线性代数同济大学第七学习教案

1、会计学1第一页，共273页。2课程(kchng)简介 线性代数是理工类和经管类高等院校学生(xu sheng)必修的一门重要基础理论课程(kchng)，它的基本概念、理论和方法具有较强的逻辑性、抽象性和广泛的实用性。通过该课程的学习，使学生掌握该课程的基本理论和基本方法，且对学生的逻辑推理能力、抽象思维能力的培养以及数学素养的提高也具有重要的作用。这些理论、方法和能力为一些后续课程的学习及在各个学科领域中进行理论研究和实践工作提供了必要的保证，因此该课程历来受到各高等院校的高度重视。 根据成人的特点，在总结多年成人教育经验的基础下，对线性代数的教学内容作了认真精选，叙述间明扼要，由潜入深、通俗

2、易懂，力求体现学科的系统性、科学性和实用性的要求。在本课程中主要讲解行列式、矩阵和线性方程组这三个线性代数的基本内容。第1页/共272页第二页，共273页。3主要(zhyo)内容 第一章 行 列 式 第二章 矩 阵 第三章 线性方程组第2页/共272页第三页，共273页。4第一章行列式 行列式是学习(xux)线性代数的重要基础知识。初等数学中曾讲解二阶、三阶行列式的计算(j sun)，以及用这工具来解二元、三元线性方程组。式，为此(wi c)首先引入行列式的概念。 在本书研究多元线性方程组的解，以及研究矩阵性质时也要用到行列第3页/共272页第四页，共273页。5第一章 行列式 第一节 行列式

3、的概念(ginin) 第二节 行列式的性质(xngzh) 第三节 行列式按行（列）展开(zhn ki) 第四节 行列式的计算举例 第五节 克莱姆法则第4页/共272页第五页，共273页。6第一节 行列式的概念(ginin)一、行列式的概念(ginin) 为了(wi le)更好掌握行列式的定义，我们采用数学归纳法的方法讲解行列【定义 1.1】【例 1.1】 2121,11 要指出在本课程中如遇绝对值我们将会作出特别的说明。 式的定义。1111aa一阶行列式由一个数组成，记为 第5页/共272页第六页，共273页。7第一节 行列式的概念(ginin)1112111112122122aaa Aa A

4、aa表示，且规定： 其中，元素 称为行列式的第 行第 列的元素 ； iijajij ，1，2 称为元素 的代数余子式；而 是行列1ijijijAM ijaij ，1，2ijM 【定义(dngy) 1.2】二阶行列式是由 个元素排成2行2列，用11122122aaaa22素 的余子式。ijaij ，1，2式中划去第 行和第 列元素，后所剩下的元素组成的行列式，称为元ji第6页/共272页第七页，共273页。8第一节行列式的概念(ginin) 则二阶行列式 显然在定义中， ，而 ； 1 11111111AMM 112222Maa1 212121221211AMMaa 111211221221212

5、2aaa aa aaa这与中学里所学的对角交叉相乘之差所得(su d)结果一致。 第7页/共272页第八页，共273页。9第一节 行列式的概念(ginin) 【例 1.2】求二阶行列式 的值。 5632解111112125632a Aa A 1 11 2512613 101828或565 26332 第8页/共272页第九页，共273页。10第一节 行列式的概念(ginin) 【定义(dngy) 1.3】 三阶行列式是由 个元素排成的3行3列，用 23表示，且规定： 111213212223313233aaaDaaaaaa111112121313Da Aa Aa A其中(qzhng)： 1 1

6、1 122231111323311aaAMaa 1 21 221231212313311aaAMaa 1 31 321221313313211aaAMaa 第9页/共272页第十页，共273页。11第一节 行列式的概念(ginin) 称 为 的余子式，它是在三阶行列式中划去 所在的行及列后11M11a11a按原次序所成的二阶行列式，称 为 的代数余子式； 为 的代数 11A12a11a12A余子式。 一般地， 就是三阶行列式中划去 所在的第 行和第 列剩下ijMijaij的元素按原次序构成的二阶行列式，称为元素 的余子式。 ija称为元素 的代数余子式。 1ijijijAM ijaij ，1，

7、2，3第10页/共272页第十一页，共273页。12第一节 行列式的概念(ginin) 【例 1.3】解 由上面(shng min)定义，因为 计算三阶行列式 的值。 156207834D 1 1110712134A 1 2122714884A 1 313201683A 所以(suy) 111112121313Da Aa Aa A1 21 5 4866225 第11页/共272页第十二页，共273页。13第一节行列式的概念(ginin) 从上面三阶行列式的定义可以看到：我们(w men)在计算三阶行列式时，是用其第一行的元素(yun s)乘它的代数余子式之和，而代数余子式又是由二阶行列式构成的

