线性代数向量空间PPT学习教案

1、会计学1第一页，共127页。12(,)Tna aa 12 naaa 维向量写成一行，称为维向量写成一行，称为行向量行向量，也就是行，也就是行矩阵，通常用等表示，如：矩阵，通常用等表示，如： TTTTba,n 维向量写成一列，称为维向量写成一列，称为列向量列向量，也就是列，也就是列矩阵，通常用等表示，如：矩阵，通常用等表示，如： ,ban第1页/共126页第二页，共127页。 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合(jh)叫做向量组例如例如(lr)维维列列向向量量个个有有矩矩阵阵mnijAanm)( aaaaaaaaaaaaAmnmjmmnjnj21222221111211a1.

2、, , 的的列列向向量量组组称称为为矩矩阵阵向向量量组组Aa1a2ana2ajana1a2ajan第2页/共126页第三页，共127页。维维行行向向量量个个又又有有矩矩阵阵类类似似地地nmijAanm)(, aaaaaaaaaaaaAmnmminiinn21212222111211 T1 T2 Ti Tm T1 T2 Ti Tm向量组向量组 , , ， 称为矩阵称为矩阵A的行向量组的行向量组 T1 T2 Tm第3页/共126页第四页，共127页。 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成(guchng)一个矩阵一个矩阵.矩矩阵阵构构成成一一个个组组维维列

3、列向向量量所所组组成成的的向向量量个个nmnmm , 21 矩矩阵阵构构成成一一个个的的向向量量组组维维行行向向量量所所组组成成个个nmnmTmTT , 21 TmTTB 21 ),( 21mA 第4页/共126页第五页，共127页。1122 nnxxxb 线性方程组的向量线性方程组的向量(xingling)表示表示 .,22112222212111212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxamnmnmmnnnn方程组与增广矩阵方程组与增广矩阵(j zhn)的列向量组之间一一对应的列向量组之间一一对应第5页/共126页第六页，共127页。，组组实实数数，对对于于任任何何一一给给定定向

4、向量量组组mmkkkA,: 2121 定义定义(dngy)(dngy)., 21个个线线性性组组合合的的系系数数称称为为这这，mkkk，称称为为向向量量组组的的一一个个向向量量 2211mmkkk 线性组合线性组合第6页/共126页第七页，共127页。mmb 2211，使使，一一组组数数如如果果存存在在和和向向量量给给定定向向量量组组mmbA ,: 2121. 2211有有解解即即线线性性方方程程组组bxxxmm 的线性组合，这时称的线性组合，这时称是向量组是向量组则向量则向量Ab 向量向量 能能由向量组由向量组 线性表示线性表示bA有有解解，也也就就是是方方程程组组bAx .,21mA其中，

5、第7页/共126页第八页，共127页。.),(),( 2121的的秩秩，的的秩秩等等于于矩矩阵阵，条条件件是是矩矩阵阵线线性性表表示示的的充充分分必必要要能能由由向向量量组组向向量量bBAAbmm 定理定理(dngl)1(dngl)1例：例：，即可由向量组即可由向量组向量向量 01000103221 b3213032100 b线线性性表表示示，且且为为：第8页/共126页第九页，共127页。 . .,:,: 2121这这两两个个能能相相互互线线性性表表示示，则则称称量量组组与与向向若若向向量量组组称称线线性性表表示示，则则向向量量组组组组中中的的每每个个向向量量都都能能由由若若及及设设有有两两

6、个个向向量量组组BAABBAsm 向量组向量组 能由向量组能由向量组 线性表示线性表示向量组等价向量组等价BA定义定义(dngy)(dngy).)()(BrAr 即即 010030102001,321bbAB 因为因为(第9页/共126页第十页，共127页。矩矩阵阵：为为这这一一表表示示的的系系数数的的列列向向量量组组线线性性表表示示，矩矩阵阵的的列列向向量量组组能能由由，则则矩矩阵阵若若BACBACnssmnm snssnnsnbbbbbbbbbccc2122221112112121),), （：结论结论1第10页/共126页第十一页，共127页。 TsTTmsmmssTmTTaaaaaaa

7、aa 2121222211121121：为为这这一一表表示示的的系系数数矩矩阵阵的的行行向向量量组组线线性性表表示示的的行行向向量量组组能能由由同同时时，ABC,第11页/共126页第十二页，共127页。.0 ,0, 1. 2211121成成立立才才有有时时则则只只有有当当线线性性无无关关若若 nnnn 0 ,: 22112121 mmmmkkkkkkA 使使全全为为零零的的数数如如果果存存在在不不给给定定向向量量组组注意注意(zh y):定义定义(dngy)(dngy)则称向量组则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关是线性相关的，否则称它线性无关A第12页/共126页第十三页，共127页

