湖北省武汉市2018届高中毕业生四月调研测试理科数学试题及答案

1、武汉市 2018 届高中毕业生四月调研测试理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数52i的共轭复数是（）a2i b2i c2i d2i2. 已知集合2|1mx x，|1nx ax，若nm，则实数a的取值集合为 （）a1 b1,1 c1,0 d1, 1,03. 执行如图所示的程序框图，如果输入的 2,2t，则输出的s属于（）a 4,2 b 2,2 c 2,4 d 4,04. 某几何体的三视图如图所示，则在该几何体的所有顶点中任取两个顶点，它们之间距离的最大值为（）a3 b6 c2 3 d2 65. 一张

2、储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以从09中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率为（）a25 b310 c15 d1106. 若实数a，b满足1ab，log (log)aamb，2(log)anb，2logalb，则m，n，l的大小关系为（）amln blnm cnlm dlmn7. 已知直线1ykx与双曲线224xy的右支有两个交点，则k的取值范围为（）a5(0,)2 b51,2 c55(,)22 d5(1,)28. 在abc中，角a、b、c的对应边分别为a，b，c，条件p：2bca，条件q：2bca，那么条件p是

3、条件q成立的（）a充分而不必要条件 b必要而不充分条件c充要条件 d既不充分也不必要条件9. 在61(1)xx的展开式中，含5x项的系数为（）a6 b6 c24 d2410. 若x，y满足1212xy，则2222mxyx的最小值为（）a2 b211 c4 d4911. 函数( )2sin()(0)3f xx的图象在0,1上恰有两个最大值点，则的取值范围为（）a2,4 b92,)2 c1325,)66 d252,)612. 过点(2,1)p作抛物线24xy的两条切线， 切点分别为a，b，pa，pb分别交x轴于e，f两点，o为坐标原点，则pef与oab的面积之比为（）a32 b33 c12 d34

4、二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 已知sin2cos，则sincos14. 已知向量a，b，c满足20abc，且1a，3b，2c，则22a ba cb c15. 已知(,)22x，( )1yf x为奇函数，( )( )tan0fxf xx，则不等式( )cosf xx的解集为16. 在四面体abcd中，1addbaccb，则四面体体积最大时，它的外接球半径r三、解答题：共70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 17 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第 22 题第 23 题为选考题，考生根据要求作答 . （一）必考题：共60

5、 分. 17. 已知正数数列na满足：12a，11212nnnnnaaaa(2)n. （1）求2a，3a；（2）设数列nb满足22(1)nnban，证明：数列nb是等差数列，并求数列na的通项na. 18. 如图，在棱长为3的正方体1111abcdabc d中，e，f分别在棱ab，cd上，且1aecf. （1）已知m为棱1dd上一点，且11d m，求证：1bm平面11aec. （2）求直线1fc与平面11a ec所成角的正弦值. 19. 已知椭圆：22142xy，过点(1,1)p作倾斜角互补的两条不同直线1l，2l，设1l与椭圆交于a、b两点，2l与椭圆交于c，d两点 . （1）若(1,1)p

6、为线段ab的中点，求直线ab的方程；（2）记abcd，求的取值范围 . 20. 在某市高中某学科竞赛中，某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示. （1）求这4000名考生的竞赛平均成绩x（同一组中数据用该组区间中点作代表）；（2）由直方图可认为考生竞赛成绩z服正态分布2( ,)n，其中，2分别取考生的平均成绩x和考生成绩的方差2s，那么该区4000名考生成绩超过84.41分（含84.81分）的人数估计有多少人？（3）如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过84.81分的考生人数为，求(3)p. （精确到0.001）附：2

7、204.75s，204.7514.31；2( ,)zn， 则() 0 . 6 8 2 6pz，(22 )0.9544pz；40.84130.501. 21. 已知函数( )(ln)xf xxeaxx，ar. （1）当ae时，求( )f x的单调区间；（2）若( )f x有两个零点，求实数a的取值范围 . （二）选考题：共10 分. 请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 作答时请写清题号 . 22. 选修 4-4 ：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，l的极坐标方程为(cos2sin)10，c的参数方

8、程为3cos2sinxy（为参数，r）. （1）写出l和c的普通方程；（2）在c上求点m，使点m到l的距离最小，并求出最小值. 23. 选修 4-5 ：不等式选讲 已知( )22f xaxx. （1）在2a时，解不等式( )1f x；（2）若关于x的不等式4( )4f x对xr恒成立，求实数a的取值范围 . 武汉市 2018届高中毕业生四月调研测试理科数学参考答案一、选择题1-5: bdabc 6-10: bdabd 11、12：cc 二、填空题13. 25 14. 13 15. (0,)2 16. 156三、解答题17. （1）由已知212132aaaa，而12a，2222232(2)aa，

