向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇

1、1 / 4 向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍（1）重心中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合（1）0ocoboao是abc的重心 . 证法 1：设),(),(),(),(332211yxcyxbyxayxo0ocoboa0)()()(0)()()(321321yyyyyyxxxxxx33321321yyyyxxxxo是abc的重心 . 证法 2：如图ocob

2、oa02odoaodao2doa、三点共线，且o分ad为 2： 1 o是abc的重心（2）oaococoboboao为abc的垂心 . 证明：如图所示o 是三角形abc 的垂心， be 垂直 ac，ad 垂直 bc ， d、e 是垂足 . 0)(caobocoaobocoboboaacob同理bcoa，aboco为abc的垂心（3）设a,b,c是三角形的三条边长，o 是abc 的内心ooccobboaa0为abc的内心 . 证明：baccab、分别为acab、方向上的单位向量，baccab平分bac, oabcde2 / 4 (aobaccab)，令cbabccbabcao（baccab) 化

3、简得0)(accabboacba0occobboaa（4）ocoboao为abc的外心。典型例题：例 1 ：o是平面上一定点，cba、是平面上不共线的三个点，动点p满足)(acaboaop，,0，则点p的轨迹一定通过abc的（）a外心b内心c重心d 垂心分析：如图所示abc，ed、分别为边acbc、的中点 . adacab2adoaop2apoaopadap2ap/ad点p的轨迹一定通过abc的重心，即选c. 例 2： （03 全国理 4）o是平面上一定点，cba、是平面上不共线的三个点，动点p满足)(acacababoaop，,0，则点p的轨迹一定通过abc的（b ）a外心b内心c重心d 垂

4、心分析：acacabab、分别为acab、方向上的单位向量，acacabab平分bac, 点p的轨迹一定通过abc的内心，即选b. 例 3 ：o是平面上一定点，cba、是平面上不共线的三个点，动点p满足abcde3 / 4 )coscos(cacacbababoaop，,0，则点p的轨迹一定通过abc的（）a外心b内心c重心d 垂心分析：如图所示ad 垂直 bc ，be 垂直 ac ， d、e 是垂足. )coscos(cacacbababbc=cacbcacbabbcabcoscos=caccbcacbabbbcabcoscoscoscos=bc+bc=0 点p的轨迹一定通过abc的垂心，即

5、选d. 练习：1已知abc三个顶点cba、与平面内一点p，满足0pcpbpa，若实数满足：apacab，则的值为（）a2 b23c3 d 6 2若abc的外接圆的圆心为o，半径为 1，0ocoboa， 则oboa( ) a21b0 c1 d213 点o在abc内部且满足022ocoboa，则abc面积与凹四边形aboc面积之比是（）a0 b23c45d344abc的外接圆的圆心为o，若ocoboaoh，则h是abc的（）a外心b内心c重心d 垂心5o是平面上一定点，cba、是平面上不共线的三个点，若222obbcoa222abocca，则o是abc的（）abcde4 / 4 a外心b内心c重心d 垂心6abc的外接圆的圆心为o， 两条边上的高的交点为h，)(ocoboamoh，则实数 m = 7 （06xx ） 已知非零向量 ab与ac满足 (ab|ab|+ac|ac|) bc=0 且ab|ab|ac|ac|=12, 则abc 为( ) a三边均不相等的三角形b直角三角形c等腰非等边三角形d 等边三角形8已知abc三