抽象函数问题的求解策略探究

1、抽象函数问题的求解策略探究湖南省黄爱民赵长春函数是每年高考的热点，而抽象函数性质的运用又是函数的难点之一。抽象函 数是指没有给出具体的函数解析式或图像，但给出了函数满足的一局部性质或运算 法那么。此类函数试题既能全面地考查学生对函数概念的理解及性质的代数推理和论 证能力，又能综合考查学生对数学符号语言的理解和接受能力，以及对一般和特殊 关系的认识。因此备受命题者的青睐，在近几年的高考试题中不断地出现。然而， 由于这类问题本身的抽象性和其性质的隐蔽性，大多数学生在解决这类问题时，感 到束手无策。下面通过例题来探讨这类问题的求解策略。一、具体模型策略例1函数f(x)对一切实数 x、y满足f(0)丰

2、0，f(x+y)=f(x)(y), 且当x v 0时，f(x) > 1,那么当x> 0时f(x)的取值范围是。解析：令 f(x)=a x(0 v a v 1)易得 Ov f (x) v 1。评析：借助特殊函数直接解抽象函数客观题是常用的解题处理方法，可以迅速得到正确答案。二、类比联想策略例2.f(x)是定义在实数集R上的函数，且f(x + 2)1 f(x)=1 + f(x) ，f(2)=1 . 3,那么 f(2006)=()分析：由条件知，f(x+2)= 1 f(x) (*)，又 f( 1) = 273，逐步推出 f(2006)，1 f(x)显然比拟繁锁，假设将(*)式与tan(x

3、 )1 tanx进行类比，那么结构形式类似，而41 ta n xy=tanx的周期为n =4x .于是便产生一个念头：f(x)也有可能是周期函数，周期4为 4X 2= 8.于是猜测成立。 f(2006) = f(8 X 250+ 6) = f(6) = f( 2+ 8) = f( 2) 1、3.从而应选 B。评析：由于抽象函数的结论对任何满足条件的具体函数都成立，因而可以通过考察 一些具体函数，巧妙类比联想，以找到解题的突破口，最后利用具体函数的一些性 质探索出抽象函数的解题思路。三、运用函数性质策略例3 .定义在R上的单调函数y f(x)满足f(3) log2 3，且对任意的x、y R都有

4、f(x y) f(x) f(y)(1) 求证：f(x)为奇函数(2)假设f(kg3x) f(3x 9x 2) 0对任意x R恒成立，求 实数k的取值范围。解：令 x y 0,代入 f(x y) f (x) f(y)得:f (0) 2f(0). f (0) 0令 y x 代入上式得：f (x x) f (x) f( x)，又 f(0)0 0 f (x) f ( x)即 f( x) f (x)对任意 x R成立， f(x)是奇函数(2) f (3) log2 3 0,又 f (x)在 R 上单调且 f(0)0,f(3) f (0)，故 f(x)是 R上的增函数，又由(1)知f(x)为奇函数Tf(3

5、x 9x 2) f(3x 9x 2), kV 9x 2,即k 1 3 糸 h(x)恒成立，只需 k h(x)min,易求 h(x)min 2.2 1, k 22 1.评析：函数的特征是通过其性质(如奇偶性、单调性、周期性、特殊点等)反响出 来的，抽象函数也是如此.只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质，灵活进行 等价转化，抽象函数问题才能峰回路转，化难为易，常用的解题考法有：利用奇 偶性整体思考；利用单调性等价转化；利用周期性回归，利用对称性数 形结合；借助特殊点，列方程(组)等.四、赋值换元策略例4 .是否存在函数f (x)同时满足以下三个条件：(1) f (x y) f (x y) 2 f

6、 (x)cos y,( x, y R) ; (2) f (0) a(a为常数)；(3) f () b(b为常数)？假设存在，求f (x)的表达式；假设不存在，请说明理由。分析：条件(1)中x、y的任意性，隐含着x、y既可“换元，又可“赋值，结合 条件(2)和(3)，可望构造出函数方程组，从而求得函数表达式。令 x 0, y t，得 f (t) f ( t) 2a cost令 x ： t，y 匚，得 f( t) f(t) 02 2令 x 2, y t ，得 f( t) f( t) 2bsi nt 将+-得f (x) a cost bsi nt，故存在f(x) a cost bsi nt符合题意。