8、。用这一思想，我们可以计算四阶、五阶等更高阶的矩阵。下面给出行列式的一般定义。【定义 1.4】 当 时， ，假设已定义了 阶1n 1111aa1n行列式， 阶行列式是由 个元素排成行和列组成，记为：n2n11121n21222nn1n2nnaaaaaaDaaa第12页/共272页第十三页，共273页。14第一节行列式的概念(ginin) 且规定其值为： 111112121n1nDa Aa Aa A 其中， 表示元素 的余子式，它是 中划1jM112jajnn， ， ，D1ja去 所在的第1行和第 列后剩下的元素按原来的次序构成的 阶j1n行列式。 称为 的代数余子式。 1111,2,ijjjA

9、Mjn 1ja第13页/共272页第十四页，共273页。15第一节 行列式的概念(ginin) 【例 1.4】解计算四阶行列式2131310712421015DD 1 1107212420151 2307111421151 3317311221051 4310111241018 33 573 85 从以上定义及例子可以看到， 阶行列式由 个元素构成，每n2n个行列式都表示一个数值，且它等于第一行的元素分别乘以它的代数余子代数余子式再求和。第14页/共272页第十五页，共273页。16第一节 行列式的概念(ginin) 我们也可以给出每个元素的余子式和代数余子式的一般(ybn)定义。 【定义(d

10、ngy) 1.5】 对于 阶行列式 ， n(1)n 11121n21222nn1n2nnaaaaaaDaaa列元素后，按原次序排列构成的 阶行列式。1n 称为元素 的余子式， 称为元素 的代数 ijMija1ijijijAM ija余子式 。其中， 是 中划去元素 所在的行和ijn，1，2， ,DijMija第15页/共272页第十六页，共273页。17第一节 行列式的概念(ginin) 【例 1.5】解求行列式 的元素 和 的代数余子式。156227834D 23a31a所以(suy) 因为 的余子式 237a23M15221 ( 2)2 5 12 的余子式 318a31M56275 7(

11、2)6 47 的代数余子式 237a23A 2 323( 1)M23M12 的余子式 318a31A 3 131( 1)M31M47第16页/共272页第十七页，共273页。18第二节行列式的性质(xngzh) 在上一节行列式定义(dngy) 中我们看到行列式的计算是由高阶向低阶逐阶递减过程(guchng)，因此行列式的阶数越高，计算越繁。下面的行列式性质可以简化行列式的计算。11121n21222nn1n2nnaaaaaaDaaa1111121211111nnnkkka Aa Aa Aa A第17页/共272页第十八页，共273页。19第二节 行列式的性质(xngzh) 【定义(dngy)

12、1.6】 交换(jiohun)行列式D的行与列所得的行列式，称为D的转置行列式，记为 或 。TDD 设111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa112111222212nnTnnnnaaaaaaDaaa则 【例 1.6】 若则143035762D107436252TD 第18页/共272页第十九页，共273页。20第二节 行列式的性质(xngzh) 性质(xngzh)1 143035762D107436252TD 转置行列式的值等于原行列式的值，即 。 TDD在例1.6中的二个行列式 的值相等，即,TDD 根据这一性质， 阶行列式的定义按第一行展开等于按第一列展开n即：11111

13、21211nnDa Aa Aa A1111212111nna Aa Aa A这一性质也说明行列式的对于(duy)每行具有的性质对每列也成立。第19页/共272页第二十页，共273页。21第二节 行列式的性质(xngzh) 性质(xngzh)2 交换行列式的任意(rny)两行（列）元素，行列式的值变号。 【例 1.7】交换以下行列式D的第一行和第三行，有 762035142D142035762素（仍为D），即得 ，移项得 ，于是 。 DD 20D 0D 为零。 特别地，当行列式中有两行（列）对应元素都相同时，行列式的值 因假设D中的第 行和第 行对应元素相同，交换第 行和第 行元ijij第20页

14、/共272页第二十一页，共273页。22 【例 1.8】 第二节 行列式的性质(xngzh) 以上性质1和性质2可以(ky)用数学归纳法证得，在这我们省略。 行列式142035142（因为(yn wi)第一行与第三行相同） 0第21页/共272页第二十二页，共273页。23第二节 行列式的性质(xngzh) 性质(xngzh)3 【例 1.9】行列式符号的外面。这一性质可以(ky)由行列式的定义和性质2得到。 这相当于行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一个数 ，行k142235762kkk142235762k列式的值扩大 倍。k第22页/共

15、272页第二十三页，共273页。24第二节行列式的性质(xngzh) 性质(xngzh)4 行列式中两行（列）对应(duyng)元素都成比例，行列式值为零。 与第 行相同，于是行列式的值为零。 j 设第 行为第 行的 倍，由性质3，将 行提出公因子 ，即得第 行jikjik 性质5 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如第 列i的元素都是两数之和： 1112111212222212()()()iiniinnnnininnaaaaaaaaaaDaaaaa第23页/共272页第二十四页，共273页。25第二节 行列式的性质(xngzh)利用(lyng)这一性质：则 等于下列两列行列式之和：

