2020年广东省江门市港口中学高二数学理测试题含解析

1、2020年广东省江门市港口中学高二数学理测试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设双曲线的个焦点为f，虚轴的一个端点为b，如果直线fb与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（）abcd参考答案：d【考点】双曲线的简单性质；两条直线垂直的判定【分析】先设出双曲线方程，则f，b的坐标可得，根据直线fb与渐近线y=垂直，得出其斜率的乘积为1，进而求得b和a，c的关系式，进而根据双曲线方程a，b和c的关系进而求得a和c的等式，则双曲线的离心率可得【解答】解：设双曲线方程为，则f（c，0），b（0，b）直线fb

2、：bx+cybc=0与渐近线y=垂直，所以，即b2=ac所以c2a2=ac，即e2e1=0，所以或（舍去）【点评】本题考查了双曲线的焦点、虚轴、渐近线、离心率，考查了两条直线垂直的条件，考查了方程思想2. 已知=（x，y）|，直线y=mx+2m和曲线y=有两个不同的交点，它们围成的平面区域为m，向区域上随机投一点a，点a落在区域m内的概率为p（m），若p（m），1，则实数m的取值范围（）a，1b0，c，1d0，1参考答案：d【考点】直线和圆的方程的应用【专题】压轴题【分析】画出图形，不难发现直线恒过定点（2，0），结合概率范围可知直线与圆的关系，直线以（2，0）点为中心顺时针旋转至与x轴重合，

3、从而确定直线的斜率范围【解答】解：画出图形，不难发现直线恒过定点（2，0），圆是上半圆，直线过（2，0），（0，2）时，它们围成的平面区域为m，向区域上随机投一点a，点a落在区域m内的概率为p（m），此时p（m）=，当直线与x轴重合时，p（m）=1；直线的斜率范围是0，1故选d【点评】本题考查直线与圆的方程的应用，几何概型，直线系，数形结合的数学思想，是好题，难度较大3. 将正整数依次排列如下：1     23    456   78910  111213

4、1415 161718192021 由表知第5行第3列的数是13，若第2020行第2列的数是，则的各位数字中，数字0的个数为（  ）a. 0b. 1c. 2d. 3参考答案：b【分析】已知条件说明各行数值关系即可求解【详解】由题前n行中共有1+2+3+n个整数，故第2019行中最后一个数：，第2020行中第二列的数为：，故0的个数为1故选：b【点睛】本题考查数列的通项的求法，注意运用归纳猜想，注意运用假设，考查化简变形，运算能力和推理能力，属于中档题4. 已知a0，b0，且ab=1，则函数f（x）=ax与函数g（x）=logbx的图象可能是（）abcd参考答案：b

5、【考点】函数的图象；对数函数的图象与性质【分析】根据对数的运算性质，我们易根据ab=1，进而化简函数g（x）的解析式，然后根据反函数的定义，判断出函数f（x）与g（x）的关系，然后对题目中的四个答案逐一进行比照，即可得到答案【解答】解：ab=1g（x）=logbx=logax则函数f（x）=ax（a0且a1）与g（x）=logbx（b0且b1）互为反函数故函数f（x）=ax（a0且a1）与g（x）=logbx（b0且b1）的图象关于直线y=x对称故选b【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象与性质，指数函数的图象与性质，反函数的图象，其中利用对数运算性质，及反函数的定义，分析出函数f（x）与g

6、（x）的关系，是解答本题的关键5. 在空间中，下列命题正确的个数是（    ）平行于同一直线的两直线平行垂直于同一直线的两直线平行平行于同一平面的两直线平行垂直于同一平面的两直线平行a1b2c3d4参考答案：b略6. 盒中装有10个乒乓球，其中6个新球，4个旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次取出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为（    ）a b c. d参考答案：c7. 下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+）上单调递减的是（）ay=by=excy=x2+1dy=lg|x|参考答案：c考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的