8、。3.,.对对于于含含有有两两个个向向量量的的向向量量组组 它它线线性性相相关关的的充充要要条条件件是是两两向向量量的的分分量量对对应应成成比比例例，几几何何意意义义是是两两向向量量共共线线；三三个个向向量量相相关关的的几几何何意意义义是是三三向向量量共共面面., 2.性性无无关关就就是是线线性性相相关关不不是是线线对对于于任任一一向向量量组组第13页/共126页第十四页，共127页。，到到底底线线性性相相关关还还是是无无关关，向向量量组组m 21也也即即齐齐次次线线性性方方程程组组 Ax mmxxx2121, 程程组组的的定定理理，即即有有方方而而由由上上章章关关于于齐齐次次线线性性有有无无

9、非非零零解解的的问问题题，故故02211 mmxxx 第14页/共126页第十五页，共127页。2定理定理线线性性相相关关的的充充要要条条件件向向量量组组m ,21是是向向量量其其中中的的秩秩是是矩矩阵阵mmArAm.)(,21 的的个个数数。其逆否命题是：其逆否命题是：线线性性无无关关的的充充要要条条件件是是“向向量量组组m ,21”.)(mAr 第15页/共126页第十六页，共127页。推论的逆否命题是：推论的逆否命题是：，它线性无关的，它线性无关的维向量组维向量组对对mm ,21充充要要条条件件是是：0 A推论：推论：，它线性相关的，它线性相关的维向量组维向量组对对mm ,21充充要要条

10、条件件是是：0 A第16页/共126页第十七页，共127页。维维向向量量组组n TnTTeee1 , 0 , 0,0 , 1 , 0,0 , 0 , 121 ，.,讨讨论论其其线线性性相相关关性性维维单单位位坐坐标标向向量量组组称称为为n解解.),( 21阶阶单单位位矩矩阵阵是是的的矩矩阵阵维维单单位位坐坐标标向向量量组组构构成成neeeInn ，由由01 I例例的推论知，的推论知，及定理及定理 2无无关关。维维单单位位坐坐标标向向量量组组线线性性n或或r(I)=n，得线性无关，得线性无关(wgun)。第17页/共126页第十八页，共127页。， 742520111321 .21321的的线线

11、性性相相关关性性，及及，试试讨讨论论向向量量组组 解解.2, 21321321即即可可得得出出结结论论）的的秩秩，利利用用定定理理，及及（），可可同同时时看看出出矩矩阵阵（成成行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵），施施行行初初等等行行变变换换变变，对对矩矩阵阵（ 已知已知例例分析分析(fn(fnx)x)第18页/共126页第十九页，共127页。 751421201),(321 )25(23 r， 000220201., 2),(,2),(2121321321线线性性无无关关故故向向量量组组线线性性相相关关；，故故向向量量组组可可见见 rr)1()1(1213 rr 550220201第19页/共126页

12、第二十页，共127页。.,;,13,145,023:3321向量组线性相关向量组线性相关取何值时取何值时向量组线性无关向量组线性无关取何值时取何值时问问设向量组设向量组例例ttt 3210142353321 tt 解：因为解：因为(yn wi).,23;,23,321321线线性性相相关关向向量量组组时时线线性性无无关关向向量量组组时时当当所所以以 tt第20页/共126页第二十一页，共127页。. , , 321133322211321线线性性无无关关试试证证线线性性无无关关已已知知向向量量组组 例例4 40,332211321 xxxxxx使使设设有有, 0)()( 133322211 x

13、xx）（即即, 0)()() 332221131 xxxxxx（亦亦即即全为零，即有全为零，即有线性无关，故系数必需线性无关，故系数必需，因因321 . 0 , 0 , 0 322131xxxxxx证法证法(zhn f)1第21页/共126页第二十二页，共127页。02110011101 列列式式由由于于此此方方程程组组的的系系数数行行., 0 321321线线性性无无关关向向量量组组，所所以以故故方方程程组组只只有有零零解解 xxx证法证法(zhn f)2 110011101),(),(321321aaa 即即有有，.ACB 可对应记作可对应记作,133322211 由由第22页/共126页

14、第二十三页，共127页。02110011101 C 由由).()(ArBr 知知.,321线性无关线性无关向量组向量组 进而知进而知，知，知而利用定理而利用定理, 3)(2 Ar的的线线性性相相关关判判定定的的几几接接下下来来，我我们们给给出出常常用用个个性性质质：第23页/共126页第二十四页，共127页。., 0, 0, 线线性性无无关关则则说说若若线线性性相相关关则则说说若若时时向向量量组组只只包包含含一一个个向向量量 . 组组是是线线性性相相关关的的包包含含零零向向量量的的任任何何向向量量性质性质(xngzh)1(xngzh)1：性质性质(xngzh)2(xngzh)2：. 时一定线性

15、相关时一定线性相关于向量个数于向量个数小小当维数当维数维向量组成的向量组，维向量组成的向量组，个个mnnm.,)(,.)(),(, 212121线线性性相相关关个个向向量量故故则则若若，有有构构成成矩矩阵阵维维向向量量个个mmmnmmmArmnnArAnm 性质性质(xngzh)3(xngzh)3：证明证明第24页/共126页第二十五页，共127页。. ,. ,: , 1121也线性无关也线性无关向量组向量组则则线性无关线性无关量组量组若向若向反言之反言之也线性相关也线性相关向量组向量组则则线性相关线性相关：向量组向量组若若ABBAmmm 性质性质(xngzh)4(xngzh)4：.2, 11

