江西省赣州一中2019-2020学年度高二下学期月考数学(理科)试题(解析版)

1、赣州一中 2019-2020 学年度下学期高二年级数学（理科）3 月月考试题一、单选题1.设i为虚数单位，复数z满足(1)2zii，则 |(z)a. 1b. 2c. 2d. 2 2【答案】 b 【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算，再由复数的模的计算公式求解即可【详解】 由(1)2zii，得22 (1)2211(1)(1)2iiiiziiii，|2z，故选b【点睛】 本题主要考查复数代数形式的乘除运算以及复数的模的计算2.函数( )lnf xxx的单调减区间是（）a. (,0)b. 1(,)ec. 1(,)ed. 1(0,)e【答案】 d 【解析】【分析】求出ln1fxx，令0fx，解不

2、等式即可【详解】函数fx的定义域为0,，ln1fxx，由0fx得ln10 x，得ln1x，得10ex，即函数lnfxx x的单调递减区间为10,e故选 d【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调区间知识，属于基础题3.已知函数322fxxaxbxa在1x处取极值10，则a（）a. 4 或3b. 4 或11c. 4 d. 3【答案】 c 【解析】分析 ：根据函数的极值点和极值得到关于,a b的方程组，解方程组并进行验证可得所求详解 ：322( )f xxaxbxa，2( )32fxxaxb由题意得2(1)320(1)110fabfaba，即2239ababa，解得33ab或411ab当33ab

3、时，22( )3633(1)0fxxxx， 故函数( )fx 单调递增，无极值不符合题意 4a故选 c点睛 ： （1）导函数的零点并不一定就是函数的极值点，所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点（ 2（ 对于可导函数f(x) （ f(x0) （0 是函数 f(x)在 x（ x0处有极值的必要不充分条件，因此在根据函数的极值点或极值求得参数的值后需要进行验证，舍掉不符合题意的值（4.函数2eexxfxx图像大致为()a. b. 的c. d. 【答案】 b 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像. 详解：20,()( )( )xxeexfxf xf xx

4、q为奇函数，舍去a, 1(1)0feeq舍去 d; 243()()2(2)(2)( )2,( )0 xxxxxxeexeexxexefxxfxxxq，所以舍去c；因此选b. 点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；由函数的单调性，判断图象的变化趋势；由函数的奇偶性，判断图象的对称性；由函数的周期性，判断图象的循环往复5.利用反证法证明：若0 xy，则0 xy，假设为 ( ) a. , x y都不为 0b. , x y不都为 0c. , x y都不为 0，且xyd. , x y至少有一个为0【答案】 b 【解析】【

5、分析】根据反证法，假设要否定结论，根据且的否定为或，判断结果. 【详解】0 xy的否定为00 xy或，即x，y不都为 0，选 b. 【点睛】本题考查反证法以及命题的否定，考查基本应用能力.属基本题 . 6.曲线 y=2sinx+cosx在点 (， 1)处的切线方程为a. 10 xyb. 2210 xyc. 2210 xyd. 10 xy【答案】 c 【解析】【分析】先判定点( , 1)是否为切点，再利用导数的几何意义求解.【 详 解 】 当x时 ，2sincos1y，即 点( , 1)在 曲 线2sincosyxx上2cossin ,yxxq2cossin2,xy则2sincosyxx在点(

6、, 1)处的切线方程为( 1)2()yx，即2210 xy故选 c【点睛】本题考查利用导数工具研究曲线切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养采取导数法，利用函数与方程思想解题学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程7.已知某种商品的广告费支出x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：x24568y3040506070根据上表可得回归方程ybxa$（计算得7b$（则当投入 10 万元广告费时，销售额的预报值为a. 75 万元b. 85 万元c. 99 万元d. 105 万

7、元【答案】 b 【解析】分析：根据表中数据求得样本中心( ,)x y，代入回归方程?7?yxa后求得? a，然后再求当10 x的函数值即可 详解：由题意得11(24568)5,(3040506070)5055xy，样本中心为(5,50)的回归直线?7?yxa过样本中心(5,50)，?5075a，解得?15a，回归直线方程为?715yx当10 x时，7 10158?5y，故当投入10 万元广告费时，销售额的预报值为85 万元故选 b点睛：本题考查回归直线过样本中心这一结论和平均数的计算，考查学生的运算能力，属容易题8.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则

8、抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）a. 110b. 35c. 310d. 25【答案】 d 【解析】【详解】从分别写有1，2，3，4，5 的 5 张卡片中随机抽取1 张，放回后再随机抽取1 张，基本事件总数n=55=25，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（2，1） ， （3，1） ， （3，2） ， （4，1） ， （4，2） ， （4，3） ， （5，1） ， （5，2） ， （5，3） ， （ 5，4） ，共有 m=10个基本事件， 抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p=102.255故答案为d9.用数学归纳法证明4221232