7、判断与证明  专题：计算题；函数的性质及应用分析：根据偶函数的定义，可得c，d是偶函数，其中c在区间（0，+）上单调递减，d在区间（0，+）上单调递增，可得结论解答：解：根据偶函数的定义，可得c，d是偶函数，其中c在区间（0，+）上单调递减，d在区间（0，+）上单调递增，故选：c点评：本题考查奇偶性与单调性的综合，考查学生分析解决问题的能力，比较基础8. 复数=().a.2+ib.2-ic.1+2id.1-2i参考答案：c9. 已知函数f（x）=x3+ax2+b的图象在点p （1，0）处的切线与直线3x+y=0平行则a、b的值分别为（）a3，2b3，0c3，2d3，4参考答案：a【考

8、点】6h：利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】由题目条件知，点p（1，0）为切点，且函数在改点处的导数值为切线的斜率，由两直线平行的条件，从而建立关于a，b的方程，可求得a，b的值【解答】解：f'（x）=3x2+2ax，依题意有：f'（1）=3+2a=3，a=3又f（1）=a+b+1=0b=2综上：a=3，b=2故选a10. 下列求导运算正确的是(   )a                 

9、0;b   c                  d  参考答案：b略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 过点并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是          .参考答案：略12. 在平面直角坐标系xoy中，曲线c1和c2的参数方程分别为（为参数，）和（t为参数）

10、，则曲线c1和c2的交点坐标为      参考答案：（2，1）考点：圆的参数方程；直线与圆相交的性质；直线的参数方程专题：坐标系和参数方程分析：先把曲线c1和c2的参数方程化为普通方程，然后联立直线与曲线方程可求交点坐标解答：解：曲线c1的普通方程为x2+y2=5（），曲线c2的普通方程为y=x1联立方程x=2或x=1（舍去），则曲线c1和c2的交点坐标为（2，1）故答案为：（2，1）点评：本题主要考查了直线与曲线方程的交点坐标的求解，解题的关键是要把参数方程化为普通方程13. 右图是正方体平面展开图，在这个正方体中bm与ed平行；cn与be是

11、异面直线；cn与bm成60o角；em与bn垂直.   以上四个命题中，正确命题的序号是_.参考答案：略14.  设x、y、z为正实数，满足x2y3z0，则的最小值是_参考答案：315. 右图是选修12中推理与证明一章的知识结构图, 请把“合情推理”，“ 类比推理”，“综合法”，“反证法”，填入适当的方框内.（填序号即可）。参考答案：略16. 已知x，y为正实数，且+=1，则x+y的最小值为         参考答案：18【考点】基本不等式【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用【分

12、析】根据基本不等式的性质求出代数式的最小值即可【解答】解：若x，y为正实数，且+=1，则x+y=（x+y）（+）=+102+10=8+10=18，当且仅当=即x=2y时“=”成立，故答案为：18【点评】本题考查了基本不等式的性质，注意“一正二定三相等”的条件，是一道基础题17. 若抛物线的焦点坐标为(1,0)则=_;（2分）准线方程为_   _.(3分)参考答案：2 ，  略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 设点m，n的坐标分别为（2，0），（2，0），直线mp，np相交于点p，且它们的斜率之积是（）求点p的轨迹

13、c的方程；（）设过定点e（0，2）的直线l与曲线c交于不同的两点a、b，且aob为钝角（其中o为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围参考答案：【考点】j3：轨迹方程【分析】（i）设p（x，y），可得?=，（x±2），化简即可得出（ii）设a（x1，y1），b（x2，y2），直线l的方程为：y=kx+2与椭圆方程联立化为：（1+4k2）x2+16kx+12=0，0，解得k范围aob为钝角（其中o为坐标原点），可得=x1x2+y1y20，进而得出范围【解答】解：（i）设p（x，y），则?=，化为： +y2=1（x±2）点p的轨迹c的方程为： +y2=1（x±2）（i