16、D1112111112112122222122221212ininininnnninnnnninnaaaaaaaaaaaaaaaaDaaaaaaaa1111121221212222abababab111212111212212222212222aabbabaabbab11121112111211122122212221222122aaabbabbaaabbabb第24页/共272页第二十五页，共273页。26第二节 行列式的性质(xngzh) 性质(xngzh)6 应元素(yun s)上去，行列式值不变。即 把行列式某行（列）各元素的 倍加到另一行（列）的对k 这一性质由性质3和性质4直接得到

17、。 11121121222212ininnnninnaaaaaaaaDaaaa1112111212222212ijnijnnnninjnnaaakaaaaakaaaaakaa 利用这些性质可以简化行列式的计算。 另外我们用 表示第 行， 表示第 列。 表示交换第 行与第iriicijrrjij行， 表示第 行乘 倍； 表示把第 行乘 倍加到第 行上去。 irkkjirkrikij第25页/共272页第二十六页，共273页。27 【例 1.10】 第二节行列式的性质(xngzh)解 利用行列式性质计算行列式 2341121221233117DD12rr1212234121233117212rr1

18、212076521233117312rr1212076505473117313rr1212076505470747下页继续(jx) 第26页/共272页第二十七页，共273页。28第二节行列式的性质(xngzh)然后(rnhu)按行列式定义，得： 熟练以后(yhu)，这几步也可以合并为： 1212234121233117213141223rrrrrr12120765054707477655477413D 31rr765547028 1257rr35302513528493502821rr3530251022435028 -2-241（-35）-2-83532（这里也可用 ）32cc4第27页/

19、共272页第二十八页，共273页。29第三节 行列式按行（列）展开(zhn ki) 根据行列式定义(dngy)，行列式的值等于第一行或第一列的元素乘以它的代数余子式之和。在本节中我们将这一结果(ji gu)加以推广。 【定理1.1】 若 阶行列式 中除 外，第 行（或 列）的其余nDijaij元素都为零，那么 可按第 行（或 列）展开为 。 ijijDa ADij 证明 设第 行除 ，其余元素都为零。 i0ija 第28页/共272页第二十九页，共273页。30第三节 行列式按行（列）展开(zhn ki) 现将第 行和第 行对换，再与第 行对换，经过 次1i2ii1i对换，含 的原第 行就换到

20、第一行，行列式的值应乘 ，类似经 ija11i（）i过 次列对换，可将含 的列变到第一列，即 1j ija1111111111221212121110000( 1)( 1)ijjjjnijjjjnnjnnjnjnnaaaaaaaaaaaDaaaaa ( 1)ijijijijija Ma A 因为新行列式中划去第1行划去第1列所成的余子式就是 中的DijM（划去原第 行和原第 列）。ji第29页/共272页第三十页，共273页。31第三节 行列式按行（列）展开(zhn ki) 【定理(dngl)1.2】（拉普拉斯展开） 的各元素(yun s)与其对应的代数余子式乘积之和，即 阶行列式等于它的任意

21、一行（列）n11221(1,2,)niiiiininikikkDa Aa Aa Aa Ain11221(1,2,)njjjjnjnjkjkjkDa Aa Aa Aa Ajn 或第30页/共272页第三十一页，共273页。32 证明(zhngmng) n阶行列式等于(dngy)它的任意一行（列）第三节行列式按行（列）展开(zhn ki)1112112120000000niiinnnnnaaaDaaaaaa11121111211112112121212000000nnniiinnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa1122(1,2, )iiiiinina Aa Aa A

22、in第31页/共272页第三十二页，共273页。33第三节 行列式按行（列）展开(zhn ki) 【定理(dngl)1.3】应元素(yun s)的代数余子式乘积之和等于零，即行列式 的任意一行（列）各元素与另一行（列）的对D 或11220iiiiinina Aa Aa A11220(, ,1,2, )ijijninja Aa Aa Aij i jn11220()ijijinjna Aa Aa Aij 证明将 的第 行元素 换成 所成的新j12,jjjnaaa12,iiinaaaD行列式的第 行与第 行相同；于是新的行列式值为零，另一方面，新行ij列式可按第 行展开，得：j第32页/共272页第