16、)()()(2,. 1)()(),(),( 111线线性性相相关关知知向向量量组组根根据据定定理理因因此此，从从而而，有有则则根根据据定定理理线线性性相相关关若若向向量量组组，则则有有记记BmArBrmArAArBraaaBaaAmmm 证明证明(zhngmng)第25页/共126页第二十六页，共127页。.:1 关关的的任任何何部部分分组组都都线线性性无无向向量量组组线线性性无无关关，则则它它反反之之，若若一一个个线线性性相相关关含含有有零零向向量量的的向向量量组组必必特特别别地地，量量组组线线性性相相关关相相关关的的部部分分组组，则则该该向向一一个个向向量量组组若若有有线线性性可可推推广广

17、为为性性质质说明说明(shumng)：第26页/共126页第二十七页，共127页。设设 ), 2 , 1(, 12121mjaaaabaaajrrjjjjrjjjj 性质性质(xngzh)5(xngzh)5：.,.,.2121性性相相关关也也线线则则向向量量组组线线性性相相关关反反言言之之，若若向向量量组组关关也也线线性性无无：则则向向量量组组线线性性无无关关：若若向向量量组组个个分分量量后后得得向向量量一一添添上上即即ABbbbBAbmmjj 第27页/共126页第二十八页，共127页。列列），只只有有因因但但从从而而有有，则则线线性性无无关关若若向向量量组组则则有有，记记mBmBrmBrm

18、ArABrArbbBAmmrmmr()(.)()(,).()(),(),( 1)1(1 .)(线性无关线性无关，因此向量组，因此向量组故故BmBr 即即结结论论也也成成立立量量而而言言的的，若若增增加加多多个个分分）维维数数增增加加是是对对增增加加一一个个分分量量（即即性性质质.,12 说明说明(shumng)：证明证明(zhngmng)：关关。”加加长长”向向量量组组必必线线性性无无“线线性性无无关关向向量量组组的的“或或关关。”截截短短”向向量量组组必必线线性性相相“线线性性相相关关向向量量组组的的“第28页/共126页第二十九页，共127页。5例例试试判判断断向向量量组组,520011

19、,570102 ,321003 的线性相关性。的线性相关性。解解法法一一：，考察新向量组考察新向量组21321 ,010001 ,100002 第29页/共126页第三十页，共127页。由由011035501272001000001000001,21321 即知即知线线性性无无关关，21321, ，即知，即知再由性质再由性质 1线线性性无无关关。，321 第30页/共126页第三十一页，共127页。解解法法二二：,520011 ,570102 ,321003 考考察察的“截短”向量组：的“截短”向量组：,0011 ,0102 ,1003 也无关。也无关。，线性无关，故线性无关，故，显然显然32

20、1321 第31页/共126页第三十二页，共127页。定理定理3 3 向量组向量组 （当（当 时）线性相关时）线性相关的充分必要条件是的充分必要条件是 中至少有一个向中至少有一个向量可由其余量可由其余 个向量线性表示个向量线性表示m ,212 mm ,211 m证明证明(zhngmng)充分性充分性 设设 中有一个向量（比如中有一个向量（比如 ）能由其余向量线性表示）能由其余向量线性表示.maaa,21ma即有即有112211 mmma 而不是而不是(b shi)“每一个每一个”第32页/共126页第三十三页，共127页。故故 01112211 mmma 因因 这这 个数不全为个数不全为0，

21、1,121 m m故故 线性相关线性相关.m ,21必要性必要性设设 线性相关，线性相关，m ,21则有不全为则有不全为0的数使的数使 ,21mkkk. 02211 mmkkk 第33页/共126页第三十四页，共127页。因因 中至少有一个不为中至少有一个不为0，mkkk,21不妨设则有不妨设则有, 01 k.13132121mmkkkkkk 即即 能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示.1 证毕证毕. ,000,531TT，对向量组对向量组 因其为因其为以以该该组组线线性性相相关关。含含零零向向量量的的向向量量组组，所所但也只有但也只有!)(,0 而而无无第34页/共126页第三十五页，共

22、127页。.,:,: 121且表示式是唯一的且表示式是唯一的线性表示线性表示必能由向量组必能由向量组向量向量线性相关线性相关向量组向量组线性无关线性无关向量组向量组AbbBAmm 定理定理(dngl) 4(dngl) 4：.)(1)(. 1)(;)().()(),(),( 2121mBrmBrmmBrBmArABrArbBAmm ，即即有有所所以以组组线线性性相相关关，有有因因组组线线性性无无关关，有有因因有有记记 .),( ,)()( 21一一线线性性表表示示，且且表表示示式式唯唯组组能能由由向向量量有有唯唯一一解解，即即向向量量知知方方程程组组由由AbbxmBrArm 证明：证明：第35页