9、即222230aa. 而20a，则23a. 又由323252aaaa，23a，233952(3)aa，即233280aa. 而30a，则34a. 23a，34a. （2）由已知条件可知：22112()21nnnnaaaan，22221(1)(1)(1)nnaann，则22221(1)(1)(1)nnanan223(1)2a222(1)1a0，而22(1)nnban，0nb，数列nb为等差数列 . 22(1)nan. 而0na，故1nan. 18. 解： （1）过m作1mtaa于点t，连1bt，则11at. 易证：111aa eabt，于是111aaea bt. 由111190a btatb，知

10、11190aa eatb，11aebt. 显然mt面11aab b，而1a e面11aab b，1mta e，又1btmtt，1ae面mtb，11aemb. 连11b d，则1111b dac. 又111d mac，1111b dd md，11ac面11md b，111acmb. 由11aemb，111acmb，1111aeaca，1b m面11a ec. （2）在11d c上取一点n，使11nd，连接ef. 易知1/ /a efn. 1111aefcnefcenfcvvv111 13(23)3333 2nfcs. 对于11a ec，113 2ac，110ae，而122ec，由余弦定理可知11

11、1018221cos210 3 220eac. 11a ec的面积11111sin2saca eeac11933 210192220. 由等体积法可知f到平面11a ec之距离h满足111113a ecaefcshv，则1319332h，619h，又110fc，设1fc与平面1aec所成角为，6 1963 190sin9510190. 19. 解： （ 1） 设直线ab的斜率为tank， 方程为1(1)yk x，代入2224xy中，222(1)40 xkxk. 222(1 2)4 (1)2(1)40kxk kxk. 判别式2224(1) 4(21)2(1)4kkkk28(321)kk. 设11

12、(,)a x y，22(,)b xy，则12221224 (1)212(1)421k kxxkkx xk. ab中点为(1,1)，12212 (1)()1221k kxxk，则12k. 直线的ab方程为11(1)2yx，即210 xy. （2）由（ 1）知2121abkxx21212()4xxx x22218(321)21kkkk. 设直线的cd方程为1(1)(0)yk xk. 同理可得22218(321)21kkkcdk. 22321(0)321abkkkcdkk. 2241312kkk41132kk. 令13tkk，则4( )12g tt，(,2 323,)t. ( )g t在(, 2 3

13、，23,)分别单调递减，23( )1g t或1( )23g t. 故2231或2123. 即6262,1)(1,22. 20. 解： （1）由题意知：中间值455565758595概率0.10.150.20.30.150.145 0.1 55 0.1565 0.275 0.3x850.15950.170.5，4000名考生的竞赛平均成绩x为70.5分. （2）依题意z服从正态分布2( ,)n，其中70.5x，2204.75d，14.31，z服从正态分布22( ,)(70.5,14.31)nn，而()(56.1984.81)0.6826pzpz，10.6826(84.81)0.15872p z.

14、 竞赛成绩超过84.81分的人数估计为08人634人. （3）全市竞赛考生成绩不超过84.81分的概率10.15870.8413. 而(4,0.8413)b，444(3)1(4)10.8413ppc10.5010.499. 21. 解： （1）定义域为：(0,)，当ae时，(1)()( )xxxeefxx. ( )f x在(0,1)时为减函数；在(1,)时为增函数 . （2）记lntxx，则lntxx在(0,)上单增，且tr. ( )(ln)xf xxeaxx( )teatg t. ( )f x在0 x上有两个零点等价于( )tg teat在tr上有两个零点. 在0a

15、时，( )tg te在r上单增，且( )0g t，故( )g t无零点；在0a时，( )tg tea在r上单增，又(0)10g，11()10agea，故( )g t在r上只有一个零点；在0a时，由( )0tg tea可知( )g t在lnta时有唯一的一个极小值(ln)(1ln)gaaa. 若0ae，(1ln)0gaa最小，( )g t无零点；若ae，0g最小，( )g t只有一个零点；若ae时，(1ln)0gaa最小，而(0)10g，由于ln( )xf xx在xe时为减函数，可知：ae时，2aeeaa. 从而2( )0ag aea，( )g x在(0,ln)a和(ln,)a上各有一个零点. 综上讨论可知：ae时( )f x有两个零点，即所求a的取值范围是( ,)e. 22. 解： （1）由l：cossin100，及cosx，siny. l的方程为2100 xy. 由3cosx，2siny，消去得22194xy. （2）在c上取点(3cos,2sin)m，则3cos4sin105d015cos()105. 其中003cos54sin5，当0时，d取最小