23、三十三页，共273页。34第三节 行列式按行（列）展开(zhn ki) 综合(zngh)定理1.2和定理1.3，得： 也就是行列式 的任意一行（列）各元素与这一行（列）的对应元D1,()( ,1,2,)0,()nikjkkD ija Ai jnij1,()( ,1,2,)0,()nkikjkD ija Ai jnij素的代数余子式乘积之和等于行列式的值；行列式 的任意一行（列）D各元素与另一行(yxng)（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。 利用行列式性质将某行（列）的元素尽可能化为零，然后展开，可简化行列式的计算。 或第33页/共272页第三十四页，共273页。35第三节 行列式按行

24、（列）展开(zhn ki) 【例 1.11】 解1从第三列着手(zhushu)，再变出一个零元素。计算行列式 1204101231101205D 首先寻找含零个数最多的行或列。本题第3列含两个(lin )零，于是D32rr12041012311012052 31241 ( 1)412125D 31rr1244120093 312( 9)( 1)41 81 （按第3列展开得） （再按第3列展开得） 下页继续 第34页/共272页第三十五页，共273页。36第三节行列式按行（列）展开(zhn ki) 解2是用第4行减第1行也可同时(tngsh)出现3个零，然后按第4行展开，既得： 本题也可以这样解

25、：第4行与第1行有三个对应(duyng)元素相同，于D41rr12041012311000094 4120( 9)( 1)10131131cc1219 1003112 1219 1( 1)14 81第35页/共272页第三十六页，共273页。37第三节 行列式按行（列）展开(zhn ki) 【例 1.12】 解的系数(xsh)。行列式 是关于 的一次多项式，求一次项12332455xxx由于行列式中 在其第二行，按第二行展开，可得： x12332455x3452313123 ( 1)( 1)2 ( 1)524245x 42213( 1)1042A 可以看到，一次项 的系数就是 的代数余子式 2

26、2axx第36页/共272页第三十七页，共273页。38第三节 行列式按行（列）展开(zhn ki) 【例 1.13】计算行列式的值1111111111111111xxDyy解 4311111111111100rrxxDyyy3411011101111000ccxxyy11011011xyxy （按第4行展开(zhn ki)得）11()11xy yx （按第3列展开(zhn ki)得）2(1)(1) 1yxx 2222(11)yxx y 第37页/共272页第三十八页，共273页。39第四节 行列式的计算(j sun)举例 本节主要(zhyo)对有某些特殊的行列式的计算进行介绍。 我们把 阶行

27、列式 的从左上角到右下角含 的连线称为nD1122,nnaaa主对角线。第38页/共272页第三十九页，共273页。40第四节 行列式的计算(j sun)举例一、对角(du jio)行列式1122nnaaDa 其中，除主对角线上的元素 外，其余省略的元1122,nnaaa素皆为零。1122nnDa aa 显然(xinrn)：即对角行列式的值等于主对角线上元素之积。 对角行列式等于零的充要条件为对角线上至少有一个元素为零。 第39页/共272页第四十页，共273页。41第四节 行列式的计算(j sun)举例 【例 1.14】计算行列式 (没写出的元素皆为零)12Dn解 经过 次列交换，可将最后一

28、列换到第1列。 1n110000002( 1)0030000nDn 1210000200( 1)( 1)0003000nnn (1) (2)2 112( 1)nnn (1)2( 1)!n nn第40页/共272页第四十一页，共273页。42二、三角(snjio)行列式 上三角(snjio)行列式 第四节行列式的计算(j sun)举例 下三角行列式 112122313233123000000nnnnnaaaDaaaaaaa111213122232333000000nnnnnaaaaaaaDaaa第41页/共272页第四十二页，共273页。43 很容易得出三角行列式的值仍等于(dngy)主对角线元

29、素的积。第四节 行列式的计算(j sun)举例 如行列式 就是一个上三角行列式，234056007D 其值等于 。2 5 770D 第42页/共272页第四十三页，共273页。44 一般行列式计算(j sun)都可采用化为上（下）三角行列式来计算(j sun)。 第四节 行列式的计算(j sun)举例 【例 1.15】计算行列式3111131111311113D 解 因为每行各元素之和相等(xingdng)（为6），我们可以“统加”，即多次用 的性质。本例可采用第2列加到第1列，第3列加到第1列，第4列jirkr加到第1列，得6111631161316113D 1111131161131111

30、321314111110200600200002rrrrrr36248第43页/共272页第四十四页，共273页。45第四节 行列式的计算(j sun)举例 【例 1.16】解 从第2列起，每列加到第1列上，得解 阶行列式xaaaxaDaax n(1)(1)(1)naxaanaxxaDnaxax 1000(1) 000000aaaxaxnaxaxa1(1) ()nxna xa（从第2行起每行减去第1行得）第44页/共272页第四十五页，共273页。46第四节 行列式的计算(j sun)举例 【例 1.17】解 从第2行起，每行减去第1行，得 解 阶行列式方程n11111111111121101