23、/共126页第三十六页，共127页。.,2,)(),()(, 关关线线性性相相向向量量组组线线性性无无关关知知向向量量组组由由定定理理则则有有唯唯一一解解即即且且表表示示式式唯唯一一示示线线性性表表能能由由向向量量组组向向量量BAmBrbArArbAxAb 证明：证明：第36页/共126页第三十七页，共127页。6例例为什么？为什么？线性表示？线性表示？，是否可由是否可由）为什么？（为什么？（线性表示，线性表示，可否由可否由）线性无关，问：（线性无关，问：（，线性相关，线性相关，已知向量组已知向量组32143214323212,1 )1(解解： 由由432, 知知线线性性无无关关 ,32, 。

24、性性质质线线性性无无关关)(线性相关，即知线性相关，即知再由再由321, ；定定理理唯唯一一线线性性表表示示，可可由由)(321 不能！不能！)2(可可只只由由），即即知知否否则则，由由（41 线线性性表表示示。32, 线性无关矛盾！线性无关矛盾！，而这显然与而这显然与432 （定理（定理(dngl)）。）。第37页/共126页第三十八页，共127页。. 向量、向量组与矩阵向量、向量组与矩阵(j zhn)之间的联系，线性方之间的联系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；. 线性相关与线性无关的概念线性相关与线性无关的概念(ginin)；线性

25、相关性；线性相关性在线性方程组中的应用；（重点）在线性方程组中的应用；（重点）. 线性相关与线性无关线性相关与线性无关(wgun)的判定方法：定义，的判定方法：定义，两个定理（难点）两个定理（难点）第38页/共126页第三十九页，共127页。无穷多种表示唯一表示有解mmrbrbxbmmmmm),(),(),(2121212211线性表示线性表示(biosh):(biosh):第39页/共126页第四十页，共127页。成成立立使使如如果果存存在在不不全全为为零零的的数数0,221121 mmmkkkkkk 线性相关线性相关: :00212211 mmmkkkkkk 如如果果线性无关线性无关(wg

26、un):(wgun):有有非非零零解解0),(21 xm mrm ),(21 )0,(21 m 特特别别只只有有零零解解0),(21 xm mrm ),(21 )0,(21 m 特特别别第40页/共126页第四十一页，共127页。., 0, 0, 线线性性无无关关则则说说若若线线性性相相关关则则说说若若时时向向量量组组只只包包含含一一个个向向量量 . 组组是是线线性性相相关关的的包包含含零零向向量量的的任任何何向向量量性质性质(xngzh)1(xngzh)1：性质性质(xngzh)2(xngzh)2：. 时一定线性相关时一定线性相关于向量个数于向量个数小小当维数当维数维向量组成的向量组，维向量

27、组成的向量组，个个mnnm性质性质(xngzh)3(xngzh)3：. ,. ,: , 1121也线性无关也线性无关向量组向量组则则线性无关线性无关量组量组若向若向反言之反言之也线性相关也线性相关向量组向量组则则线性相关线性相关：向量组向量组若若ABBAmmm 性质性质4 4：第41页/共126页第四十二页，共127页。设设 ), 2 , 1(, 12121mjaaaabaaajrrjjjjrjjjj 性质性质(xngzh)5(xngzh)5：.,.,21212121也也线线性性相相关关则则向向量量组组线线性性相相关关反反言言之之，若若向向量量组组也也线线性性无无关关则则向向量量组组线线性性无

28、无关关若若向向量量组组mmmmbbbbbb 第42页/共126页第四十三页，共127页。定理定理 向量组向量组 （当（当 时）线性相关时）线性相关的充分必要条件是的充分必要条件是 中至少有一个向中至少有一个向量可由其余量可由其余 个向量线性表示个向量线性表示m ,212 mm ,211 m而不是而不是(b shi)“每一个每一个”.,:,: 121且表示式是唯一的且表示式是唯一的线性表示线性表示必能由向量组必能由向量组向量向量线性相关线性相关向量组向量组线性无关线性无关向量组向量组AbbBAmm 定理定理(dngl)(dngl)第43页/共126页第四十四页，共127页。向量向量(xingli

29、ng)空间空间第二节第二节 向量向量(xingling)组的秩组的秩概概念念一一、最最大大无无关关向向量量组组的的关关系系二二、矩矩阵阵与与向向量量组组秩秩的的论论三三、向向量量组组秩秩的的重重要要结结四四、小小结结、思思考考题题第44页/共126页第四十五页，共127页。0. 它它的的秩秩为为有有最最大大无无关关组组，规规定定只只含含零零向向量量的的向向量量组组没没，满满足足个个向向量量中中能能选选出出，如如果果在在设设有有向向量量组组rrAA , 21定义定义(dngy)(dngy)线线性性无无关关；）向向量量组组（rA ,:1 210关关，个个向向量量的的话话）都都线线性性相相中中有有个

