灰色理论及预测建模

1、 黑色系统：黑色系统：指一个系统的指一个系统的内部信息内部信息对外界来对外界来说是说是一无所知一无所知的，只能通过它与外界的联的，只能通过它与外界的联系来加以观测研究。系来加以观测研究。 白色系统：白色系统：是指一个系统的是指一个系统的内部特征内部特征是是完完全已知全已知的，即系统的信息是完全充分的。的，即系统的信息是完全充分的。灰色系统灰色系统： 是是指指“部分信息已知部分信息已知, ,部分信息未知部分信息未知”的的“小样小样本本”,“,“贫信息贫信息”的不确定性系统；的不确定性系统； 它它通过对通过对“部分部分”已知信息的生成已知信息的生成、开发，去、开发，去了了解、认识现实世界，实现对系

2、统运行行为和演化规律解、认识现实世界，实现对系统运行行为和演化规律的正确把握和描述的正确把握和描述. .灰色系统模型的灰色系统模型的： 计算量小、对计算量小、对试验观测数据及其分布没有特殊的试验观测数据及其分布没有特殊的要求要求和限制、直接从数据中提取信息和限制、直接从数据中提取信息，是，是一种十分简一种十分简便的新理论，便的新理论，具有十分宽广的应用领域。具有十分宽广的应用领域。 是我国学者是我国学者邓聚龙邓聚龙教授于教授于1919世世纪纪8080年代初创立并发展年代初创立并发展的理论。的理论。 它它把一般系统论，信息论和控制论的观点和把一般系统论，信息论和控制论的观点和方法延伸方法延伸到社

3、会、经济、生态到社会、经济、生态等抽象系统，结合等抽象系统，结合运用数学方法发展的一套解决灰色系统的理论运用数学方法发展的一套解决灰色系统的理论和和方法。方法。 20 20多年来，灰色系统理论引起了国内外学多年来，灰色系统理论引起了国内外学者的广泛者的广泛关注。灰色系统理论关注。灰色系统理论已成功应用到工业已成功应用到工业，农业，社会，经济等众多领域，解决了生产，农业，社会，经济等众多领域，解决了生产，生活和科学研究中的大量实际问题。生活和科学研究中的大量实际问题。 灰色系统灰色系统建模建模理论、灰色系统控制理论、理论、灰色系统控制理论、 灰色灰色关联分析关联分析方法、方法、 灰色灰色规划方法

4、、灰色决策方法规划方法、灰色决策方法等。等。 数学建模中常会遇到数据序列的预测问题，数学建模中常会遇到数据序列的预测问题，所以这里主要所以这里主要介绍介绍灰色系统建模理论及灰色系统建模理论及灰色序灰色序列预测。列预测。是指利用动态是指利用动态GMGM模型，对模型，对系统系统的时间序列进行数量大小的预测的时间序列进行数量大小的预测，即对系统的，即对系统的主行为特征量或某项主行为特征量或某项指标指标发展发展变化到未来特定变化到未来特定时刻出现的数值时刻出现的数值进行预测。进行预测。 (0)(0)(0)(0)(0)(0)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(0)(1)(0)1(1),(2),( )

5、,1,1(1),(2),( )( )( )1,2,kixxxxxnnxGMxxxxxnxxxkxikn 设设为为 为为数数据据个个数数若若根根据据原原始始数数据据建建立立，以以实实现现预预测测，则则为为 其其中中 与与之之间间满满足足如如下下关关系系 1 1原始数据序列次累加生成负数据序列非1-()AGO AccumulatingGeneration Operator 1 1次次累累加加生生 称称为为记记为为 成成，( )(1)11( )(1)(1)( )(1)1( )1(1)2)1(1:( )( )1,2,:( )( )( )(1)( )( )1( )( )krrikrrrrriirrjkk

6、riirrrxxkxiknxkxixkijxkxkxkx 次次次次有有下下述述关关系系 进进而而，有有到到的的累累加加为为 次累加生成 在在灰灰色色系系统统理理论论中中有有着着非非常常重重要要的的地地位位： 随随机机序序列列的的波波动动性性和和随随机机性性； 它它能能使使任任意意非非负负数数据据序序列列, ,摆摆动动的的或或非非摆摆动动的的, ,转转化化为为数数累累加加生生成成据据序序列列. .弱化非减的,递增的( )( )( )(0)( )( )(1)( )(0)( )(0)( )(2)( )(1)( )(1)( )( )(,:0( )( )1( )( )( -1)2( )( )( -1)r