31、11(2)11111(1)xxnxnx111110000001000000(3)00000(2)xxnxnx(1)(2)(3)(2)0 xxxnxnx123210,1,2,3,2nnxxxxnxn于是(ysh)：解得：第45页/共272页第四十六页，共273页。47第四节 行列式的计算(j sun)举例 【例 1.18】解 将各列加到第一列,得计算 阶行列式121212nnnabaaaabaDaaabn122122122()()()nnnnnnaaabaaaaababaDaaabaab第46页/共272页第四十七页，共273页。48第四节行列式的计算(j sun)举例212100()00nna

32、abDaaabb112()()nnaaabb 第1列提取(tq)公因子。从第2行起，每行减去第1行，得第47页/共272页第四十八页，共273页。49三、按行或列展开(zhn ki)解 按第1列展开(zhn ki)，得第四节行列式的计算(j sun)举例 有些行列式不易变成某行（列）只有一个非零元素，例如变成两个非零元素，则行列式值等于这两个元素与对应代数余子式积的和。 【例 1.19】计算 阶行列式n000000000000ababDabba 10000000000( 1)0000000000nabbaabDababbaab 1( 1)nnnab 第48页/共272页第四十九页，共273页。

33、50四、采用(ciyng)递推方式来解行列式 解 按最后一列(y li)展开，得 第四节 行列式的计算(j sun)举例 【例 1.20】计算下列 阶行列式1n11210100001000001nnnnxxDxaaaaa 10100010000010000nxaxDaxx 1221100001000001nnnxxxaaaaa 0nna xD同样推理可得: 于是 111nnnDa xD10nnnDa xD1011nnna xa xD1011nnnna xa xaxa第49页/共272页第五十页，共273页。51第四节行列式的计算(j sun)举例 【例 1.21】 计算下列 阶行列式2n2na

34、bababDcdcdcd(没写出的元素(yun s)皆为零)下页继续(jx) 第50页/共272页第五十一页，共273页。52第四节 行列式的计算(j sun)举例解 按第1行展开(zhn ki)，得 20000nababDacdcdd210( 1)000nababbcdcdc两个(lin )行列式分别再按最后一行展开，得 222222(1)()nnnnDadDbcDadbc D2(1)2(2)()nnDadbc D222(1)2(2)()()nnnDadbc DadbcD()nadbc同样推理可得于是第51页/共272页第五十二页，共273页。53第四节 行列式的计算(j sun)举例 【例

35、 1.22】解 从第一列提取公因子 ，然后把第1列加到第2列，得a2123100010()0()nnnxxaDa xx xaaxxxaxaa 计算 阶行列式21234100010010nnnnaaxaDaxaxaaxaxaxaxa n下页继续(jx) 第52页/共272页第五十三页，共273页。54第四节行列式的计算(j sun)举例第二列提取公因子 后，按第1行展开，得()xa2234110010()0nnnxaa xaxaxaxaxaxa 212234100010()()0()ccnnnxxaa xaxx xaaxxxaaxa 1()na xa第53页/共272页第五十四页，共273页。5

36、5五、范德蒙行列式 第四节 行列式的计算(j sun)举例 行列式 称为 阶的11112122222121111112111111nnnnnnnnnnnxxxxxxxVxxxxxxxx n范德蒙行列式 下面我们(w men)来计算此行列式的值 第54页/共272页第五十五页，共273页。56第四节 行列式的计算(j sun)举例解此题自下而上，即从第 行开始，后行减去前行的 倍。即得 n1x21311221331133322133112222213311111100()()()0()()()0()()()nnnnnnnnnnnnnnxxxxxxx xxx xxxxxVxxxxxxxxxxxxx

37、xxxxx分别(fnbi)按各列提取公因子，得： 232131122223111()()()nnnnnnnxxxVxxxxxxxxx第55页/共272页第五十六页，共273页。57同理可推得第四节 行列式的计算(j sun)举例342131132233334111()()()()()nnnnnnnnxxxVxxxxxxxxxxxxx2131411324221()()()()()()()()nnnnxxxxxxxxxxxxxxxx1()jiijnxx其中， 符号表示统乘，即各 之间用乘号链接。()jixx 可以看到：范德蒙行列式为零的充分必要条件为 中至少有12,nx xx 两个(lin )相等

38、。第56页/共272页第五十七页，共273页。58 【例 1.23】第四节 行列式的计算(j sun)举例计算行列式1111134519162512764125D 解222233331111134513451345D (3 1)(4 1)(5 1)(43)(53)(54)48第57页/共272页第五十八页，共273页。59第四节 行列式的计算(j sun)举例 【例 1.24】求证：22322322322311111111xxyzuxxxyyzuxyyyzzuxyzzzuuxyzuuu 证明等式左边各行分别乘 ：, , ,x y z u232323231xxxxyzuyyyxyzuxyzu z