30、个向向量量（如如果果中中任任意意）向向量量组组（112 rArA. 的的称称为为向向量量组组数数最最大大无无关关组组所所含含向向量量个个r; 0）（简简称称的的一一个个向向量量组组是是那那末末称称向向量量组组AA最大线性无关最大线性无关(wgun)向量组向量组最大最大无关无关(wgun)组组秩秩第45页/共126页第四十六页，共127页。. 它它的的行行向向量量组组的的秩秩量量组组的的秩秩，也也等等于于矩矩阵阵的的秩秩等等于于它它的的列列向向定理定理(dngl)(dngl)的的秩秩也也记记作作向向量量组组maaa,21),(,2121mmaaaraaar ;1一一）最大无关组可以不唯）最大无关

31、组可以不唯（说明说明(shumng).2关关组组是是等等价价的的）向向量量组组与与它它的的最最大大无无（第46页/共126页第四十七页，共127页。是线性无关的，是线性无关的，向量组向量组维单位坐标向量构成的维单位坐标向量构成的因为因为neeeIn,: 21解解. 的的秩秩一一个个最最大大无无关关组组及及的的，求求作作维维向向量量构构成成的的向向量量组组记记全全体体nnnRRRn例例1 1个个向向量量都都线线性性相相关关，中中的的任任意意性性质质的的结结论论知知又又根根据据12 .4 nRn. nRRInn的的秩秩等等于于的的一一个个最最大大无无关关组组，且且是是因因此此向向量量组组第47页/

32、共126页第四十八页，共127页。 97963422644121121112 A设设矩矩阵阵 例例2 2.用用最最大大无无关关组组线线性性表表示示属属最最大大无无关关组组的的列列向向量量无无关关组组，并并把把不不的的列列向向量量组组的的一一个个最最大大求求矩矩阵阵A第48页/共126页第四十九页，共127页。行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵施施行行初初等等行行变变换换变变为为对对 A解解，知知3)( ArA ， 00000310000111041211初等行变换初等行变换 .3 个向量个向量组含组含故列向量组的最大无关故列向量组的最大无关三列，三列，、元在元在而三个非零行的非零首而三个非零行的非零首4

33、21.,421无无关关组组为为列列向向量量组组的的一一个个最最大大故故aaa),;,;,;,(541531431521大无关组大无关组也为列向量组的一个最也为列向量组的一个最aaaaaaaaaaaa第49页/共126页第五十页，共127页。 00000310003011040101 初等行变换初等行变换A 4215213334,aaaaaaa 即得即得行行最最简简形形矩矩阵阵化化为为 第50页/共126页第五十一页，共127页。. 的的秩秩的的秩秩不不大大于于向向量量组组量量组组线线性性表表示示，则则向向能能由由向向量量组组设设向向量量组组ABAB定理定理(dngl)(dngl)例例如如但但反

34、反之之未未必必等等价价的的向向量量组组的的秩秩相相等等. ,推论推论(tuln)1(tuln)1).()(),()( BrCrArCrBACnssmnm ，则则设设推论推论2 2).()(,10,01 rr 不不等等价价但但显显然然第51页/共126页第五十二页，共127页。性质性质(xngzh).()()(,)2();()()(,)1(ABrnBrArBABArBrArnmBAsnnm 则则为矩阵为矩阵设设则则阶矩阵阶矩阵为为设设.)()(,:2成成立立试试证证设设例例nIArIArIA ,)()()(;)(,2nIAIArnIArIArOIAIAIA 由由性性质质知知证证.)()2()()

35、()()()(nIrIrIAAIrIArAIrIArIAr 及及.)()(成成立立故故nIArIAr 第52页/共126页第五十三页，共127页。,59354645),( ,13112032),( 2121 bbaa已知已知例4例4.),(),(2121等价等价与与证明向量组证明向量组bbaa第53页/共126页第五十四页，共127页。.),(),( ,),(),( ,2 21212121YbbaaXaabbYX 使使阶方阵阶方阵要证存在要证存在证明证明.X先求先求 5913351146204532),(2121bbaa最最简简形形矩矩阵阵：施施行行初初等等行行变变换换变变为为行行阵阵对对增增

36、广广矩矩的的方方法法类类似似于于线线性性方方程程组组求求解解),(, 2121bbaa第54页/共126页第五十五页，共127页。 5913453246203511 5913351146204532),(2121bbaa13r 462010155046203511)2(13r)3(14r第55页/共126页第五十六页，共127页。)21()1()5(22423 rrr 0000000023103511 462010155046203511)2(13r)3(14r.0000000023101201 )1(21 r 11 r第56页/共126页第五十七页，共127页。 X.,., 01 21211

37、等价等价与与此向量组此向量组因因即为所求即为所求取取可逆可逆知知因因bbaaXYXX 0000000023101201),(2121初初等等行行变变换换bbaa 即即得得 2312即即: ( ,)( )( ).r A Br Ar B 注注即即可可第57页/共126页第五十八页，共127页。最大线性无关最大线性无关(wgun)向量组的概念：向量组的概念：最大性、线性无关最大性、线性无关(wgun)性性 矩阵的秩与向量矩阵的秩与向量(xingling)组的秩的关系：组的秩的关系：矩阵的秩矩阵列向量矩阵的秩矩阵列向量(xingling)组的秩组的秩矩阵行向量矩阵行向量(xingling)组的秩组的秩