14、i）设a（x1，y1），b（x2，y2），直线l的方程为：y=kx+2联立，化为：（1+4k2）x2+16kx+12=0，=256k248（1+4k2）0，解得：或kx1+x2=，x1x2=aob为钝角（其中o为坐标原点），=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+2）（kx2+2）0，即k2x1x2+2k（x1+x2）+40，k2?+2k?+40，化为：k21，与或k联立，解得k1或k1（不经过点（±2，0）直线l的斜率k的取值范围是（，1）（1，+）【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、不等式的解法、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题19. 设函数f(x)2c

15、os2xsin2xa(ar)(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)当x0，时，f(x)的最大值为2，求a的值。参考答案：略20. 已知，若是的必要而不充分条件，求实数的取值范围.参考答案：解:由题意 p:    4分q：8分又是的必要而不充分条件  12分14分 21. 已知函数f（x）（xr），f（x）存在，记g（x）=f（x），且g（x）也存在，g（x）0（1）求证：f（x）f（x0）+f（x0）（xx0）；（x0r）（2）设n），且1+2+n=1，xir（i=1，n）（nn+）求证：1f（x1）+2f（x2）+nf（xn）f（1x1+2x2+nx

16、n）（3）已知a，f（a），ff（a），ff（f（a）是正项的等比数列，求证：f（a）=a参考答案：【考点】数列的应用；导数的运算【分析】（1）构造辅助函数?（x）=f（x）f（x0）f'（x0）（xx0），求导，根据函数的单调性求得?（x）的极大值，?（x）?（x0）=0，即可得f（x）f（x0）+f'（x0）（xx0）；（2）由（1）可知，两边分别同乘以1，2，3，n，采用累加法，得1f（x1）+2f（x2）+nf（xn）（1+2+n）f（x0）+f'（x0）?1（x1x0）+2（x2x0）+n（xnx0），由1+2+n=1，设x0=1x1+2x2+nxn，则1（x

17、1x0）+2（x2x0）+n（xnx0）=0，即可证明1f（x1）+2f（x2）+nf（xn）f（1x1+2x2+nxn）；（3）分别求得f（a）=aq，ff（a）=aq2，ffff（a=aq3，x1+（1）x2=aq，fx1+（1）x2=f（aq）=ff（a）=aq2，可得： =fx1+（1）x2，由n=2，1=，2=1，即f（x1）+（1）f（x2）fx1+（1）x2，当且仅当x1=x2时成立，即a=aq2?a=1，可得f（a）=a【解答】解：（1）证明：设?（x）=f（x）f（x0）f'（x0）（xx0），则?'（x）=f'（x）f'（x0）g'（

18、x）0故g（x）=f'（x）为减函数，则x=x0为?（x）的极大值点?（x）?（x0）=0，即f（x）f（x0）+f'（x0）（xx0）（当且仅当在x=x0取到）（2）证明：由（1）可知：f（x1）f（x0）+f'（x0）（x1x0），两边同乘以1得1f（x1）1f（x0）+1f'（x0）（x1x0），2f（x2）2f（x0）+2f'（x0）（x2x0），nf（xn）nf（x0）+nf'（x0）（xnx0），上式各式相加，得1f（x1）+2f（x2）+nf（xn）（1+2+n）f（x0）+f'（x0）?1（x1x0）+2（x2x0）+n（

19、xnx0），因为1+2+n=1，设x0=1x1+2x2+nxn，则1（x1x0）+2（x2x0）+n（xnx0）=0，由此，1f（x1）+2f（x2）+nf（xn）f（1x1+2x2+nxn）等号当且仅当在x1=x2=xn时成立，（3）证明：记公比为q，q0，则f（a）=aq，ff（a）=aq2，ffff（a=aq3，取x1=a，=（0，1），则x1+（1）x2=aq，fx1+（1）x2=f（aq）=ff（a）=aq2，又f（x1）+（1）f（x2）=f（a）+（1）f（aq2），=f（a）+（1）fff（a），=aq+（1）aq3，=aq3+aqaq3，=aq3+aq（1q2），=aq3+aq（1q2），=aq2，即aq3+aq（1q2）=aq2=fx1+（1）x2，在（2）中取n=2，1=，2=1，即f（x1）+（1）f（x