39、zzxyzuuuuxyzu左边232323231111xxxyyyzzzuuu（提 因子）xyzu232323231111xxxyyyzzzuuu （三次(sn c)列对换） 第58页/共272页第五十九页，共273页。60综合以上例题，行列式的计算可以按以下(yxi)步骤来进行： 首先尽量寻找行与列的公因子(ynz), 将其提到行列式外面.如果发现行列第四节 行列式的计算(j sun)举例 然后利用性质总能将行列式变换成上三角或者下三角行列式, 再计 或者利用性质将行列式的某行(某列)变换成只有一个元素不为0, 其式有两行或者两列成比例, 则行列式的值为0。算其对角线上的乘积。 其余元素均为

40、0, 然后再按那行(列)展开, 降阶成低阶的行列式。 第59页/共272页第六十页，共273页。61第五节 克莱姆法则(fz)一、用行列式表示(biosh)二元及三元线性方程组的解 二元线性方程组 11 1122121 12222a xa xba xa xb用二阶行列式可表示为 ， 112222111122122babaxaaaa111212211122122ababxaaaa若 ，可用消元法解得 112212210a aa a122212111221221211121111221221bab axa aa ab abaxa aa a第60页/共272页第六十一页，共273页。62其中： 为二

41、元线性方程组中未知数 的系数构成111221220aaDaa12,x x第五节克莱姆法则(fz) 的行列式； 为用常数项代替 中的第一列； D1121222baDba1112212abDab 为用常数项代替 中的第二列。 D第61页/共272页第六十二页，共273页。63 【例 1.4】解二元线性方程组 第五节 克莱姆法则(fz)解 可用二阶行列式得 121223425xxxx 143527123712x2241514223712x 第62页/共272页第六十三页，共273页。64第五节 克莱姆法则(fz)对于三元线性方程组 同样可以由消元法得到; 11 1122133121 12222332

42、31 13223333a xa xa xba xa xa xba xa xa xb当 时， 1122331223311321321123321221321322310Da a aa a aa a aa a aa a aa a a123123,DDDxxxDDD其中(qzhng)： 1122332 13323 1223123322 12333 1322Dba ab a ab a aba ab a ab a a212331211333 132112133213313 1123Dba ab a ab a aba ab a ab a a312132212313 112212231211323 1221

43、Dba ab a ab a aba ab a ab a a第63页/共272页第六十四页，共273页。65第五节 克莱姆法则(fz)用三阶行列式表示以上的 ，可以得到： 123,D D D D当 时，有 0D 312123DDDxxxDDD，其中(qzhng)：111213212223313233aaaDaaaaaa1121312222333233baaDbaabaa1111322122331333abaDabaaba1112132122231323aabDaabaab第64页/共272页第六十五页，共273页。66 【例 1.5】第五节 克莱姆法则(fz)解线性方程组 12312312322

44、3734xxxxxxxxx 解11121316131D 121171316431D212127332141D 311221716134D 故 3121231DDDxxxDDD 1，2，第65页/共272页第六十六页，共273页。67 【定理(dngl) 1.4】 （克莱姆法则） 第五节 克莱姆法则(fz)如果 元并非齐次线性方程组 n11 11221121 1222221 122nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb（1） 的系数行列式 ，则方程组有唯一解，且 0D 1212,jnjnDDDDxxxxDDDD其中， 是将 中的第 列用常数列替换而成的行

45、列式。 (1,2, )jDjnDj二、克莱姆法则(fz) 以上用行列式解线性方程组可以推广为n元线性方程组情形。 第66页/共272页第六十七页，共273页。68 【例 1.25】第五节 克莱姆法则(fz)解 解线性方程组 12341234123412345242235232110 xxxxxxxxxxxxxxxx 11111214231531211D142 151112214231501211D142 215111214221530211D284 311511224232531011D42641115121223123120D142故 312412341,2,3,1DDDDxxxxDDDD

46、第67页/共272页第六十八页，共273页。69第五节 克莱姆法则(fz) 线性方程组（1）中等式右端常数均为零时(ln sh)，称为n元齐次线性方程组，也称为(chn wi)n元非齐次线性方程组（1）导出组。即n元齐次线性方程组 11 1122121 122221 122000nnnnnnnnna xa xa xa xa xa xa xa xa x（2） 由克莱姆法则，若系数行列式 ，则n元齐次线性方程组（2）0D 只有零解：120,0,0nxxx要方程组有非零解（即至少有某个 ），必须有 。 0jx 0D 关于解线性方程组的问题，我们在第三章还要祥细介绍。 第68页/共272页第六十九页，