38、 关于向量组秩的一些结论：关于向量组秩的一些结论：一个一个(y )定理、两个推论两个性质定理、两个推论两个性质 求向量组的秩以及最大无关组的方法：求向量组的秩以及最大无关组的方法：将向量组中的向量作为列向量构成一个矩将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵，然后进行初等行变换阵，然后进行初等行变换第58页/共126页第五十九页，共127页。 8421,1211,5311,3201,54114321aa 设设.,4321并并写写出出表表示示式式线线性性组组合合的的可可唯唯一一地地表表示示成成取取何何值值时时问问 a问题问题(wnt)转化为转化为.),(4321解解的的讨讨论论 x321432111

39、1212,1 aaaaa的的线线性性组组合合可可唯唯一一地地表表示示成成时时当当因为因为(yn wi)4),(),(43214321 rr所以所以第59页/共126页第六十页，共127页。向量向量(xingling)空间空间第三节第三节 向量向量(xingling)空间空间一一、向向量量空空间间的的概概念念二、子空间二、子空间数数三、向量空间的基和维三、向量空间的基和维四四、小小结结、思思考考题题第60页/共126页第六十一页，共127页。说明说明(shumng).,VRV 则则若若2 维向量的集合是一个向量空间维向量的集合是一个向量空间,记作记作 .nnR;,VVV 则则若若定义定义(dng

40、y)1(dngy)1设设 为为 维向量的集合，如果集合维向量的集合，如果集合 非空非空, ,且集合且集合 对于加法及乘数两种运算封闭，那么就对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称集合称集合 为向量空间为向量空间nVVVV1集合集合 对于加法及乘数两种运算封闭指对于加法及乘数两种运算封闭指V第61页/共126页第六十二页，共127页。., 3 3是是一一个个向向量量空空间间维维向向量量的的全全体体R: :例例1 1.33,33 3R维维向向量量，它它们们都都属属于于维维向向量量仍仍然然是是乘乘数数维维向向量量维维向向量量之之和和仍仍然然是是因因为为任任意意两两个个 . ，也也是是一一个个向向量量空

41、空间间维维向向量量的的全全体体类类似似地地，nRn第62页/共126页第六十三页，共127页。例例2 2 判别下列集合是否为向量判别下列集合是否为向量(xingling)(xingling)空间空间. . RxxxxxVnTn , 0221解解.V 是向量空间是向量空间1的的任任意意两两个个元元素素因因为为对对于于1V TnTnbbaa, 0, 022 ,V1 122, 0VbabaTnn 有有 ., 012VaaTn 第63页/共126页第六十四页，共127页。例例3 3 判别下列集合是否为向量空间判别下列集合是否为向量空间. RxxxxxVnTn , 1222解解 .2 ,2 , 2222

42、VaaTn 则则.V 不是向量空间不是向量空间2 , 122VaaTn 因因为为若若第64页/共126页第六十五页，共127页。维向量，集合维向量，集合为两个已知的为两个已知的设设nba, 例4例4 RbaxV ,试判断集合试判断集合(jh)是否为向量空间是否为向量空间.baxV111. 因因为为若若是是一一个个向向量量空空间间解解，bax222 则有则有,)()(212121Vbaxx .)()(111Vbkakkx ., 间间所生成的向量空所生成的向量空量量这个向量空间称为由向这个向量空间称为由向ba第65页/共126页第六十六页，共127页。 RaaaxVmmm ,212211间间所生成

43、的向量空所生成的向量空由向量组由向量组maaa, 21一般地，一般地，为为 ., , , 212122112212211111VVRbbbxVRaaaxVbbaasssmmmsm 试试证证：记记等等价价，与与向向量量组组设设向向量量组组 例例5 5一一般般记记作作),(21maaaspan第66页/共126页第六十七页，共127页。., 11线线性性表表示示可可由由，则则设设maaxVx 证证,:12VxVx 则则若若类似地可证类似地可证.211221VVVVVV ，所所以以，因因为为线线性性表表示示，可可由由线线性性表表示示，故故可可由由因因ssmbbxbbaa,111.2Vx 所所以以，则

44、则这这就就是是说说，若若21VxVx .21VV 因因此此.12VV 因因此此第67页/共126页第六十八页，共127页。定义定义2 2 设有向量空间设有向量空间 及及 ，若向量集合，若向量集合，就说就说 是是 的子空间的子空间21VV 1V2V1V2V实例实例(shl),RVn 显然显然.的子空间的子空间总是总是所以所以RVn设设 是由是由 维向量所组成的向量空间，维向量所组成的向量空间，Vn第68页/共126页第六十九页，共127页。;,)1(21线线性性无无关关r .,2)(21线线性性表表示示中中任任一一向向量量都都可可由由rV 那末向量组那末向量组 就称为就称为(chn wi)(ch

