一故答案为*D.【点睛】(1)本题主要

5、考查复数的计算，考查复数的几何意义、实部虚部和模的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)复数的实部是a,虚部为b,不是bi.5欧拉公式 八一齿站；也心(为虚数本位)是瑞士数学家欧拉发明的，将指数的定义域扩大到复数集，JI.E建立了三角函数和指数函数的联系，被誉为“数学中的天桥”根据欧拉公式可知，表示的复数的模为()7T 1占A.B.C.1 D.【答案】C【解析】【分析】R.JT1T寸=一直接由题意可得=cos +is in，再由复数模的计算公式得答案.【详解】匚7T7T3由题意，=cos +is in,7Ti1少TTjJT由题得芒T圖鵲二sis寸cos -+ sin -= 1表示的复数

6、的模为.故选：c.【点睛】本题以欧拉公式为背景，考查利用新定义解决问题的能力，考查了复数模的求法，属于基础题.6.若在复平面内，点：所对应的复数为，则复数 的虚部为()A.12 B.5 C.D .- 【答案】D【解析】【分析】先求复数乙再求复数，再求它的虚部【详解】由题得?1 : - -所以它的虚部为-12.故答案为：D.【点睛】(1)本题主要考查复数的运算和复数的虚部概念，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)工咲mn的实部是a,虚部为b，不是bi.7.读了高中才知道，数绝对不止1,2,3啊，比如还有这种奇葩数，他的平方居然是负数！那么复数复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第

7、三象限D.第四象限【答案】A【解析】【分析】运用复数除法法则运算得到结果【详解】2-t (2-0(1 + 0 _ 2 + 21 - i + 1 _ 31.由题意得:一-厂丄二“匚己i)在复平面内对应的点为-在第一象限，故选.复数2-i1在【点睛】本题考查了复数的几何意义，根据复数除法法则进行运算化成-的形式即可得到答案1 - / . =z + 3/ 18已知是虚数单位，复数 是的共轭复数，复数，则下面说法正确的是（）A. 在复平面内对应的点落在第四象限B -z, z ,-I-1 - 2C.的虚部为1 D.- -【答案】C【解析】【分析】1 - / .z - + 3/ 1利用复数的运算法则可得复

8、数=2i-2,再根据复数的几何意义、虚部的定义、模的运算性质即可得出.【详解】复数z = + 3i I口 口+ji - 1=一i一1+31一l=2i一2t c*c则z在复平面內对应的点（-2, 2）落在第二象限,因此只有C正确.故选：C.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的几何意义、虚部的定义、模的运算性质，考查了推理能力与计算能力, 属于基础题.|2+J|+2i9.设复数满足,则 （）A.3 B .-1C.9 D.10【答案】A【解析】【分析】 利用复数的运算法则、共轭复数的性质、模的计算公式即可得出.【详解】_|2+2+2i - i（y/S + 20满足=2_ i,z=_2-21,=-

9、 1+1苴虚部为则izi= y w=3.故选：A.【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的性质、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.fV10.复数I等于（）A.:B.；C.D .【答案】C【解析】【分析】化简分式，分子、分母分别平方，再按照复数的除法运算法则化简可得结果【详解】1-,故选：C【点睛】本题主要考查了复数代数形式的运算，是基础题. ?_ 201611.设 为复数 - 的共轭复数，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先求出，从而求出的值即可【详解】z = -+i共轭复数故选：A.【点睛】本题考查复数的运算性质以及共轭复数，是一道基础题12.为虚数单位，

10、贝则 + 宀- （）A. - 2D1甘十B . 100EJ- 1009）C. -1D10十100F D.1010 - 10091【答案】C【解析】分析：由复数的基本运算性质，可得- :：，其中 为自然数，则1+一卜W+ 门厂+ 山:煮1_+.：_+ ?：+： +：；）,即可求解答案详解：由复数的基本运算性质，可得- :：，其中 为自然数，设、_：一 -l J十一打两边同乘 可得：:丄+ + 二：(l-q)S =l +i2+ + *-+ 評闵201护=门_号-2 018irJ1 i“1十+ 20181二-1 + 201911 i点睛：本题主要考查了虚数的运算性质的应用，其中熟记虚数的运算性质，利

11、用乘公比错误相减法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力13.欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，他将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】分析：由欧拉公式-,可得，一“门“八，结合三角函数值的符号，即可得出结 详解：由欧拉公式 广两式相减可得S =-=、-八=-1010 + 1009/所以:，故选C.一y ;汀曲，可得-;八门+因为: .V-；?：-：-

12、 :：!所以表示的复数在复平面中位于第二象限，故选B.点睛：该题考查的是有关复数对应的点在第几象限的问题，在解题的过程中，首先应用欧拉公式将复数表示出来，之后借助于三角函数值的符号求得结果14.下列3个命题：1若冷E匚，右玄+ =，则灯=旬= ；2若是纯虚数，则；3若勺*叫匚，且灯-孔则陆其中真命题的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】分析：通过举反例可判断错误，由复数的乘法法则判断正确，由复数的概念可判断错误详解：令，,满足打二故错误.是纯虚数，即11，则厂：，故正确只有当时，才可以比较大小，故错误综上,真命题有1个故选B.点睛：本题以命题的真假判断为载体考查了复数的基

