2019年高考数学一轮复习专题突破练4立体几何中的高考热点问题理北师大版

1、专题突破练(四)立体几何中的高考热点问题(对应学生用书第 293 页)1 如图 7 所示，已知直三棱柱ABGABG中，ABC为等腰直角三角形，/BAG=90，且AB= AA,D, E, F分别为BA CC, BC的中点.求证:图 7(1)DE/平面ABC(2)BF丄平面AEFDE=( 2,4,0) ,NC=( 2,4,0)又NCM平面ABC故DE/平面ABCT(2)B F= ( 2,2 , 4) ,EF= (2 , 2, 2) ,AF= (2,2,0).BF EF=(2)X2+2X(2)+(4)X(2)=0,EFAF=(2)X2+2X2+(4)X0=0.酢丄EF, EFXXF,即B F丄EF,

2、B F丄AF.又AFPFE=F,BF丄平面AEF2. (2018 贵州适应性考性)如图 8(1),在等腰直角三角形ABC中，/B=90,将厶ABC沿中位线DE平面ABC, DE= NC二DE/ NC则A(0,0,0)取AB中点为则N(2,0,0)证明(1 )如图，建立空间直角坐标系Axyz,令AB= AA= 4 ,2DE翻折得到如图 8(2)所示的空间图形，使二面角A DEC的大小为fn、0 i0V 02 .3(1) 求证：平面ABDL平面ABCn(2) 若0=云，求直线AE与平面ABC夹角的正弦值.解 证明：在图 等腰直角三角形ABC中,AB!BC而DE为该三角形的中位线，DE/ BC DE

3、L AB由翻折可知DEL AD DEL DB又AE DB= D,DE!平面ADBBCL平面ADB又BC平面ABC二平面ABDL平面ABC(2)由(1)可知，/ADB为二面角ADEC的平面角，即/ADB=0=3.3又AD= DBADE为等边三角形.如图，设0为DB的中点，连接OA过0作OF/ BC交BC于点F, 则AOL BD OFLBD又AOL BC BE BC=B,AACL平面BCED H .zi以0为坐标原点,OB OF OA分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设BD=2，则A(0,0 ,3) ,B(1,0,0) ,C(1,4,0) ,E( 1,2,0),辰(1,0, .3

4、), AC=(1,4, -3), AE= (1,2, 3).设n= (x,y,z)为平面ABC的法向量，4令z= 1,则x=3,y= 0，则n= (3, 0,1),设AE与平面ABQ的夹角为a ,mtt.I AE- n|乐贝 U sina =亠A4IAEIn|3. (2018 北京海淀区期末练习)如图 9,在三棱锥P-ABC中，侧棱PA=2,底面三角形ABC为正三角形，边长为 2,顶点P在平面ABC上的射影为D ADL DB DB=1.(1) 求证：AC/平面PDB(2) 求二面角R AB C的余弦值；CE(3) 线段PC上是否存在点E使得PCL平面ABE如果存在，求胡勺值；如果不存在, 请说

5、明理由.解(1)证明：因为ADLDB且DB=1,AB=2, 所以AD=3，所以/DB= 60.因为ABC为正三角形，所以/CAB=60,所以DB/ AC因为AC平面PDB DB平面PDB所以AC/平面PDB(2)由点P在平面ABC上的射影为D可得PDL平面ACBD所以PDL DA PDLDBnAB=0,则有nx=0,x+4yQ3z= 0,图 95如图，建立空间直角坐标系，则由已知可知B(1,0,0) ,A(0 , .3 , 0) ,P(0,0,1),C(2 , . 3 , 0).6所以眈(1,3, 0) ,BF ( 1,0,1)平面ABC勺一个法向量n= (0,0,1),设m= (x,y,z)

6、为平面PAB勺法向量，令y= 1,则X=3,z=3,所以平面PAB的一个法向量m= (3, 1,3),所以 cosm,n=所以二面角RABC的余弦值为一7(3)由可得AB=(1 , .3, 0) ,PC=(2 ,3, 1),因为PC- AB= 1 工 0,所以PC与AB不垂直，所以在线段PC上不存在点E使得PCL平面ABE4.(2017 全国卷川)如图 10,四面体ABCDKAABC是正三角形，ACD是直角三角形,求二面角DAEC的余弦值.又厶ACD是直角三角形,所以/ADC=90.BA- m 0,则由可得厂X+3y= 0,BP-m= 0I x+z= 0,由图可知二面角F-AB C的平面角为钝

7、角,/ABD=ZCBD AB= BD(1)证明：平面ACDL平面ABC若平面AEC把四面体ABC酚成体积相等的两部分,(1)证明：由题设可得ABDACBD从而AD=CD过AC的平面交BD于点E,7取AC的中点Q连接DO BQ8贝 VDOLAC DO= AO又因为ABC是正三角形，故BCLAC所以/DO助二面角DAGB的平面角.在 RtAOB中BO+AO=AB,又AB= BD所以BO+DOBO+AO=AB=BD,故/DOB= 90.所以平面AGDL平面ABC(2)由题设及(1)知，OA OB OD两两垂直，以O为坐标原点，6；啲方向为x轴正方向，16A为单位长度， 建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,则A(1,0,0) ,BO,3, 0) ,G( 1,0,0) ,D(0,0,1).1由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD勺体积的？，从而E到平面ABC的距离为1D到平面ABC勺距离的 2,即E为DB的中点，得E0, # 2，；-；-；3 1故AD=( 1,0,1) ,AC= ( 2,0,0) ,AE= 1,于,设n= (x,y,z)是平面DAE的法向量，nAD= 0, X+Z= 0，贝 V即3