45、n wi)向量空间的一个向量空间的一个r, 21V基，基， 称为向量空间称为向量空间(kngjin) (kngjin) 的维数，并称的维数，并称 为为 维向量维向量空间空间(kngjin)(kngjin)VrVr定义定义3 3 设设 是向量空间，如果是向量空间，如果 个向量个向量 ，且满足，且满足r,21 VVr ,dimV=r第69页/共126页第七十页，共127页。向量向量(xingling)空间的概念：空间的概念：向量向量(xingling)的集合对加法及数乘两种运算封闭；的集合对加法及数乘两种运算封闭；由向量由向量(xingling)组生成的向量组生成的向量(xingling)空间空间

46、子空间子空间(kngjin)的概念的概念第70页/共126页第七十一页，共127页。向量向量(xingling)空间空间第四节第四节 线性方程组解的结构线性方程组解的结构(jigu)的的性性质质一一、齐齐次次线线性性方方程程组组解解二、基础解系及其求法二、基础解系及其求法解解的的性性质质三三、非非齐齐次次线线性性方方程程组组四四、小小结结、思思考考题题第71页/共126页第七十二页，共127页。解向量解向量(xingling)(xingling)的概念的概念为齐次线性方程组为齐次线性方程组0 Ax nxxxx21的解的解称为称为(chn wi)方程组方程组 的解向量。的解向量。第72页/共12

47、6页第七十三页，共127页。齐次线性方程组解的性质齐次线性方程组解的性质(xngzh)(xngzh)（1 1）若）若 为为 的解，则的解，则 21 x,x0 Ax21 x0 Ax也是也是 的解的解. .证明证明(zhngmng)(zhngmng) 02121 AAA0021 A,A.Axx的解的解也是也是故故021 第73页/共126页第七十四页，共127页。（2 2）若）若 为为 的解，的解， 为实数，则为实数，则 也是也是 的解的解1 x0 Axk1 kx 0 Ax证明证明(zhngmng) .kkAkA0011 由以上两个性质可知，方程组的全体解向量由以上两个性质可知，方程组的全体解向量

48、所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组性方程组 的的解空间解空间一般记作一般记作0 Ax注：齐次解的线性组合仍为齐次解注：齐次解的线性组合仍为齐次解. )(AN第74页/共126页第七十五页，共127页。如如果果解解系系的的基基础础称称为为齐齐次次线线性性方方程程组组,0 , 21 Axt ; 0,)1(21的的解解的的一一组组线线性性无无关关是是 Axt .,0)2( 21出出线线性性表表的的任任一一解解都都可可由由tAx 基础基础(jch)(jch)解系

49、的定义解系的定义第75页/共126页第七十六页，共127页。的的通通解解可可表表示示为为那那么么的的一一组组基基础础解解系系为为齐齐次次线线性性方方程程组组如如果果0 AxAxt,0,21 ttkkkx 2211.,21是是任任意意常常数数其其中中rnkkk 第76页/共126页第七十七页，共127页。线性方程组基础线性方程组基础(jch)(jch)解系的求法解系的求法 00001001,1, 111rnrrrnbbbbA设齐次线性方程组的系数矩阵为设齐次线性方程组的系数矩阵为 ，并不妨，并不妨设设 的前的前 个列向量线性无关个列向量线性无关r于是于是 可化为可化为AAA第77页/共126页第

50、七十八页，共127页。00000100121,1, 111 nrnrrrnxxxbbbb nrn ,rrrrnrn ,rxbxbxxbxbx11111110 Ax第78页/共126页第七十九页，共127页。现对现对 取下列取下列 组数：组数：nrx,x1 rn nrrxxx21 nrn ,rrrrnrn ,rxbxbxxbxbx1111111分分别别代代入入., 100, 010, 001第79页/共126页第八十页，共127页。依次依次(yc)得得 rxx1,bbr 0011111 ,0102122 rbb .bbrn,rrn,rn 1001 从而求得原方程组的从而求得原方程组的 个解：个解

51、：rn .bb,rn,rrn, 1,bbr 212,bbr 111,第80页/共126页第八十一页，共127页。说明说明(shumng)解空间解空间(kngjin)的基不是唯一的的基不是唯一的解空间的基又称为解空间的基又称为(chn wi)方程组方程组的基础解系的基础解系.kkkxrnrn 2211若若 是是 的基础解系，的基础解系，则则其其通解通解为为 rn, 210 Ax.,21是是任任意意常常数数其其中中rnkkk 第81页/共126页第八十二页，共127页。.)(,)()(0 rnANrArANxAnnmnm 的的维维数数为为解解空空间间时时秩秩数数矩矩阵阵的的是是一一个个向向量量空空

52、间间，当当系系构构成成的的集集合合的的全全体体解解所所元元齐齐次次线线性性方方程程组组定理定理(dngl)1(dngl)1);0,(,)( 维维向向量量空空间间为为向向量量此此时时解解空空间间只只含含一一个个零零系系故故没没有有基基础础解解方方程程组组只只有有零零解解时时当当nAr 第82页/共126页第八十三页，共127页。 ).,(,(A) , ,)( 211111221121rnrnrnrnrnrnrnrnspanRxNxrnnrArkkkkkkkkk 解解空空间间可可表表示示为为为为任任意意实实数数其其中中方方程程组组的的解解可可表表示示为为此此时时基基础础解解系系个个向向量量的的方方