7、rirrrrrrrrixrxxkxkxkxkxkxkxkxkix 若若为为 次次生生成成数数据据序序列列 对对作作记记为为其其基基本本关关系系式式为为次次累累减减 次次累累减减 次次累累减减 i i次次累累减减 次累减生成,)(1)( )(1)( )( )( )(1)ririrkxkxk (1)( )(0)( )(0)( )( )( )1(1)(1)11(2)( )(1)( )(1(1)(1)(1)( )(2)(1( ):( )( )(1)( )(1)( )( )( )( )(1)( )( )(1)rrrrrkkrriirrrkrrrirrxkxkxkxkxkxixixkxkxxkxkxikx

8、kx 从从上上式式还还可可得得到到以以下下关关系系12)1(2)()kirxik ( )( )()( )( )(0)1(1)(0)(0)(0)11(1)(0)(0)(1)(1)( )( )( )( ),.,.:1,( )( )( )( )(1)+( )( )( )irr irrkkiixkxkxkxkrxkxixixkxkxkxrkxkxr 同同理理可可得得从从上上式式可可以以看看出出 对对作作可可还还次次生生成成数数原原为为非非生生成成数数列列事事实实上上比比如如时时 有有 据据序序减减 列列次次累累累加中包含着累减,累减中包含着累加(1)k (1)( )( )( )( )(1).rrrxk

9、xkxk 进进一一步步有有从从生生成成数数据据序序列列求求还还原原数数据据序序列列时时，经经常常使使用用上上式式(3) (3) 均值生成均值生成 .:(1), (2), ( )( )( )0.5 ( )0.5 (1)( )Xxxx nkz kz kx kx kz k 分分为为与与生生成成两两种种对对于于的的数数据据序序列列，用用相相邻邻数数据据的的平平均均值值构构造造新新的的数数据据. .即即 若若有有原原始始数数列列 记记 点点的的生生成成值值为为 且且 则则称称为为显显然然, ,这这种种生生成成是是相相邻邻值值的的等等权权均均值值生生成成邻邻均均值值生生成成数数生生成成. .A.邻均值生邻

10、均值生等时成成非距邻均值 (1), (2), ( ), (1), ( )( )( ),( )0.5 (1)0.5 (1),( )Xxxkx kx nkkz kz kx kx kz k对对于于的的数数据据序序列列, ,或或虽虽为为等等时时距距数数据据序序列列, ,但但的的数数据据序序列列, ,用用空空穴穴两两边边的的数数据据求求平平均均值值构构造造新新的的数数据据以以填填补补空空穴穴。 即即：若若有有原原始始数数据据，为为空空穴穴记记 点点 的的生生成成值值为为且且 则则称称为为非非邻邻均均值值生生成成数数。显显然然, ,这这种种生生成成是是空空穴穴 前前后后信信非等B.非邻时距剔除异常值之后出

11、现生成穴均值空息息的的等等权权生生成成. .是是一一种种常常用用的的的的方方法法对对数数据据序序列列端端点点值值的的生生成成, ,无无法法采采用用均均值值生生成成填填补补空空缺缺, ,只只能能采采用用级级比比生生成成. .级级比比生生成成在在建建模模中中可可以以获获得得较较好好的的灰灰指指数数律律级级比比 (k(k级级比比生生成成是是与与) )光光滑滑比比 ( (生生成成的的总总称称) ). .k k. .填补序列端点空穴(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(1)(0)(0)(0)(0)(0)(1),(2),( )( )( )/(1)( )( )/(1),(2),(1),(1)(1)(

12、)( )(1)( )XxxxnkxkxkkxkxkXxnxnxnxn 对对于于原原始始数数据据序序列列 则则 设设为为端端点点是是空空穴穴的的原原始始数数据据序序列列用用的的右右邻邻级级比比生生成成若若 用用的的左左邻邻级级比比生生成成则则称称级比 光滑比(0)(0)(1)( )xxn和和为为级级比比生生成成 (0)(0)(0)(0)(1),(2),(1).1)XxxnGMx 设设非非负负原原始始数数据据序序列列的具体模型及计算步骤 (0)(1)(1)(1)(1)(1)0,(1),(2),( ),( )( )1,2,.,kiXXxxxnxkx ikn 对对原原始始数数据据序序列列作作一一次次累