47、共273页。70 【例 1.26】第五节 克莱姆法则(fz)解 由于(yuy)非齐次线性方程组有非零解，则其系数矩阵的行列式为零，即 设线性方程组 有非零解，求 的值。 123123123000kxxxxkxxxxkxk1111011kkk1121111211121kkkkkkkk2111(2) 010(2)(1)0001kkkkk122,1kk 111(2)1111kkk第69页/共272页第七十页，共273页。71第二章 矩阵(j zhn) 矩阵(j zhn)是应用非常广泛的数学工具，也是线性代数的主要研究对象之一。运用矩阵的运算法则(fz)，会用伴随矩阵法求逆矩阵，熟练掌握矩阵的初等行变

48、换，以及运用初等行变换法求逆矩阵。 通过本章学习，要求掌握矩阵及其各种特殊类型矩阵的定义，熟练第70页/共272页第七十一页，共273页。72 第三节 逆矩阵(j zhn)第二章 矩阵(j zhn)第一节 矩阵(j zhn)的概念 第二节 矩阵的运算及其性质 第四节 分块矩阵及其运算 第五节 矩阵的初等变换 第六节 初等方阵第71页/共272页第七十二页，共273页。73第一节 矩阵(j zhn)的概念一、矩阵(j zhn)的定义 矩阵作为一种常用的数学工具，能够简洁地贮存信息(xnx)，通过矩阵运【例 2.1】算，可以方便地处理信息，下面通过实际例子引入矩阵的概念。某超市公司的第I、II两部

49、门都销售甲、乙、丙三种小包装食品，其某一天的销售量（单位：包）可由下表表示：第72页/共272页第七十三页，共273页。74第一节 矩阵(j zhn)的概念 如果我们每一天都做这样的统计，就没必要像上表那样(nyng)繁琐，只要把以上数字按一定的排列次序记成如下(rxi)数表形式：150160170140190180第73页/共272页第七十四页，共273页。75第一节 矩阵(j zhn)的概念简洁地表示出来。无论是在数值求解还是理论推导(tudo)方面，此数表足以清【例 2.2】晰表示(biosh)这一线性方程组。对于线性方程组 11 11221121 1222221 122nnnnmmmn

50、nma xa xa xba xa xa xba xaxa xb我们可以用下面的数表11121121222212nnmmmnmaaabaaabaaab第74页/共272页第七十五页，共273页。76 一般(ybn)由大写字母A,B,C表示矩阵。 由上两例可以看到，在我们生命(shngmng)活动中的许多方面，都可以用数表第一节 矩阵(j zhn)的概念 1矩阵定义来表达一些量以及量与量之间的关系。这类数表，我们统称为矩阵。 【定义 2.1】 由 个数 排成的 行m n(1,2,;1,2, )ija im jnmn 列的矩形数组 111212122212nnmmmnaaaaaaaaa （2.1）

51、称为一个m行n列矩阵，简称mn的矩阵， 称为此矩阵的第 行第ijaij(1,2,;1,2, )im jn列的元素 。 矩阵（2.1）也可简化为：()m nijm nAa第75页/共272页第七十六页，共273页。77即第一节 矩阵(j zhn)的概念【例 2.3】是一个三行四列矩阵，3 45402()3697841 10ijAa位于(wiy)矩阵第二行第三列位置的元素是9，23a32a34a9410而第76页/共272页第七十七页，共273页。78第一节 矩阵(j zhn)的概念 2矩阵(j zhn)相等 另外，行数或列数不同(b tn)的矩阵也不是相等的。 若 都是 矩阵，且对应位置的元素分

52、别相等，()()ijijAaBb，m n即 ， 则称矩阵A与B相等，记为： (1,2,;1, )ijijab im jnAB0000abcd0abcd 例如，当且仅当 时，矩阵 又如：01101010第77页/共272页第七十八页，共273页。79第一节 矩阵(j zhn)的概念 3 阶方阵 n 当矩阵的行数 与列数 相等，即 时，矩阵 称为mmn()ijn nAann阶矩阵或 阶方阵，如矩阵 是一个二阶方阵。abcdn 阶方阵 与 阶行列式是不能混淆的两个概念，行列式的值是Ann 在一个阶方阵 中，从左上角到右下角的对角线连线，称为主()ijAa对角线。元素 都在主对角线上，称为主对角线元素

53、。1112,nnaaa一个(y )数，而矩阵仅是数表。 第78页/共272页第七十九页，共273页。80第一节矩阵(j zhn)的概念二、几种特殊矩阵(j zhn)的介绍 1.行矩阵(j zhn)和列矩阵(j zhn) 只有一行元素构成的矩阵 称为行矩阵。 111 121()()ijnnAaa aa 只有一列元素构成的矩阵 称为列矩阵。111211()ijmmbbBbb 2.零矩阵 m nO( )m nOo时，也记为 ，或 。 行列数不同的零矩阵是不相等的，如0000000000000 元素全为零的矩阵称为零矩阵，记作 。当零矩阵的行列数是m nO第79页/共272页第八十页，共273页。81