13、本概念和性质，特殊值排除法常可用于此类问题的求解15对于任意的两个数对:，和 ,定义运算，若-J - I ,则复数为( )A.B.C.D.【答案】D【解析】分析：禾U用定义m-*一山阮,列出方程一I 表示出，分子、分母同时乘以得到的值.详解：因为又1= -L :;所以：-1 fi-02.Z=- =-= - I所以:故选：D.点睛：本题是新定义的问题，解题的关键是理解新定义，将问题转化为熟悉的问题来解决.16.已知复数满足I - -I- -;i一“，则 等于（）A.B .- C .- D.【答案】C【解析】分析：由题可知,表示平行四边形的相邻两边，|表示平行四边形的一条对角线，求另一条一条对角线

14、的长详解：由题可知,表示平行四边形一：的相邻两边 ,表示平行四边形的一条对角线：则由题意为等边三角形，故 八川jyj：，则在三角形中，由余弦定理可得1靭十工=JMR2-BC2- 2AB - BC cos 120，将|吐| = |乜| =咯-玄=】代入可得咯十剧=占.故选C .点睛：本题考查复数加减法的几何意义，余弦定理等，属中档题let b I _盘dI. 217.定义运算cd _a-，若复数r满足-1犷一，则门（）A. I B .:C .D .1【答案】Di | _ 2_【解析】分析：先根据定义运算化简-lz _求出复数乙再求鼻2 - 2（1-1）-2 + 2,z =-二- -=-1 + I

15、详解：由题得iz+z=-2,所以（1+i）z=-2,所以 ,所以 ：，故答案为：D.点睛：（1）本题主要考查复数的运算和共轭复数，意在考查学生对这些知识的掌握水平.（2）复数的共轭复数-;18.欧拉公式 八一、；-（为虚数单位），是由著名数学家欧拉发明的，他将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”根据欧拉公式，若将表示的复数记为，则：的值为（）A.B -I C.D.【答案】A【解析】分析：由欧拉公式汀- ；可求得，再由复数代数形式的乘法运算化简得结论TT7TJTz = e - cos- + sin i详解：,：-二-

16、工-八i,故选A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分19.对于复数-，给出下列三个运算式子：（1）匚八+ ,（2）八1-1 1;, （3）其中正确的个数是（）A. B.C.D.【答案】D【解析】分析：根据复数的几何意义可得（1）正确；根据复数模的公式计算可得到（2）正确；根据复数乘法运算法则可判断（3）正确，从而可得结果.详解：根据复数的几何意义，由三角形两边之和大于第三边可得I匚

17、”十1八,（1）正确；设/；“.，一 -贝y y匸丨仏| |.- h.：- 江宀- -: V I（2）正确；根据复数乘法的运算法则可知1 m-fs（3）正确，即正确命题的个数是，故选D.点睛：本题主要考查复数模的公式、复数的几何意义、复数乘法的运算法则，意在考查基础知识掌握的熟练程度，以及综合运用所学知识解决问题的能力，属于难题20.为虚数单位，亠（）A - 201B 4-2017EB 1008- lOOHiC.-1010 4- 1009E1010 - 1009(【答案】C【解析】分析：由复数的基本运算得到即 +叶十宀_叶_ 凡_(一卜鮎 心;-匸，即可求解答案.详解：由复数的运算可知,+八+

18、甘一：一工+一则- .11. ./ . J:.: -:. ;. :;:-/.- I- 1.，- : - J宀所以 匕“+；+：2儿q.w一m厂+-:儿宀J).：. +.窪it：故选C.点睛：本题主要考查了虚数的运算性质的应用，其中熟记虚数的运算性质，得到式子的计算规律是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力卫=佃_ 121.(1)设集合：，.；+ I：-：爲:,，且:C，求实数 的取值范围(2)设,是两个复数，已知1，且是纯虚数，求.【答案】，:一【解析】【分析】(1)移项通分，直接利用分式不等式的解法化简集合，然后对、分三种情况讨论，分别利用包含关系列不等式求解即

19、可；(2)设,由，可得 ，由 是纯虚数，可得 *，联立求解即可的结果【详解】6尢510(1)由 得，,+ 1) 0.1 :,得1 ： 01当一；-a 卜即-时，山，满足2当；-即时，打_门：，满足(十2* + 3芒 +4产=d - 2 眾十4 = 2 - 2i(2)3当2口一1口十1即口:2时，曰工0ra +1 - 12a 1 2,解得2 W 2综上所述，实数的取值范围是(2)解：设引二口+加，.|叼|二加，.+b2=2 .亠打-丄，即_：，又一心；：,且口 ：:是纯虚数，严-b = D.，由得，一止二勺=2 + 2i或叼二“2 - 2f【点睛】本题主要考查集合的子集，以及复数的基本运算与基本

20、概念，属于中档题复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复 数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简， 防止简单问题出错，造成不必要的失分1 1 1z1= S + 10t,乞=3-41, - 1,求監22.已知|5-I【答案】【解析】【分析】把Z1、Z2代入关系式，化简即可【详解】111ZI+22ZI22 (5+100(3-4055 + 101(55+ 100(8-60n5,z_z1右一衍在，+一孔工矶_(5 + 10订工(3祐一8 + 6/ -臣+严_2?【点睛】复数