53、程程组组必必有有含含时时当当第83页/共126页第八十四页，共127页。例例1 1 求齐次线性方程组求齐次线性方程组 0377, 02352, 0432143214321xxxxxxxxxxxx的基础解系与通解的基础解系与通解.解解,0000747510737201137723521111 A对系数矩阵对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩作初等行变换，变为行最简矩阵，有阵，有A第84页/共126页第八十五页，共127页。 .7475,7372 432431xxxxxx便得便得,100143 及及令令xx,7473757221 及及对对应应有有xx,107473,01757221 即得基础解系

54、即得基础解系).,( ,10747301757221214321Rccccxxxx 并由此得到通解并由此得到通解第85页/共126页第八十六页，共127页。.0,1)( 2121的解的解为对应的齐次方程为对应的齐次方程则则的解的解都是都是及及设设 AxxbAxxx 证明证明(zhngmng) . 021 bbA . 021 Axx满满足足方方程程即即 bAbA 21, 非齐次线性方程组解的性质非齐次线性方程组解的性质(xngzh)(xngzh).221的解的解为为bAx 第86页/共126页第八十七页，共127页。证明证明(zhngmng) AAA ,0bb .的解的解是方程是方程所以所以bA

55、xx 证毕证毕.,0,2)( 的的解解仍仍是是方方程程则则的的解解是是方方程程的的解解是是方方程程设设bAxxAxxbAxx 解解的的线线性性组组合合一一般般非非齐齐次次线线性性方方程程组组bAx nnccc 2211.0,0;,12121的的解解为为时时系系数数和和的的解解为为时时当当系系数数和和 AxcccbAxcccnn第87页/共126页第八十八页，共127页。.11 rnrnkkx其中其中 为对应齐次线性方程为对应齐次线性方程组的组的通解通解， 为非齐次线性方程组的任意一个为非齐次线性方程组的任意一个特特解解.rnrnkk 11 非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组的通解(tngj

56、i)(tngji)非齐次线性方程组非齐次线性方程组Ax=b的通解的通解(tngji)为为第88页/共126页第八十九页，共127页。与方程组与方程组 有解等价的命题有解等价的命题bAx ;, 21线线性性表表示示能能由由向向量量组组向向量量nb ;,2121等等价价与与向向量量组组向向量量组组bnn .,2121的的秩秩相相等等与与矩矩阵阵矩矩阵阵bBAnn 线性方程组线性方程组 有解有解bAx 第89页/共126页第九十页，共127页。线性方程组的解法线性方程组的解法(ji f)(ji f)（1 1）应用）应用(yngyng)(yngyng)克莱姆法则克莱姆法则（2 2）利用）利用(lyng

57、)(lyng)初等变换初等变换特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可用来证明很多命题用来证明很多命题特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效的计算方法的计算方法第90页/共126页第九十一页，共127页。例例4 4 求解方程组求解方程组 .2132, 13, 04321

58、43214321xxxxxxxxxxxx解解:施施行行初初等等行行变变换换对对增增广广矩矩阵阵A 2132111311101111A,00000212100211011 )1(12 r)1(13 r 21210014200011111x3x第91页/共126页第九十二页，共127页。并并有有故故方方程程组组有有解解可可见见, 2)()( ArAr .212,2143421xxxxx , 042 xx取取,2131 xx则则即得方程组的一个特解即得方程组的一个特解 021021 取取中中组组在在对对应应的的齐齐次次线线性性方方程程,2 43421 xxxxx第92页/共126页第九十三页，共12

59、7页。,100142 及及xx,210131 及及则则xx程程组组的的基基础础解解系系即即得得对对应应的的齐齐次次线线性性方方,1201,001121 第93页/共126页第九十四页，共127页。于于是是所所求求通通解解为为).,( ,0210211201001121214321Rccccxxxx 非齐次方程非齐次方程(fngchng)的通的通解解=齐次方程齐次方程(fngchng)的通解的通解 + 非齐非齐次方程次方程(fngchng)的特解的特解第94页/共126页第九十五页，共127页。齐次线性方程组基础齐次线性方程组基础(jch)解系的求法解系的求法对系数矩阵对系数矩阵 进行进行(jn

60、xng)初等变换初等变换，将其化为，将其化为行最简形讨论行最简形讨论A有解有解0 Ax 个个解解向向量量此此时时基基础础解解系系中中含含有有Arn .有有无无穷穷多多解解bAx ArAr .无无解解bAx .有唯一解有唯一解bAx 线性方程组解的情况线性方程组解的情况 nrAr A nrAr A nAr 第95页/共126页第九十六页，共127页。 满满足足的的三三个个解解向向量量方方程程组组如如果果非非齐齐次次线线性性且且矩矩阵阵是是设设321,. 1,3 bAxArmA ,32121 ,11032 10113 .的的通通解解求求bAx 第96页/共126页第九十七页，共127页。, 1)(