13、累加加 得得到到 生生成成数数据据数数列列为为其其中中STEP1： (1)(1)(1)(1)(1)(1)( )(1.1)-=-(1)(1)xkGMdxaxudtaauuxkazx ku 建建立立的的一一阶阶线线性性微微分分方方程程 发发展展系系数数 待待定定参参数数，其其中中灰灰色色作作用用量量将将上上式式离离散散化化, ,即即得得 STEP2：(1)(1)(1)(1)(1)(1)-(1),(1)-(1)xkxkdxzkkdt在在时时刻刻的的累累减减生生成成序序列列在在时时刻刻的的背背景景值值. .因因为为 (1)(1)(1)(1)(0)(1)(1)(1)(1)(1)( )(1)1(1)(1)

14、( )2xkxkxkxkzkxkxk从从而而有有 (0)(1)(1)1(1)( )(1)2xkaxkxku建建立立均均值值生生成成矩矩阵阵B B及及常常数数向向量量Y YSTEP3：(1)(1)(0)(1)(1)(0)(0)(1)(1)1(1)(2)12(2)1(2)(3)1(3)2( )1(1)( )12=YBxxxaxxxuxnxnxnaY Bu 则则 待待求求解解参参数数向向量量 11=TTTTTTauY BB Y B BB BB YaB BB Yu 最最小小二二乘乘法法求求取取参参数数向向量量 以以STEP4： (1)(1)=,adxaxudtu 把把求求取取的的参参数数代代入入并并求

15、求取取微微分分方方程程以以解解为为STEP5：(1)(0)(1)(1)akuuxkxeaa (1)(1)(1)( )xkxk 对对及及离离散散，还还原原得得到到 近近似似原原始始数数据据序序列列STEP6：(1.1).GM以以上上为为模模型型灰灰色色预预测测的的具具体体计计算算公公式式(0)(1)(1)(1)(1)(1)( )(1)(1)aakxkxkxkuexea 模模型型选选定定之之后后, ,一一定定要要经经过过检检验验才才能能判判定定其其是是否否合合理理, ,只只有有通通过过检检验验的的模模型型才才能能用用来来作作预预测测。 灰灰色色模模型型的的精精度度检检验验一一般般有有三三种种方方法

16、法: : 下下面面对对这这三三种种方方法法做做个个简简单单介介绍绍. .相对误差大小检验法后验差检验法关联度检验法(1) 相对误差检验法(1)(1)(0)(1.1),GMXXX设设按按建建模模法法已已求求出出并并将将做做一一次次累累减减转转化化为为即即(0)(0)(0)(0)(1),(2),( )Xxxxn STEP1: 计算残差 (0)(0)(1), (2), ( )Eeee nXX(0)(0)(0),( )( )( ),1,2,ekxkxk kn其其中中STEP2 : 计算相对误差(0)(0)( )( )100%,1,2,( )ekq kknxkSTEP3 : 计算平均相对误差11( )n

17、kqq kn (2) 后验差检验法(0)(0)22122(0)2112(0)221(1.1),1( )1( )nknkGMXEXESSSxkxnSeken 按按建建模模法法所所求求出出的的及及残残差差序序列列设设原原始始序序列列及及残残差差序序列列 的的方方差差分分别别为为和和则则(0)1(0)11( )1( )nknkxxkneekn 其其中中计算方差比21/CSS 1( )0.6745pP e keS计算小误差概率 211221=1=CpSCSSSSCS 指指标标 和和 是是的的两两个个重重要要指指标标. .原原始始数数据据方方差差，原原始始数数据据离离散散程程度度大大残残方方差差, ,即

18、即残残差差离离散散程程度度小小. .尽尽管管原原始始数数据据很很离离散散, ,而而模模型型所所得得计计算算值值与与实实际际值值之之差差并并不不太太离离散散. .后验指标越小越好差：检验 110.6745,0.6745,.ppPeeSpSC p 越越大大 表表明明残残差差与与残残差差平平均均值值之之差差小小于于给给定定值值的的点点较较多多 即即拟拟合合值值( (或或预预测测值值) )分分布布比比较较均均匀匀. .按按两两个个指指标标 可可综综合合评评定定预预测测模模型型的的精精度度模模型型的的精精度度由由后后验验差差和和小小误误差差概概率率共共同同刻刻划划. .2 指标小误差概率 越大越好模型精

19、度等级模型精度等级均方差比值均方差比值C 小误差概率小误差概率p1级（好）级（好）C=0.350.95=p2级（合格）级（合格）0.35C=0.50.80=p0.953级（勉强）级（勉强）0.5C=0.650.70=p0.804级（不合格）级（不合格） 0.65CP0.70精精度度检检验验等等级级参参照照表表 ,Max pC 模模型型的的精精度度级级别别的的级级别别于于是是的的级级别别一一般般地地, ,将将模模型型的的精精度度分分为为四四级级, ,见见下下表表。(3)关联度检验法 灰灰关关联联分分析析实实质质上上就就是是比比较较数数据据到到曲曲线线几几何何形形状状的的接接近近程程度度： 一一般