9、nnnl，则当1nk时，左端应在nk的基础上加上（）a. 21kb. 21kc. 222121kkkld. 42112kk【答案】 c 【解析】【分析】首先分析题目求用数学归纳法证明1+2+3+n2=422nn时，当 n=k+ 1 时左端应在n=k 的基础上加上的式子，可以分别使得n=k，和 n=k+ 1 代入等式，然后把n=k+ 1 时等式的左端减去n=k 时等式的左端，即可得到答案【详解】当n=k 时，等式左端=1+2+k2，当 n=k+ 1 时，等式左端 =1+2+k2+k2+1+k2+2+ + （k+1 ）2，增加了项 （k2+1 ）+（k2+2 ）+（k2+3 ）+ +（k+1 ）2

10、故选 c【点睛】本题主要考查数学归纳法，属于中档题 . / 10. 如图，若在矩形oabc中随机撒一粒豆子，则豆子落在图中阴影部分的概率为（）a. 21b. 2c. 22d. 221【答案】 a 【解析】【分析】分别求出矩形和阴影部分的面积，即可求出豆子落在图中阴影部分的概率. 【详解】1s矩形，又00sincos |coscos02dxx，2s阴影，豆子落在图中阴影部分的概率为221. 故选 a. 【点睛】本题考查几何概率的求解，属于基础题，难度不大，正确求面积是关键. 11. 设函数( )fx是奇函数( )f x（xr）的导函数，( 1)0f，当0 x时，( )( )0 xfxf x，则使

11、得( )0f x成立的x的取值范围是（ （a. (, 1)(0,1)ub. ( 1,0)(1,)-?c. (, 1)( 1,0)ud. (0,1)(1,)【答案】 a 【解析】【详解】构造新函数fxg xx,2 xfxfxgxx，当0 x时0gx. 所以在0,上fxg xx单减，又10f，即10g. 所以0fxg xx可得01x, 此时0fx，又fx为奇函数，所以0fx在,00,上的解集为：, 10,1. 故选 a. 点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如xfxfx，想到构造fxg xx.一般：（1）条件含有fxfx，就构造xg xe fx,（2）若fxfx，就构造xf

12、xg xe，（3）2fxfx， 就构造2xg xefx，（4）2 fxfx就构造2xfxg xe，等便于给出导数时联想构造函数. 12.设函数(21)xfxexaxa，其中1a，若存在唯一的整数0 x，使得0()0f x，则a的取值范围是（）a. 3,12eb. 33,2e 4c. 33,2e 4d. 3,12e【答案】 d 【解析】【分析】设21xg xex，1ya x，问题转化为存在唯一的整数0 x使得满足01g xa x，求导可得出函数yg x的极值，数形结合可得01ag且312gae，由此可得出实数a的取值范围 . 【详解】设21xg xex，1ya x，由题意知，函数yg x在直线y

13、axa下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，21xgxex，当21x时，0gx；当12x时，0gx. 所以，函数yg x的最小值为12122ge. 又01g，10ge. 直线yaxa恒过定点1,0且斜率为a，故01ag且31gaae，解得312ae，故选 d.【点睛】本题考查导数与极值，涉及数形结合思想转化，属于中等题. 二、填空题13. 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过城市；乙说：我没去过城市 . 丙说：我们三个去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为_ 【答案】 a 【解析】试题分析：由乙说：我没去过c 城市，则乙可能去过a 城市或 b 城市，

14、但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过b 城市，则乙只能是去过a，b 中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为a 考点：进行简单的合情推理14.42324216x dxx dx_ 【答案】8【解析】【分析】分别求得42416x dx和232x dx的值，相加求得表达式的结果. 【详解】 由于216yx表示圆心在原点， 半径为4的圆的上半部分， 故42416x dx21 482.232x dx422|04x.故原式8. 【点睛】本小题主要考查利用几何意义计算定积分的值，考查定积分的计算，属于基础题. 15. 已知,2,2mx yxy，点 p的坐标为, x y，则当pm

15、时，且满足22224xy的概率为 _ （【答案】116【解析】【分析】集合m表示的区域为正方形，p的坐标在圆22224xy的外部 .先求得圆在m内的面积，再用总面积减去这个面积，进而求得相应的概率. 【详解】因为,2,2mx yxy，所以 m 表示区域为正方形，面积为4416（因为实心圆22224xy在 m 中区域为四分之一圆，所以面积为2124（因此概率为116【点睛】本小题主要考查几何概型的知识，考查圆的方程以及圆内、圆外的表示方法.属于基础题 . 16. 已知直线ykxb是曲线exy的一条切线，则kb的取值范围是_ . 【答案】,e【解析】【分析】根据题意，求出曲线的切线方程，再根据对应

