标量衍射理论3-衍射的角谱理论、菲涅耳

1、.1u(P,t) = a(P)cos2p pn nt - j j(P)U(P) = a(P) e jj j(P)lTxTyxykzyxtTzTyTxTtPtppjpn22)(2lp2k.2平面波在平面波在x和和y方向的空间频率方向的空间频率:llcos ;cosyxffcos , cos 为波为波矢的方向余弦矢的方向余弦平面波传播方向在平面波传播方向在xz平面平面, 与与z轴夹角为轴夹角为q q, 则此平面波复振幅沿则此平面波复振幅沿x方向的空间频率为方向的空间频率为: lqsin空间频率的单位空间频率的单位:cm-1, mm-1, 周周/mm, 条数条数/mm , lp/mm 等等复振幅分布

2、的角谱复振幅分布的角谱:xyz平面上复振幅分布平面上复振幅分布U(x,y,z)的空间频谱的空间频谱, 其其空间频率宗量用传播矢量的方向余弦表示空间频率宗量用传播矢量的方向余弦表示平面波的复振幅分布：平面波的复振幅分布：)coscos(exp ),(yxjkAyxU)(2exp ),(yfxfjAyxUyxp.32-2 复振幅分布的角谱及角谱的传播复振幅分布的角谱及角谱的传播3、衍射孔径对角谱的作用、衍射孔径对角谱的作用Effect of Diffraction Aperture on Angular Spectrum孔径的复振幅透过率：孔径的复振幅透过率：t (x0,y0) = 1 在在 内内

3、0 其它其它由于卷积运算具有展宽带宽的性质，因此，引入衍射孔径使由于卷积运算具有展宽带宽的性质，因此，引入衍射孔径使入射光波在空间上受到限制，其效应就是展宽了光波的角谱。入射光波在空间上受到限制，其效应就是展宽了光波的角谱。Ui (x0,y0)Ut (x0,y0)光场通过衍射屏后的变化：光场通过衍射屏后的变化：Ut (x0,y0) = Ui (x0,y0) t (x0,y0) 角谱的变化：角谱的变化：At (fx,fy) = Ai (fx,fy) T (fx,fy) F.T.42-2 复振幅分布的角谱及角谱的传播复振幅分布的角谱及角谱的传播3、衍射孔径对角谱的作用、衍射孔径对角谱的作用Ui (

4、x0,y0)Ut(x0,y0)例例: 单位振幅平面波垂直入射照明一矩孔单位振幅平面波垂直入射照明一矩孔, 求角谱的变化求角谱的变化At (fx,fy) = d (fx,fy) T (fx,fy) = T (fx,fy) 角谱展宽孔径限制了入射波面的范围孔径限制了入射波面的范围, 展宽了入射角谱展宽了入射角谱故角谱的展宽就是在出射波增加了与入射光波传播方向不同的故角谱的展宽就是在出射波增加了与入射光波传播方向不同的平面波分量，即增加了一些高空间频率的波，这就是衍射波。平面波分量，即增加了一些高空间频率的波，这就是衍射波。 Ai (fx,fy)= d (fx,fy)Ui (x0,y0) = 1 T

5、 (fx,fy)=absinc(afx)sinc(bfy)t (x0,y0)=rect(x0/a)rect(y0/b) .5(2)衍射理论要解决的问题是：光场中任意一点为衍射理论要解决的问题是：光场中任意一点为P P 的复的复振幅振幅 U(P) 能否用光场中各源点的复振幅表示出来。能否用光场中各源点的复振幅表示出来。 P PU2-3 标量衍射的角谱理论标量衍射的角谱理论 几几何何阴阴影影区区平面波入射平面波入射衍射现象衍射现象.62-3 标量衍射的角谱理论标量衍射的角谱理论 1、从惠更斯、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式 (2)1. 惠更斯包络作图法惠更斯包络

6、作图法 (1678): 从某一时刻的波阵面求下从某一时刻的波阵面求下一时刻波阵面的方法一时刻波阵面的方法.把波阵面上每一面元作为次级子把波阵面上每一面元作为次级子波的中心波的中心,后一时刻的波阵面是所有这些子波的包络面后一时刻的波阵面是所有这些子波的包络面.惠更斯原理不仅能解释光的反射和折射惠更斯原理不仅能解释光的反射和折射, 也能预见光在通也能预见光在通过简单孔径时的衍射现象过简单孔径时的衍射现象.但它只能判断光的传播方向但它只能判断光的传播方向,不不能定量计算能定量计算.衍射理论要解决的问题是：光场中任意一点为衍射理论要解决的问题是：光场中任意一点为P P 的复的复振幅振幅 U U( (P