20、般来来说说, ,几几何何形形状状越越接接近近, ,变变化化趋趋势势也也就就越越接接近近, ,关关联联度度就就越越大大. . 在在进进行行关关联联分分析析时时必必须须先先确确定定参参考考数数列列, ,然然后后比比较较其其它它数数列列同同参参考考数数列列的的接接近近程程度度, ,这这样样才才能能对对其其它它数数列列进进行行比比较较, ,进进而而做做出出判判断断. . 000000000(1),(2),( ) ,(1),(2),( ) ,1,2,:min( )( )maxmax( )( )( )( )maxmax( )( )1,2,iiiiiiijijijiiijXXXXnXXXX nimXXXjX

21、jXjXjXjXjXjXjjn 设设参参考考序序列列 其其它它序序列列 则则与与的的关关联联系系数数为为从从关关联联系系数数的的计计算算来来看看, ,得得到到比比较较序序列列与与参参考考序序列列在在各各点点的的关关联联系系数数值值, ,结结果果较较多多, ,信信息息过过于于分分散散, ,不不便便于于比比较较, ,因因而而有有必必要要将将每每一一比比较较数数列列各各个个时时刻刻的的关关联联系系数数集集中中体体现现在在一一个个值值上上, ,这这一一数数值值就就是是灰灰关关邓邓氏氏灰灰联联度度. .色色关关联联度度为为11niijjn (0)(0)(0)(0)0000(0)(0)(0)(0)(1),

22、(2),( ),(1),(2),( ) ,1,2,.(1(,2,),.1,2,),iiiiXxxxnmXxxxnimmimmii i ii i设设原原始始数数据据序序列列为为参参考考序序列列 用用 种种灰灰色色如如果果r r在在所所有有关关联联度度中中建建模模方方法法所所得得模模型型值值分分别别为为求求出出该该 个个序序列列与与参参考考序序列列的的邓邓最最大大 则则第第 种种灰灰色色建建模模方方法法为为所所建建模模型型中中最最好好关关联联度度的的模模型型氏氏1.已知某公司1999-2008年的利润(元/年)为 89677, 99215, 109655,120333,135823, 159878

23、,209407,246619,300670要求：对该公司未来几年的利润情况进行预测.(1)对原始数据进行累加；(2)构造累加矩阵B与常数向量；(3)求解GM(1,1)模型参数向量;(4)将参数代入预测模型进行数据预测 及模型检验。% 基于灰色模型的公司未来几年利润情况预测% 0，工作环境的准备：从内存中移除变量及函数占用空间；快捷构建符号对象a,bclearsyms a b;c=a b;% 1,给定1999-2008年共计10年的利润数据-原始数据序列AA=89677,99215,109655,120333,135823,159878,182321,209407,246619,300670;%

24、 2，原始数据序列的预处理-累加生成法，得到生成序列BB=cumsum(A); % 对原始数据序列累加生成，得生成序列n=length(A); % 确定原始序列的长度for i=1:(n-1) C(i)=(B(i)+B(i+1)/2; % 基于生成序列，生成累加矩阵end% 3， 计算待定参数的值% 确定常数向量YD=A;D(1)=;D=D;% 确定矩阵EE=-C;ones(1,n-1);% 基于最小二乘法（伪逆）得估计的参数向量c=inv(E*E)*E*D;c=c;% 返回估计的两个待定系数a=c(1);b=c(2);% 4. 预测后续数据F=;F(1)=A(1);for i=2:(n+10

25、) F(i)=(A(1)-b/a)/exp(a*(i-1)+b/a ;endG=;G(1)=A(1);for i=2:(n+10) G(i)=F(i)-F(i-1); %得到预测出来的数据得到预测出来的数据end t1=1999:2008;t2=1999:2018;plot(t1,A,o,t2,G,+,t2,G) %原始数据与预测数据的比较原始数据与预测数据的比较xlabel(年份年份(1999-2018);ylabel(利润利润(元元/年年);legend(1999-2008年利润真实数据年利润真实数据,1999-2018年利润预测数据年利润预测数据);title(基于灰色模型的年利润预测基

