课件321几类不同增长的函数模型

1、3.2函数模型及其应用函数模型及其应用 通过一些实例通过一些实例,来感受一次函数、来感受一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数的广泛应用数的广泛应用;结合实例体会直线上升、结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性型意义，理解它们的增长差异性学习目标互动交流互动交流,探求新知探求新知例例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：案供你选择，这三种方案的回报如下：回报的累积值回报的累积值方案二方

2、案二：第一天回报：第一天回报10元，以后每天比前一天多元，以后每天比前一天多 回报回报10元；元；方案三方案三：第一天回报：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前元，以后每天的回报比前 一天翻一番。一天翻一番。请问，你会选择哪种投资方案呢？请问，你会选择哪种投资方案呢？1.考虑回报量考虑回报量,除了要考虑每天的回报量之除了要考虑每天的回报量之外外,还得考虑什么还得考虑什么?想一想：想一想：方案一方案一：每天回报：每天回报40元；元；我来说我来说投资方案选择原则：投资方案选择原则：投入资金相同，回报量多者为优投入资金相同，回报量多者为优(1) 比较三种方案每天回报量比较三种方案每天回报量(2)

3、比较三种方案一段时间内的总回报量比较三种方案一段时间内的总回报量 哪个方案在某段时间内的总回报量最哪个方案在某段时间内的总回报量最多，我们就在那段时间选择该方案。多，我们就在那段时间选择该方案。想一想：想一想： 2.本题中涉及哪些数量关系本题中涉及哪些数量关系?如何利用函数如何利用函数描述这些数量关系描述这些数量关系?我来说我来说设第设第x天所得回报是天所得回报是y元元,则方案一可用函数则方案一可用函数y=40(xN*)进行描述进行描述;方案二可以用函数方案二可以用函数y=10 x(xN*)进行描述进行描述;方案三可以用函数方案三可以用函数 进行描述。进行描述。10.4 2(*)xyxN想一想

4、：想一想：3.怎样去研究这三个函数怎样去研究这三个函数,才能找到最佳的才能找到最佳的方案呢方案呢?要对三个方案作出选择要对三个方案作出选择,就要对它们的增长就要对它们的增长情况进行分析情况进行分析,用计算器计算出三种方案所用计算器计算出三种方案所得回报的增长情况得回报的增长情况,列表如下：列表如下：我来说我来说 我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据。供依据。解：设第解：设第x天所得回报为天所得回报为y元，则元，则 方案一：每天回报方案一：每天回报40元；

5、元； y=40 (xN*)方案二：第一天回报方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回元，以后每天比前一天多回 报报10元；元； y=10 x (xN*)方案三：第一天回报方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前元，以后每天的回报比前一天翻一番。一天翻一番。 y=0.42x-1 (xN*)x/天天方案一方案一方案二方案二方案三方案三y/元元增增加加量量/元元y/元元增增加加量量/元元y/元元增增加加量量/元元140100.4240200.8340301.6440403.2540506.46406012.87407025.68408051.294090102.4304030021474

6、8364.800000000001010101010101010100.40.81.63.26.412.825.651.2107374182.4我想问我想问根据所列的表格中提供的数据根据所列的表格中提供的数据,你对三种方你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识么认识?我来说我来说方案一每天的回报不变方案一每天的回报不变;方案二、三每天的方案二、三每天的回报都在增加回报都在增加,且方案三随且方案三随x的增加每天的的增加每天的回报越来越大回报越来越大,比方案二要大得多。比方案二要大得多。我想问我想问作出三个方案的图象看看作出三个方案的图象看看?图11

7、2-1图112-1从每天的回报量来看：从每天的回报量来看： 第第14天，方案一最多：天，方案一最多： 每每58天，方案二最多：天，方案二最多： 第第9天以后，方案三最多；天以后，方案三最多；有人认为投资有人认为投资14天选择方案一；天选择方案一；58天选择方案二；天选择方案二；9天以后选择方案天以后选择方案三？三？画画图图我想问我想问根据以上分析根据以上分析,你认为该作出何种选择你认为该作出何种选择?从问题从问题1可知可知,考虑回报量考虑回报量,除了要考虑每天除了要考虑每天的回报量之外的回报量之外,还得考虑回报的累积值还得考虑回报的累积值.你能你能把前把前11天回报的累积值算出来吗天回报的累积

8、值算出来吗?累计回报表累计回报表 天数天数方案方案1234567891011一一4080120160200240280320360400440二二103060100150210280360450550660三三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2818.8我想问我想问 投资投资8天以下（不含天以下（不含8天）天）,应选择第一种投资方案；投资应选择第一种投资方案；投资810天，应选择第二种投资方案；天，应选择第二种投资方案；投资投资11天（含天（含11天）以上，应选天）以上，应选择第三种投资方案。择第三种投资方案。解决实际问题的步骤：解决实际问题的步骤：实际问题

9、实际问题读懂问题读懂问题抽象概括抽象概括数学问题数学问题演算演算推理推理数学问题的解数学问题的解还原说明还原说明实际问题的解实际问题的解例例2 2、某公司为了实现、某公司为了实现10001000万元利润的目标，万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到销售利润达到1010万元时，按销售利润进行奖万元时，按销售利润进行奖励，且奖金励，且奖金y(y(单位：万元单位：万元) )随着销售利润随着销售利润x x ( (单位：万元单位：万元) )的增加而增加，但奖金数不超的增加而增加，但奖金数不超过过5 5万元，同时奖金不超过利润的万元，同时奖