7、 P) ) 能否用光场中其它各点的复振幅表示出来。能否用光场中其它各点的复振幅表示出来。 P PU.72-3 标量衍射的角谱理论标量衍射的角谱理论 1、从惠更斯、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式2. 菲涅耳子波干涉说菲涅耳子波干涉说 (1818): 子波间应当互相干涉子波间应当互相干涉,并且应当并且应当考虑不同方向子波的差异考虑不同方向子波的差异. 惠更斯惠更斯-菲涅耳原理菲涅耳原理惠更斯惠更斯-菲涅耳原理菲涅耳原理: 波阵面上任意未受阻挡的点波阵面上任意未受阻挡的点,产生一个产生一个与原波频率相同的子波与原波频率相同的子波. 此后空间任何一点的光振动是这此后

8、空间任何一点的光振动是这些子波叠加的结果些子波叠加的结果. 其数学表述为其数学表述为:dsreKPUcPUjkr)()()(0q常数常数幅相幅相因子因子倾斜倾斜因子因子球面球面子波子波表达式表达式源点源点光扰动光扰动U(P0)ds: 球面子波的振幅球面子波的振幅相干叠加相干叠加观察点观察点(场点场点)复振幅复振幅 球面球面子波源子波源.82-3 标量衍射的角谱理论标量衍射的角谱理论 1、从惠更斯、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式源波阵面源波阵面源点处的面元法线源点处的面元法线场点场点源点到场点的距离源点到场点的距离所考虑的传播方向与面元法线的夹角所考虑的传播方

9、向与面元法线的夹角源点源点dsreKPUcPUjkr)()()(0q成功成功: 可计算简单孔径可计算简单孔径的衍射图样强度分布的衍射图样强度分布.局限局限:难以确定难以确定K(q q ).无法引入无法引入-p p /2的相移的相移.9dsreKPUcPUjkr)()()(0q惠惠-菲原理菲原理dsrePUjPUjkr2) cos()cos()(1)(0rn,rn,l基尔霍夫衍射公式基尔霍夫衍射公式基尔霍夫基尔霍夫边界条件边界条件2-3 标量衍射的角谱理论标量衍射的角谱理论 1、从惠更斯、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式在单色点光源照明平面孔径的情况下在单色点光

10、源照明平面孔径的情况下:P0nPPrr常数幅相因子常数幅相因子 1/jl l 自动出现，自动出现，K(q q)函数形式确定函数形式确定.102-3 标量衍射的角谱理论标量衍射的角谱理论 1、从惠更斯、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式随近似程度的不同随近似程度的不同, 将衍射现象分为将衍射现象分为菲涅耳衍射菲涅耳衍射和和夫琅和费衍射夫琅和费衍射.在傍轴近似下在傍轴近似下20202)()(yyxxzr基尔霍夫衍射公式基尔霍夫衍射公式dsrePUjPUjkr2) cos()cos()(1)(0rn,rn,l12) cos()cos(rn,rn,.112-3 标量衍射

11、的角谱理论标量衍射的角谱理论 1、从惠更斯、从惠更斯-菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式菲涅耳原理到基尔霍夫衍射公式菲涅耳衍射公式菲涅耳衍射公式略去略去 (x-x0)/z 和和 (y-y0)/z 的二次以上的项的二次以上的项, 则则202021211zyyzxxzr在振幅部分取在振幅部分取r的一级近似的一级近似, 位相因子用位相因子用r的二级近似的二级近似,代入基尔霍夫公式代入基尔霍夫公式, 即得菲涅耳衍射公式即得菲涅耳衍射公式0020200,0,)()(2exp)()exp(1)(dydxyyxxzkjyxUjkzzjyxU l在菲涅耳衍射公式基础上再做远场近似，可得夫琅禾费衍射公式。在菲涅耳衍射

12、公式基础上再做远场近似，可得夫琅禾费衍射公式。.122-3 标量衍射的角谱理论标量衍射的角谱理论2、基于平面波角谱的衍射理论、基于平面波角谱的衍射理论从频域的角度即用平面波角谱方法来讨论衍射问题从频域的角度即用平面波角谱方法来讨论衍射问题 llllcoscosexp),cos,cos(),cos,cos(jkzAzAxyz平面的光场分布的角谱与平面的光场分布的角谱与x0y00平面角谱的关系（角谱传播）：平面角谱的关系（角谱传播）：注意注意fx=cos /l l, fy=cos /l l ，上式可写为，上式可写为:222201exp),(),(yxyxyxffjkzffAffAll这就是衍射现象