54、第一节 矩阵(j zhn)的概念 4上（下）三角(snjio)阵 如一个方阵(fn zhn)的主对角线下（上）方的所有元素均为零，则称该方阵(fn zhn)为上（下）三角矩阵。 如 ， 是上三角阵。1230240011101100520213 而 是下三角阵。第80页/共272页第八十一页，共273页。82第一节 矩阵(j zhn)的概念 5对角(du jio)阵、单位矩阵 如一个方阵(fn zhn)除主对角线以外的元素均为零，则称这个方阵(fn zhn)为对角矩阵。即有时可简单记为： 1122000000nnaaAa1122nnaaAa记 为或 ，在不致混淆时，也可简记为 或 ，如： nEn

55、IEI 11E 21001E3100010001E 特别地，主对角线元素全为1的 阶对角矩阵，称为 阶单位矩阵，nn第81页/共272页第八十二页，共273页。83第二节 矩阵的运算(yn sun)及其性质一、矩阵(j zhn)的线性运算 1矩阵(j zhn)的加法【定义2.2】 设 和 都是 的矩阵 ()ijAa()ijBbm n111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa111212122212nnmmmnbbbbbbBbbb则以A与B相对应的元素之和 为元素的 (1,2,;1,2, )ijijab im jn 矩阵m n第82页/共272页第八十三页，共273页。84第二节矩

56、阵的运算(yn sun)及其性质111112121121212222221122nnnnmmmmmnmnababababababCababab称为矩阵 与 的和，记作A+B，或 ，用矩阵形式表示即AB()ijijm nabABC为 。 第83页/共272页第八十四页，共273页。85【例2.4】 第二节 矩阵(j zhn)的运算及其性质设123789,456132AB()()()ijm nijm nijijm nABabab即由 ， 对应元素之差构成的矩阵。 A B他们才能进行相加和相减；否则，他们的加法和减法(jinf)将是无意义的。 类似于加法的定义，我们规定矩阵 与 的减法（即差） AB

57、 应注意的是，只有当两个(lin )矩阵的行数对应相同、列数对应相同时，则81012328AB第84页/共272页第八十五页，共273页。86【定义(dngy)2.3】 第二节矩阵(j zhn)的运算及其性质数 与矩阵 的数乘记为 ，规定其为： ()ijm nAakkA111212122212()nnijm nmmmnkakakakakakakAkakakaka且当 时： 1k 111212122212( 1)()nnijm nmmmnaaaaaaAaaaa 称为矩阵 的负矩阵，记为AA列式的联系(linx)将在以后介绍。 数乘矩阵与数乘行列式有着本质上的差异，而数乘方阵及与它的行即将矩阵 中

58、的每个元素扩大 倍Ak2矩阵的数乘第85页/共272页第八十六页，共273页。87【例2.5】 第二节 矩阵的运算(yn sun)及其性质则2A 222444666A111222333111222333A设 第86页/共272页第八十七页，共273页。88第二节 矩阵(j zhn)的运算及其性质 3矩阵(j zhn)线性运算的性质 我们不难证明矩阵的加法和数乘满足以下运算规律（设, ,A B C D O都是 矩阵， 为实数）：m n,kABBA (1)加法交换律 (2)加法结合律 ()()ABCABC (3) AOA (4) ()AAO (5)数乘分配律 ()ABAB()k AAkA (6)数

59、乘交换律 ()()k AkA第87页/共272页第八十八页，共273页。89【例2.6】 第二节 矩阵(j zhn)的运算及其性质解设 求111222333A3100010001E323AE323AE222300444030666003122414663第88页/共272页第八十九页，共273页。90第二节 矩阵的运算(yn sun)及其性质二、矩阵(j zhn)乘法 1定义(dngy)【定义2.4】 111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa111212122212nnmmmnbbbbbbBbbb设 是一个 行 列矩阵， 是一个 行 列的矩阵，即 ABmssn则由元素1 122

60、1(1,2,;1,2, )sijijijissjikkjkCa ba ba ba bim jn构成的 矩阵 称为矩阵 与 的乘积，记作 。m n()ijCcCABAB第89页/共272页第九十页，共273页。91第二节 矩阵的运算(yn sun)及其性质 定义显示，一个 矩阵 与一个 矩阵 的乘积 是一个ABm ss n 矩阵， 的第 行 列元素 等于 的第 行元素与 的第 列元m nCijijcABij元素(yun s)的对应乘积之和。 要使乘积 有意义，当且仅当左矩阵（即乘积项中的第一个矩阵）AB 的列数等于右矩阵（即乘积项中的第二个矩阵） 的行数才成立。AB第90页/共272页第九十一页