26、于灰色模型的年利润预测)2.长江水质预测(CUMCM2005A)长江的水质问题是个复杂的非线性系统，若已知1995-2004年的年污水排放情况，要求对未来10年的污水排放情况进行预测。提供的样本数据少，但需预测时间长，污水排放量的变化是不确定的，因此考虑采用灰色模型预测。年份 1995-2004年污水量/亿吨174,179,183,189,207,234,220.5,256,270,285clearsyms a b;c=a b;A=174 179183189207 234 220.5 256270285;B=cumsum(A); % 原始数据累加原始数据累加n=length(A);for i=

27、1:(n-1) C(i)=(B(i)+B(i+1)/2; % 生成累加矩阵生成累加矩阵end% 计算待定参数的值计算待定参数的值D=A;D(1)=;D=D;E=-C;ones(1,n-1);c=inv(E*E)*E*D;c=c;a=c(1);b=c(2);% 预测后续数据预测后续数据F=;F(1)=A(1);for i=2:(n+10) F(i)=(A(1)-b/a)/exp(a*(i-1)+b/a ;endG=;G(1)=A(1);for i=2:(n+10) G(i)=F(i)-F(i-1); %得到预测出来的数据得到预测出来的数据end t1=1995:2004;t2=1995:2014

28、;G, a, b % 输出预测值，发展系数和灰色作用量输出预测值，发展系数和灰色作用量plot(t1,A,o,t2,G,+,t2,G) %原始数据与预测数据的比较原始数据与预测数据的比较xlabel(年份年份(1995-2014);ylabel(污水量污水量(亿吨亿吨);legend(1995-2004年排污真实数据年排污真实数据,1995-2014年排污预测数据年排污预测数据);title(基于灰色模型的长江污水排放预测基于灰色模型的长江污水排放预测) 4 4.1 .1 传统传统GM(1.1)GM(1.1)模型背景值对预测精度的影响模型背景值对预测精度的影响 4 4.2 .2 基于积分背景值

29、构造法的改进基于积分背景值构造法的改进GM(1.1)GM(1.1)模型模型对对原原始始非非负负数数据据序序列列 (0)(0)(0)(0)(1),(2),( )Xxxxn (1)(0)1( )( ),1,2, .kixkxi kn 其其中中, ,4.1 传统GM(1,1)模型背景值的影响 (1)(1)(1)(1)(1),(2),( )Xxxxn (1):AGO 作作一一次次累累加加得得(1)( )(1.1),XkGM由由一一阶阶生生成成模模块块建建立立模模型型对对应应的的白白化化微微分分方方程程为为: :(1)(1)( )( )(4.1)dxtaxtudt将将上上式式在在区区间间 k k, ,k

30、 k+ +1 1 上上积积分分, ,得得: :1(1)(1)(1)(1)( )( ),kkxkxkaxt dtu ,1,2,1.kn其其中中,.a u其其中中为为待待辨辨识识常常数数:若若令令背背景景值值为为(1)(1)(1)1(1)(1)( ),1,2,1.2zkxkxkkn1(1)(1)(1)(1)( )( ) ,1,kkkxt dtxtk k 设设z z为为在在匀匀间间上上的的背背景景值值 则则有有(1)(1)(1)(1)( )(1),xkxkazku则则白白化化微微分分方方程程(4.1)(4.1)的的离离散散解解为为: :(1)(1)(1)(1)akuuxkxeaa 还还原原到到原原始

31、始数数据据为为: :(0)(1)(1)(1)(1)(1)( )(1)(1)aakxkxkxkuexea 传传统统的的背背景景值值取取为为,(1.1),GMauau从从上上式式可可以以看看出出模模型型拟拟合合和和预预测测的的精精度度取取决决于于常常数数 和和而而常常数数 和和 又又取取决决于于模模型型的的背背景景值值, , 可可见见合合理理的的构构造造模模型型的的背背景景值值可可以以提提高高模模型型的的预预测测精精度度. .(1)(1)(1)1(1)(1)( ),2zkxkxk而而实实际际的的背背景景值值为为: :1(1)(1)(1)( )kkkxt dt z z,(1.1),GMauau也也就就是是说说 传传统统的的模模型型, , 在在确确定定待待识识别别常常数数 和和 时时 是是利利用用梯梯形形面面积积来来近近似似曲曲边边梯梯形形的的面面积积. .可可见见传传统统背背景景值值的的构构造造方方法法精精度度较较低低, ,进进而而引引起起常常数数 和和 的的值值偏偏离离正正常常数数 使使模模型型预预测测精精度