复变函数第二章习题答案

1、1 / 5 第二章解析函数1-6 题中：（1）只要不满足 c-r 条件，肯定不可导、不可微、不解析（2）可导、可微的证明：求出一阶偏导yxyxvvuu,，只要一阶偏导存在且连续，同时满足c-r 条件。（3）解析两种情况：第一种函数在区域内解析，只要在区域内处处可导，就处处解析；第二种情况函数在某一点解析，只要函数在该点与其邻域内处处可导则在该点解析，如果只在该点可导， 而在其邻域不可导则在该点不解析。（4）解析函数的虚部和实部是调和函数，而且实部和虚部守c-r 条件的制约，证明函数区域内解析的另一个方法为：其实部和虚部满足调和函数和 c-r 条件，反过来，如果函数实部或者虚部不满足调和函数或者

2、 c-r 条件则肯定不是解析函数。解析函数求导：xxivuzf)(4、若函数)(zf在区域 d 上解析，并满足下列的条件，证明)(zf必为常数。（1）0fzzd证明：因为)(zf在区域上解析，所以。令),(),()(yxivyxuzf，即xvyuyvxu,0yvixuzf)(。由复数相等的定义得：00 xvyuyvxu,。所以，1cyxu),(常数 )，2cyxv),(常数)，即21icczf)(为常数。2 / 5 5、证明函数在z平面上解析，并求出其导数。（1）(cossin)(cossin).xxexyyyieyyxy证明：设,fzu x yiv x y=( cossin)(cossin)

3、.xxexyyyieyyxy则,( cossin )xu x yexyyy，,( cossin )xv x yeyyxy(cossin)cosxxuexyyyeyx；cossincosxxxveyyyexyey(sinsincos )xuexyyyyy；(cossinsin)xveyyxyyx满足xvyuyvxu,。即函数在z平面上),(yx可微且满足 c-r 条件，故函数在z平面上解析。( )( cossincos )(cossinsin)xxuvfziexyyyyieyyxyyxx8、（1） 由已知条件求解析函数ivuzf)(，xyyxu22，iif1)(。解：2,2xyuxy uyx由于

4、函数解析，根据c-r 条件得yxvuyx2于是)(xyxyv222其中)(x是x的待定函数，再由cr 条件的另一个方程得xyuxyvyx22)(，所以xx)(，即cxx22)(。3 / 5 于是cxyxyv22222又因为iif1)(，所以当10 yx,，时1u，121cv得21c所以)()(212222222xyxyixyyxzf。9、提示：解析函数的实部和虚部为调和函数，只要该函数不是调和函数则它就不能做为解析函数的实部或虚部。10 、提示：求出实部和虚部对x，y 的一阶偏导，若不满足c-r 条件则肯定不是解析函数，若满足c-r 条件，同时满足一阶偏导存在且连续则为解析函数。14. 若iy

5、xz，试证： （1）xshyixchyzcossinsin。证：sinsin()sincoscos sinzxiyxiyxiy=()sincos22iiyi iyiiyiiyeeeexxi=()sincos22yyi iyyeeeexixsincosxchyixshy18 、解方程（1）31iez解：)(kizeie23231其中,.,210k则4 / 5 )(ln)(kielnzki232223（2）2izln。解：lnlnarg02izziz即1,arg2zz设zxiy221xy，arg2xiy得0,1xy，即zi。20 、（2）)sin(ln)cos(lnln33333ieeiilni试求iiiieii231,)(与)(iln 1。解： （1）)()()(iilnilnieeii111因为)(ln)()(kielnilnki2422124所以)(ln)(ln)()(kkiiilnieeeei242224211,.,210k5 / 5 （3）ilniiei)()(kilnelniki2222)(kilniieei22,.,210k（4）)sin(cos11222ieeeeii（5）)(ln)()(kielnilnki242212422 ，求证10zzzsinlim证: zxiy(x,y, 均为实数 )，所以,sinsin()limli