7、评析：对于用常规解法难以解决的数学问题，假设利用一些特殊的数学思想方法求解，有时会收到事半功倍的效果。方程观点是处理数学问题的一个根本观点，挖掘隐含条件，合理赋值，构造方程(组)，化函数问题为方程问题，可使这类抽象函数问题迅速获解。如(1)在求函数解析式或研究函数性质时，一般用“代换的 方法，将x换成-x或将x换成丄等；(2)在求函数值时，可用特殊值(如 0或1或x一 1)"代人 ；(3)研究抽象函数的具体模型，用具体模型解选择题、填空题，或由 具体模型函数对综合题的解答提供思路和考法，或反证、逆推诸法共用.五、分类讨论策略例5.设f (x)是定义在(-%，+x)上的增函数，问是否存

8、在实数k，使不等式f (k+sin2x ) > f (k-4 ) (sinx+cosx )对任意 x R恒成立？并说明理由。分析：令sinx+cosx=t，那么sin2x=t 2-1，原不等式对一切 x R恒成立，等价于不等 式卩(t) =t2- (k-4 ) t+ (k-1 ) > 0对任意t 、.2迈恒成立，以下分三种情况 讨论：(1) 当< 0 时，口( t) > 0,对 t .2,2恒成立，由 =(k 4)2-4 (k-1 )=(k-2 ) ( k-10 ) v 0 得 2v kv 10；(2) 当厶=0时，k=2或k=10，此时抛物线t2- (k-4 ) t+

9、 (k-1 )的顶点横坐标t=-1或t=3，卩(t ) > 0对任意t 、一 2,2恒成立；2口( t) =t - (k-4 ) t+ ( k-1 ) > 0(3) 当4> 0时，卩(t) > 0对任意t -、2,、2恒成立的充要条件是：V 0V 0k 4.2或"210 k 9 5 2综上所述得k的取值范围是2 2u(、.2)0 u( . 2)02,95&.评析：对于参数的抽象函数问题，通过挖掘隐含条件，寻求分类标准，逐类讨论，分而治之是解题的常用方法六、整体求解策略例 6、 f(x) , g(x)为奇函数，F(x)二af(x)+bg(x)+3(a,

10、b 为常数)假设 F二- 4,那么 F( - 4)=解:设© (x)=af(x)+bg(x), 那么© (x)=F(x) - 3,由题设可知© (x)为奇函数，© ( - 4)=-0即 F( - 4) - 3=-F(4) - 3，故 F( - 4)=10评析：运用整体思想求解，即先化整体为局部，再由各局部的解决使问题获解。七、正难那么反策略例7.f(x)在实集R上是增函数，a，b都是实数，假设f(a)+f(b)>f( -a)+f(-b),求证：a+b> 0。分析：此题假设用直接证法显然无从下手，但考虑用反证法那么问题可以很快解决。证明：假设

11、a+b<0，那么a<- b,b< - a,因为f(x)是R上的增函数，故 f(a)<f(- b),f(b)<f(- a)，两式相加：f(a)+f(b)<f(- a)+f( - b),这与条件 f(a)+f(b)> f(-a)+f( - b)矛盾，故假设不成立，于是 a+b> 0。八、数形转化策略例8.f(x)是R上的奇函数，在区间(0,+%)上是增函数，又f( - 3) =0，那么x f(x)的解集是()A、 x| 3v xv 0 或 x> 3 B> x|x v-3 或0x v 3C、 x|x v-3 或0v x v 3D、x| 3<x<0 或0v x v 3解：根据题设条件可画出函数y=f(x)的示意草图，如上图 f(3)= - f( - 3)=0,而 x f(x)<0 x 与 f(x)异号，由图象知一3<x