2014年高三数学第一次模考理文试题及答案2013.10.2

1、知识在于积累,聪明在于勤奋;祝高三莘莘学子考试成功第 - 1 - 页 共 8 页2014 年高三第一次摸拟考试数学试题（理/ 文）第卷选择题（共 50 分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10 小题，每小题 5 分，共 50 分; ）1. 已知集合11ax xx或，2log0bxx，则 ab =（ a ） a 1x x b0 x x c1x x d11x xx或2. 已知ar，则“22aa”是“2a”的 ( b ) a.充要条件 b. 必要不充分条件 c.充分不必要条件 d.既不充分又不必要3. 已知( )f x是周期为 8 的奇函数，当0,2x时，(

2、)2 ,f xx 则f(-9)等于（ c ）a-4 b2 c-2 d4 4. 若 01x，则12 ,() ,(0.2)2xxx之间的大小关系为 ( d ）a12(0.2)( )2xxxb12( )(0.2)2xxxc1( )(0.2)22xxxd1(0.2)()22xxx5. 若函数( )f x满足22()logx xfxx，则( )f x的解析式是（b ）a. 2logx b. 2logx c. 2x d. 2x6. 函数2( )1logf xx与1( )2xg x在同一直角坐标系下的图象大致是（ c ）7. 给出下列四个命题，其中正确的是（ d ） a 若( ),( )xxf xx efx

3、e则bx=-1 为函数( )lnf xxx的一个极值点c函数3yx的单调增区间是(0,) d:3,:4,p xq xpq是的充分不必要条件8. 已知向量5(1,2),( 2, 4),|5,(),2abcabcac若则与的夹角为( c ) a30 b60 c120 d150知识在于积累,聪明在于勤奋;祝高三莘莘学子考试成功第 - 2 - 页 共 8 页9. 函数1( )( )cos0,52xf xxx在上的零点个数为（ b ）a2 b3 c4 d5 10 已知函数32( )fxmxnx的图象在点（-1， 2） 处的切线恰好与直线30 xy平行， 若( )f x在区间 ,1t t上单调递减，则实数

4、t 的取值范围是（ c ）a, 2b, 1c-2 ，-1 d2,第卷非选择题（共 100 分）二、填空题：本大题共5 小题，考生作答5 小题，每小题 5 分，满分 25 分11函数21( 10)sin()( )(0)xxxf xxe若(1)( )2,ff a则 a 的值为 1 或22；12当(1,3)x时, 不等式240 xmx恒成立 , 则 m 的取值范围是5m; 13设mn、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，给出下列命题：若m，n，则mn. 若mn，n，则m. 若m，则m. 若m，m，则. 其中正确命题的序号是 （写出所有正确命题的序号） ；14. 设( )lg(101)xf xax是

5、偶函数，4( )2xxbg x是奇函数，那么a+b的值为 1/2 . 15( 理) 已知函数( )3sin(2)f xx，把该函数的 导数的图象向右平移个单位后得到一个偶函数的图象，则的值可以是3;( 注：或可取3k中任一个都正确 ) （文）曲线313yxx在点4(1,)3处的切线与两坐标轴所围三角形面积是 1/9 ；三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本答题共6 小题，共 75 分）16(本题满分 12 分) 设函数( )sinsin()3f xxx. （1）求( )f x的最小值，并求使( )fx取得最小值的 x 的集合；（2）不画图，说明函数( )yf x的图像可由sin

6、yx的图象经过怎样的变化得到. 【解析】 （1）3sincos3cossinsin)(xxxxf知识在于积累,聪明在于勤奋;祝高三莘莘学子考试成功第 - 3 - 页 共 8 页xxxxxcos23sin23cos23sin21sin)6sin(3)6sin()23()23(22xx当1)6sin(x时，3)(minxf，此时)( ,234,2236zkkxkx所以，)(xf的最小值为3，此时 x 的集合,234|zkkxx,7 分(2)xysin横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍，得xysin3；然后xysin3向左平移6个单位，得)6sin(3)(xxf,12 分17.( 本题满分 12 分)