13、的频域（角谱）表达式。这就是衍射现象的频域（角谱）表达式。 衍射现象的传递函数：衍射现象的传递函数：22221exp),(yxyxffjkzffHll.132-3 标量衍射的角谱理论标量衍射的角谱理论2、基于平面波角谱的衍射理论、基于平面波角谱的衍射理论从频域的角度即用平面波角谱方法来讨论衍射问题从频域的角度即用平面波角谱方法来讨论衍射问题 )cos()cos()coscos(exp),cos,cos(),(llllpllddyxjzAzyxU xyz平面的光场分布按其角谱展开：平面的光场分布按其角谱展开：llllcoscosexp),cos,cos(),cos,cos(jkzAzAxyz平面

14、的光场分布的角谱与平面的光场分布的角谱与x0y00平面角谱的关系（角谱传播）：平面角谱的关系（角谱传播）：yxyxyxyxdfdfyfxfjffzjffAzyxU)(exp)exp(),(),(plllp综合得到综合得到（注意注意fx=cos /l l, fy=cos /l l ): 00000000)(2exp)0 ,( )0 ,(dydxyfxfjyxUffAyxyxp.142-3 标量衍射的角谱理论标量衍射的角谱理论2、基于平面波角谱的衍射理论、基于平面波角谱的衍射理论从频域的角度即用平面波角谱方法来讨论衍射问题从频域的角度即用平面波角谱方法来讨论衍射问题 yxyxyxdfdfdydxy

15、yfxxfjffzjyxUzyxU0000222200)()(2exp)12exp()0 ,(),(plllpxyz平面的光场分布平面的光场分布与与x0y00平面光场分布平面光场分布的关系：的关系：即为普遍的衍射公式。即为普遍的衍射公式。使用时需要化简。使用时需要化简。 在不同的近似条件下，可在不同的近似条件下，可以得到菲涅耳衍射公式和夫琅禾费衍射公式以得到菲涅耳衍射公式和夫琅禾费衍射公式.15x0y0yxz2-3 标量衍射的角谱理论标量衍射的角谱理论3、菲涅耳衍射公式、菲涅耳衍射公式近似条件：2max02max0yxz孔径和观察平面之间的距离远远大于孔径的线度 2max2maxyxz只对轴附

16、近的一个小区域内进行观察 )(21112222222yxyxfffflll适合于菲涅耳衍射区1cos, 1cos00zyyfzxxfyxll.162-3 标量衍射的角谱理论标量衍射的角谱理论 3、菲涅耳衍射公式、菲涅耳衍射公式000022000)()(2exp)(exp)0 ,()exp(),(dydxdfdfyyfxxfjffzjyxUjkzzyxUyxyxyxppl衍射公式变为：衍射公式变为：利用高斯函数的傅里叶变换和利用高斯函数的傅里叶变换和F.T.F.T.的缩放性质：的缩放性质： yxzjzjdfdfyfxfjffzjyxyxyxlplpplexpexpexp得到菲涅耳衍射的空域表达式

17、：得到菲涅耳衍射的空域表达式：002020000)()(exp)0 ,()exp(),(dydxyyxxzjyxUzjjkzzyxU lpl.172-3 标量衍射的角谱理论标量衍射的角谱理论 3、菲涅耳衍射公式：卷积形式、菲涅耳衍射公式：卷积形式002020000)()(exp)0 ,()exp(),(dydxyyxxzjyxUzjjkzzyxU lpl菲涅耳衍射的空域表达式：菲涅耳衍射的空域表达式：可以写为：可以写为：002020000)()(exp),()exp(),(dydxyyxxzjyxUzjjkzyxU lpl其中其中, 脉冲响应函数为脉冲响应函数为:)(2exp)exp(1),(

18、22yxzkjjkzzjyxhl),(),(),(0yxhyxUyxU或写成卷积式或写成卷积式:.182-3 标量衍射的角谱理论标量衍射的角谱理论 3、菲涅耳衍射公式：、菲涅耳衍射公式：F.T.形式形式 dydxyyxxzjyxUzjjkzzyxU)()(exp),()exp(),(lpl由菲涅耳衍射的空域表达式：由菲涅耳衍射的空域表达式：把指数中的二次项展开，还可表示为把指数中的二次项展开，还可表示为 0000202000022)(2exp)(2exp),()(2exp)exp(),(dydxyzyxzxjyxzkjyxUyxzkjzjjkzyxUllpl zyfzxfyxzkjyxUyxz