16、关系表示出k和b值，表示出00e2xkbx，再采用构造函数求导的方法可求得kb的范围【详解】设exfx，切点00,exx，exfx，所以0exk，0000ee1xxbkxx，所以00000ee1e2xxxkbxx令e2xg xx，e2ee 1xxxgxxx，当,1x时，0gx，g x单调递增；当1,x时，0gx，g x单调递减又1eg，所以kb的取值范围是,e. 【点睛】本题主要考查导数切线方程的求法，利用导数来求函数的值域的问题，需熟记曲线切线方程为000yyfxxx三、解答题17. 如图，已知多面体abc-a1b1c1， a1a， b1b， c1c均垂直于平面abc ， abc=120 ，

17、 a1a=4 ， c1c=1， ab=bc=b1b=2 （）证明： ab1平面 a1b1c1；（）求直线ac1与平面 abb1所成的角的正弦值【答案】（）证明见解析； （）3913. 【解析】【分析】分析 :方法一： （）通过计算， 根据勾股定理得111111,aba babb c,再根据线面垂直的判定定理得结论；（）找出直线ac1与平面 abb1所成的角，再在直角三角形中求解.方法二：（）根据条件建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，根据向量之积为0 得出111111,aba babac,再根据线面垂直的判定定理得结论；（）根据方程组解出平面1abb的一个法向量，然后利用1acuu uu v与

18、平面1abb法向量的夹角的余弦公式及线面角与向量夹角的互余关系求解.【详解】详解：方法一：（）由11112,4,2,abaabbaaab bbab得1112 2abab（所以2221111a babaa.故111aba b.由2bc（112,1,bbcc11,bbbc ccbc得115bc（由2,120abbcabc得2 3ac（由1ccac，得113ac，所以2221111abb cac，故111abb c.因此1ab平面111a b c.（）如图，过点1c作111c da b，交直线11a b于点d，连结ad.由1ab平面111a bc得平面111a b c平面1abb（由111c da

19、b得1c d平面1abb（所以1c ad是1ac与平面1abb所成的角 .由1111115,2 2,21bcabac得11111161cos,sin77c abc ab（所以13c d，故11139sin13c dc adac.因此，直线1ac与平面1abb所成的角的正弦值是3913.方法二：（）如图，以ac 的中点 o 为原点，分别以射线ob（oc 为 x（ y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系o-xyz.由题意知各点坐标如下：1110,3,0 ,1,0,0 ,0,3,4 ,1,0,2 ,0,3,1 ,ababc因此111111, 3,2 ,1, 3,2 ,0,23,3 ,aba bacuuu

20、vuuuu vuuu u v由1110ab a buuu v uu uu v得111aba b.由1110ab acuuu v uu uu v得111abac.所以1ab平面111a b c.（）设直线1ac与平面1abb所成的角为.由（）可知110,23,1 ,1,3,0 ,0,0,2 ,acabbbuu uu vuuu vu uu v设平面1abb的法向量, ,nx y z.由10,0,n abn bbuuu vvuuu vv即30,20,xyz可取3,1,0nv.所以11139sin|cos,|13acnac nacnuu u u vvuu uu vvuuuu vv.因此，直线1ac与平

21、面1abb所成的角的正弦值是3913.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“ 四破 ” ：第一，破 “ 建系关 ” ，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破 “ 求坐标关 ” ，准确求解相关点的坐标；第三，破“ 求法向量关 ” ，求出平面的法向量；第四，破“ 应用公式关 ”.18. 已知数列na的前n项和为ns，*nn，11(21)44nnsna.（1）求123,a aa；（2）猜想数列na的通项公式，并用数学归纳法给予证明. 【答案】（ 1）11a，23a，35a； （2）21nan.【解析】【分析】（1）由题设所给条件，分别令1,2,3n可得123,a aa（2）猜想数列的通项公式为21n

22、an，采用数学归纳法证明即可【详解】（ 1）分别取1,2,3n得1113144saa，21225144saaa，312337144saaaa，解得11a，23a，35a.（2）猜想21nan1n时，由（ 1）知，1121 1a，猜想成立，假设nk kn时，21kak则1111111(23)(21)4444kkkkkasskaka111(23)(21)44kkkaka所以111(21)(21)44kkkaka因为21kak，所以1212(1)1kakk所以，1nk时21nan成立，综上所述，任意nn，21nan【点睛】本题难度不大，考差数列递推关系的应用，数学归纳法用来证明数列的一般方法，注意在