7、 （理）已知各项为正数的等差数列na满足*372832,12,2 ().nana aaabnn且（1）求数列na的通项公式；（2）设nnncab，求数列nc的前 n 项和.ns【解析】 :na是等差数列283712aaaa则由37371232aaaa解得:3748aa或3784aa.4分又0na3748aa则1d3(3)1naandn.6分2）由 1) 知12nnb,1nan112nnnncabn11221212()()()()()nnnnnsabababaaabbb.9分222 (12 )23(1)12(3)242nnnn n.12分（文）已知na是首项为 19，公差为 -2 的等差数列，n

8、s为na的前n项和. 1）求通项na及ns； 2 ）设nnba是首项为 1，公比为 3 的等比数列， 求数列nb的通项公 式及其前n项和nt. 知识在于积累,聪明在于勤奋;祝高三莘莘学子考试成功第 - 4 - 页 共 8 页解析： 1）由已知119,2ad则212nan;220nsnn,6 分2）12313221;202nnnnbntnn,12分18. ( 本题满分 12分) （理）二次函数)(xf满足xxfxf2)()1(，且1)0(f， 1）求)(xf的解析式； 2）在区间1 ,1上)(xfy的图象恒在mxy2图象的上方，试确定实数m的范围 . 解析： 1 ）由题设cbxaxxf2)()0

9、(a1)0(f1c又xxfxf2)()1(xcbxaxcxbxa2)() 1()1(22xbaax22022baa11ba1)(2xxxf,5 分 2 ）当1 , 1x时，1)(2xxxfy的图象恒在mxy2图象上方1 , 1x时mxxx212恒成立，即0132mxx恒成立令mxxxg13)(21 , 1x时，mgxg1131)1 ()(2min1m故只要1m即可，实数 m的范围1m,12 分（文） 已知函数32( )33f xxaxbxc在2x处有极值，且其图像在1x处的切线与直线310 xy垂直. 1)求函数的单调区间； 2)设函数( )fx在区间 ,1t t上的最小值为( )g t, 试

10、写出( )g t的函数表达式 . 解析:1) 由题知 :2363yxaxb由题意得 :1212303633abab解得:1,0ab知识在于积累,聪明在于勤奋;祝高三莘莘学子考试成功第 - 5 - 页 共 8 页则323yxxc可知236yxx令2360 xx解得:2x或0 x函数的单调递增区间是(,0)和(2,); 单调递减区间是 :(0,2) ,6 分2)由(1) 知函数2( )36fxxx由二次函数性质可知 :2236 ,1( )3,0133,0tt tg tttt,12分19( 本题满分 12分) (理)某市 5 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势如下图， 空气质量指数小于100表

11、示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染。 某人随机选择 5 月 1 日至 14日中的某一天到达该市，并停留2 天。（1）求此人到达当日空气重度污染的概率。（2）求此人在在该市停留期间只有一天空气重度污染的概率。（3）由图判断，从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）解析： 1）在 5 月 1 日至 14 日的这 13 天中， 1 日，2 日，3 日，7 日，12日，13 日共 6 天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率为6/13。,5 分2）根据题意，事件“此人在在该市停留期间只有一天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是 4 日，或 5

12、日，或 7 日，或 8 日” 。所以此人在该市停留期间只有1 天空气重度污染的概率为4/13。,4 分3）由图可知 5 月 5 日开始连续三天的空气质量指数方差最大。,3 分(文) 为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取 30 名高三年级学生， 以他们的数学成绩 （百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如下：知识在于积累,聪明在于勤奋;祝高三莘莘学子考试成功第 - 6 - 页 共 8 页甲乙 7 4 5 5 3 3 2 5 3 3 8 5 5 4 3 3 3 1 0 0 6 0 6 9 1 1 2 2 3 3 5 8 6 6 2 2 1 1 0 0 7