19、kjzjjkzyxUyxlll,)(2exp),( )(2exp)exp(),(202000022即为菲涅耳衍射的傅里叶变换表达式：即为菲涅耳衍射的傅里叶变换表达式：.192-3 标量衍射的角谱理论标量衍射的角谱理论3、菲涅耳衍射公式：频域形式、菲涅耳衍射公式：频域形式222201exp),(),(yxyxyxffjkzffAffAll由衍射现象的频域（角谱）表达式：由衍射现象的频域（角谱）表达式： 衍射现象的传递函数：衍射现象的传递函数：22221exp),(yxyxffjkzffHll在菲涅耳近似下，传递函数可写为在菲涅耳近似下，传递函数可写为:)(exp)exp(),(22yxyxffz

20、jjkzffHpl)(exp)exp(),(),(220yxyxyxffzjjkzffAffApl得到菲涅耳衍射的频域表达式：得到菲涅耳衍射的频域表达式：.202-3 标量衍射的角谱理论标量衍射的角谱理论 菲涅耳衍射公式菲涅耳衍射公式菲涅耳近似或傍轴近似条件菲涅耳近似或傍轴近似条件:1)()(8max322020zyyxxk221202max20203)(4)()(4LLyyxxzlplp即观察距离即观察距离z z满足满足：zmax20200)(yxL孔径的最大尺寸孔径的最大尺寸 max221)(yxL观察的最大区域观察的最大区域 .21Fresnel Diffraction: Summary

21、菲涅耳衍射的三种表示菲涅耳衍射的三种表示U(x0, y0) * hF (x, y) = U(x, y) )(2exp)exp(1),(22yxzkjjkzzjyxhlF.T.F.T.F.T.A0(fx, fy) HF(fx, fy) = A (fx, fy) )(exp)exp(22yxffzjjkzplF.T.表达表达)(2exp),(202000yxzkjyxU U(x, y)F.T.zyfzxfyxll,空域空域孔径平面孔径平面 脉冲响应脉冲响应观察平面观察平面llcos,cosyxff频域频域.22菲涅耳衍射：例题菲涅耳衍射：例题泰伯效应泰伯效应P48: 2.12余弦型振幅光栅的复振幅

22、透过率为余弦型振幅光栅的复振幅透过率为 dxbaxtpcos式中，式中，d 为光栅周期，为光栅周期，ab0。观察平面与光栅相距。观察平面与光栅相距z。当。当 z 分别取分别取下列各数值时，确定单色平面波垂直照明光栅，在观察平面上产生下列各数值时，确定单色平面波垂直照明光栅，在观察平面上产生的强度分布。的强度分布。 （式中（式中zT称作泰伯距离）称作泰伯距离）d baz zldzzTldzzTldzzTTz（1）（2）（3）解：采用菲涅耳衍射的频域表达式解：采用菲涅耳衍射的频域表达式 1 ,)()(2)()(000dfffffbfafTxxxxddd输入频谱：输入频谱：菲涅耳衍射的传递函数菲涅耳

23、衍射的传递函数:)exp()exp()(2xxzfjjkzfHpl此传递函数对平面波分量只引起相移此传递函数对平面波分量只引起相移.23菲涅耳衍射：例题菲涅耳衍射：例题泰伯效应泰伯效应P48: 2.12解：采用菲涅耳衍射的频域表达式解：采用菲涅耳衍射的频域表达式 1 ,)()(2)()(000dfffffbfafTxxxxddd输入频谱：输入频谱：菲涅耳衍射的传递函数菲涅耳衍射的传递函数:)exp()exp()(2xxzfjjkzfHpl此传递函数对平面波分量只引起相移此传递函数对平面波分量只引起相移输出频谱：输出频谱：)exp()exp()()(2)()( 200 xxxxxzfjjkzffffbfafTplddd)()()exp(2)()exp(0020ffffzfjbfajkzxxxddpld故：故： dxdzjbajkzxtplp2cos)22exp()exp(2.24菲涅耳衍射：例题菲涅耳衍射：例题泰伯效应泰伯效应P48: 2.12 dxdzjbajkzxtplp2co