10、金不超过利润的25%25%。现有。现有三个奖励模型：三个奖励模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求，其中哪个模型能符合公司的要求呢？呢？我想问我想问本题中涉及了哪几类函数模型本题中涉及了哪几类函数模型?实质是什么实质是什么?本例涉及了一次函数、对数函数、指数函本例涉及了一次函数、对数函数、指数函数三类函数模型数三类函数模型,实质是比较三个函数的增实质是比较三个函数的增长情况。长情况。我来说我来说我再问我再问怎样才能判断所给的奖励模型是否符合公怎样才能判断所给的奖励模型是否符合公司的要求呢司的要求呢?我来说我来说要对每一个奖励模型的奖金总额是否超

11、出要对每一个奖励模型的奖金总额是否超出5万元万元,以及奖励比例是否超过以及奖励比例是否超过25%进行分析进行分析,才能做出正确选择。才能做出正确选择。解解:借助计算机作出三个函数的图象如下借助计算机作出三个函数的图象如下:对于模型对于模型y=0.25x,它在区间它在区间10,1000上递增上递增,当当x(20,1000)时时,y5,因此该模型不符合要求。因此该模型不符合要求。对于模型对于模型 ,由函数图象由函数图象,并利用计算器并利用计算器,可可知在区间知在区间(805,806)内有一个点内有一个点 满足满足 ,由于它在由于它在10,1000上递增上递增,因此当因此当 时时,y5,因因此该模型

12、也不符合要求。此该模型也不符合要求。1.002xy 0 x0 xx01.0025x对于模型对于模型 ,它在区间它在区间10,1000上递上递增增,而且当而且当x=1000时时, ,所以它符合奖金总数不超过所以它符合奖金总数不超过5万元的要求。万元的要求。7log1yx7log 1000 14.555y 再计算按模型再计算按模型 奖励时奖励时,奖金是否不奖金是否不超过利润的超过利润的25%,即当即当x10,1000时时,是否有是否有 7log1yx7log10.25xyxx 成立。成立。 令令 ,x10,1000,利用计算机作出函数利用计算机作出函数f(x)的图象的图象7( )log1 0.25

13、f xxx 由图可知它是减函数由图可知它是减函数,因此因此f(x)f(10)-0.31671)和和幂函数幂函数y=xn (n0)，通过探索可以发，通过探索可以发现：现：在区间在区间(0,+)上，无论上，无论n比比a大多少，尽大多少，尽管在管在x的一定范围内，的一定范围内，ax会小会小xn，但由，但由于于ax的增长快于的增长快于xn的增长，因此总存在的增长，因此总存在一个一个x0，当，当xx0时，就会有时，就会有axxn.结论结论2：一般地，对于对数函数一般地，对于对数函数y=logax (a1)和幂函数和幂函数y=xn (n0)，通过探索可以，通过探索可以发现：发现：在区间在区间(0,+)上，

14、随着上，随着x的增大，的增大，logax增增大得越来越慢，图象就像是渐渐地与大得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴轴平行一样。尽管在平行一样。尽管在x的一定范围内，的一定范围内， logax可能会大于可能会大于xn，但由于，但由于logax的增长的增长慢于慢于xn的增长，因此总存在一个的增长，因此总存在一个x0，当，当xx0时，就会有时，就会有logax1)，y=logax (a1)和和y=xn (n0)都是增函数。都是增函数。(2)、随着、随着x的增大，的增大， y=ax (a1)的增长速度越来越的增长速度越来越快，会远远大于快，会远远大于y=xn (n0)的增长速度。的增长速度。(3)、随着

15、、随着x的增大，的增大， y=logax (a1)的增长速度越来的增长速度越来越慢，会远远小于越慢，会远远小于y=xn (n0)的增长速度。的增长速度。总存在一个总存在一个x0，当，当xx0时，就有时，就有logaxxnax探究：你能否仿照前面例题使用的方探究：你能否仿照前面例题使用的方法法,探索研究幂函数探索研究幂函数 .指数函数指数函数 . 对数函数对数函数 在区间在区间(0,+)上的增长差异上的增长差异?(0)nyxn(1)xya alog(1)ayx a一般地一般地,对于指数函数对于指数函数 和幂函数和幂函数(1)xya a(0)nyxn通过探索可以发现通过探索可以发现,在区间在区间(

16、0,+)上上,无论无论n比比a大大多少多少,尽管在尽管在x的一定变化范围内的一定变化范围内, 会小于会小于 ,但由于但由于 的增长快于的增长快于 的增长的增长,因此因此,总存在一总存在一个个 ,当当 时时,就会有就会有xanxxanx0 x0 xx.xnax同样地同样地,对于对数函数对于对数函数 和幂函数和幂函数 ,在区间在区间(0,+)上上,随着随着x的增大的增大, 增长得越来越慢增长得越来越慢,图象就像是渐渐地与图象就像是渐渐地与x轴平行一样轴平行一样,尽管在尽管在x的一定变化范围内的一定变化范围内, 可能会大于可能会大于 ,但由于但由于 的增长慢于的增长慢于 的增长的增长,因此因此,总存在一个总存在一个 ,当当 时时,就会就会有有log(1)ayx a(0)nyxnlogaxlogaxnxlogaxnx0 x0 xxlog.naxx在区间在区间(0,+)上上,尽管尽管 , 和和 都是增函数都是增函数,但它们的增长速但它们的增长速度不同度不同,而且不在同一个而且不在同一个档次档次上上,随着随着x的增的增大大, 的增长速度越来越快的增长速度越来越快,会超过会超过并远远大于的并远远大于的 增长速度增长速度,而而 的增长速度则越来越慢的