13、0 0 2 2 2 3 3 6 6 9 7 5 4 4 2 8 1 1 5 5 8 2 0 9 0 （1）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05 ，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（60分及 60 分以上为及格）；（2）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为12,x x，估计12xx的值. 【解析】 （1）30300.056000.05nn255306p（2）174013504246092670922805290230 x =208430254014503 1760 103370 10208059030 x =206930212084206

14、9150.5303030 xx20( 本题满分 13分) （理）已知1f，2f分别是椭圆15:22yxe的左、右焦点 .1f，2f关于直线02yx的对称点是圆c的一条直径的两个端点。(1) 求圆c的方程；(2) 设过点2f的直线 l 被椭圆 e 和圆 c 所截得的弦长分别为a ， b 。当 ab 最大时，求直线 l 的方程。解析:1) 由题设知 ,f1,f2的坐标分别为 (-2,0)和(2,0),圆 c的半径为 2, 圆心为原点 o关于直线x+y-2=0 的对称点 . 设 l 圆心的坐标为 (x0,y0), 由000012022yxxy解得0022xy所以圆 c的方程为（ x-2 ）2+（y-

15、2 ）2=4。2) 由 题 意 ， 设 直 线l 的 方 程 为x=my+2 ， 则 圆 心 到 直 线 l 的 距 离 为知识在于积累,聪明在于勤奋;祝高三莘莘学子考试成功第 - 7 - 页 共 8 页2|2|1mdm22222121222221642 5(1)(1)()4(1)(5)55mmamyyyymmmm所以224241bdm，由22215xmyxy得22(5)410mymy设 l 与 e的两个交点坐标分别为1122(,),(,)xyxy，则12122214,55my yyymm于是22222121222221642 5(1)(1)()4(1)(5)55mmamyyyymmmm从而2

16、22285185254511mabmmm所以当且仅当3m时， ab最大，此时直线 l 的方程为320 xy或320 xy。（文）已知1f，2f分别是椭圆15:22yxe的左、右焦点 .1f，2f关于直线02yx的对称点是圆c的一条直径的两个端点。(1) 求圆c的方程；(2) 设过点2f的直线 l 被椭圆 e的弦长为 a。当 a最大时，求直线 l 的方程。解析:1) 由题设知 ,f1,f2的坐标分别为 (-2,0)和(2,0),圆 c的半径为 2, 圆心为原点 o关于直线x+y-2=0 的对称点 . 设 l 圆心的坐标为 (x0,y0), 由000012022yxxy解得0022xy所以圆 c的

17、方程为（ x-2 ）2+（y-2 ）2=4。2)由题意，设直线 l 的方程为 x=my+2 ， 设 l 与 e的两个交点坐标分别为1122(,),(,)x yxy，由22215xmyxy得22(5)410mymy则12122214,55my yyymm于是22222121222221642 5(1)(1)()4(1)(5)55mmamyyyymmmm2 55所以当且仅当 m=0时， a最大，此时直线 l 的方程为2x。（另注：由通径最短说明也可）21.( 本题满分 14 分) （理） 已知函数ln( )1,( ),axf xg xxx且函数( )(1, (1)f xf在点处的切线与直线知识在于积累,聪明在于勤奋;祝高三莘莘学子考试成功第 - 8 - 页 共 8 页30 xy垂直. 1 ）求 a 的值； 2 ）证明：( )( )(0,)g xf xx在内恒成立 . 解析:1)2( )afxx(1)fa由已知( 1)1a1a2）令ln1( )( )( )(0)xxh xg xfxxx2ln( )xh xx令( )0h x即ln0 x解得：01x( )h x在(0,1)上单增，在上(1,)单减max( )( )(1)0hxhxh极大( )( )( )0h xg xfx即( )( )g xf x( 文)已知函数2( )sincosf xxxxx（