23、证明1nk时需用上假设，化为nk的基本形式19. 已知函数2lnfxxaxx，ar. （1）若1a，求曲线yfx在点1,1f处的切线方程；（2）若函数fx在1,3上是减函数，求实数a的取值范围 . 【答案】 (1) 20 xy. (2) 17,3. 【解析】分析： （1）由12f和12f可由点斜式得切线方程；（2）由函数在1,3上是减函数，可得212120 xaxfxxaxx在1,3上恒成立，221h xxax，由二次函数的性质可得解. 详解： （1）当1a时，2lnfxxxx所以121fxxx，12,12ff又.所以曲线yfx在点1,1f处的切线方程为20 xy.（2）因为函数在1,3上是减

24、函数，所以212120 xaxfxxaxx在1,3上恒成立 . 做法一：令221h xxax,有1030hh，得1173aa故173a.实数a的取值范围为17,3做法二：即2210 xax在1,3上恒成立，则12axx在1,3上恒成立，令12h xxx，显然h x在1,3上单调递减，则min3ah xh，得173a实数a的取值范围为17,3点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若( )0f x就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为min( )0f x，若( )0f x恒成立max( )0f x；（3）若( )(

25、)f xg x恒成立，可转化为minmax( )( )fxg x（需在同一处取得最值）.20. 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg（, 其频率分布直方图如下：（1）记 a 表示事件 “ 旧养殖法的箱产量低于50kg ” ，估计 a 的概率；（2 ）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量 50kg箱产量 50kg旧养殖法新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行较附：p(k2 k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828

26、22()()()()()n adbckab cd ac bd【答案】 （1（0.62（2（有 99%的把握（3（ 新养殖法优于旧养殖法【解析】【详解】试题分析：(1)由频率近似概率值，计算可得旧养殖法的箱产量低于50kg 的频率为0.62.据此，事件a 的概率估计值为0.62.(2)由题意完成列联表，计算k2的观测值k（220062 6634 38100 100 96 104 15.705 （ 6.635 （则有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关(3)箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法试题解析：(1)旧养殖法的箱产量低于50kg 的频率为(0.

27、012 （ 0.014 （ 0.024 （ 0.034 （ 0.040) 5（ 0.62.因此，事件a 的概率估计值为0.62.(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量 50kg箱产量 50 kg旧养殖法6238新养殖法3466k2的观测值 k（220062 663438100 100 96 104 15.705.由于 15.705（6.635 ，故有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关(3) 由频率分布直方图可得：旧养殖法100个网箱产量的平均数x1（27.50.012+32.50.014+37.50.024+42.50.034+47.50.040+52.5 0.032+57.50.

28、032+62.50.012+67.50.012） 559.4247.1；新养殖法100个网箱产量的平均数x2（37.50.004+42.50.020+47.50.044+52.50.054+57.50.046+62.5 0.010+67.50.008） 5510.4752.35；比较可得：x1x2，故新养殖法更加优于旧养殖法点睛： 利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点：最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数； 中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；平均数是频率分布直方图的“ 重心 ” ，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.独立性检验得

29、出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释21. 已知圆22:(1)36cxy与定点(1,0)m，动圆i过m点且与圆c相切 （1）求动圆圆心i的轨迹e的方程；（2）若过定点(0, 2)n的直线l交轨迹e于不同的两点a（b，求弦长|ab的最大值 （【答案】（ 1）22198xy（ 2（4 2【解析】【分析】（1）由题设可知，动圆i与定圆c相内切，结合椭圆的定义，即可求得动圆圆心i的轨迹方程；（2）弦长问题采用代入法，直线斜率不存在弦长为2ab，

30、直线斜率存在时，设ab、坐标，直线ab方程，联立椭圆与直线方程，通过2121abkxx和韦达定理表示出ab，最后运用换元法和函数的性质，确定最大值. 【详解】 （：（1）设圆i的半径为r，题意可知，点i满足：6icr（imr（所以，6icim（ 由椭圆定义知点i的轨迹为以,c a为焦点的椭圆，且3,1ac进而b2 2，故轨迹e方程为：22198xy（ （2）当直线l斜率不存在时，0, 2 2a（0, 22b或0,2 2a（0, 2 2b（此时弦长4 2ab（ 当直线l斜率存在时，设l的方程为：2ykx（由222198ykxxy消去y得：228936360kxkx（ 由2236144 890kk恒成立 （ 设11,a x y（22,b xy，可得：1223689kxxk（1223689x xk（ 22222122224 299943636114898989kkkabkxx