2020-2021年北京西城高三期末数学试卷附答案

1、2021北京西城高三（上）期末2021.1本试卷共5页，共150分，考试时长120分钟。考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小麴，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。(1)己知集合力= x|lvx<3, 8 :x|0vxw4,则/1UB =(A) (0,3)(D) (-1,4)(C) (0,4(D) (-1,4（2）在复平面内，身数二所对应的点的坐标为（I.T）,则二5 ）(A) 2(B) -2i(C) y/2(D) 2i(A) /(2)=2(4)己知4(4,8), 8(2,4),C（Ay）三点共线，

2、ay的值为(A) 4(B) 5(C)6(D) 7<3）已知/（x）为奇函数，其局部图象如图所示，那么(B)/(2) = -2（5）己知双曲线捺-卓=1的焦足等于实轴长的2倍，则其渐近线的方程为(A) y = ±y/3x(B) y=±2x(C)(D) y=±-x<6）已知半径为2的ES经过点（1,0）,其圆心到直线3x-4y+l2 = 0的距衰的最小值为(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3<7）己知函数/（x） = sin2x,xeg.6J,则“b-a云楙”是“/的值域为-L1J”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件<C)充分必

3、要条件(D)既不充分也不必要条件(8)被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式，C = Kb&(l+)，其中。为最大数据传输速率，单位为 biUs； J,为信道带宽，单位为Hz； J为信噪比,香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用.当199. % = 2000Hz时，最大数据传轴速率记为J 当堤= 9999, J/ = 3000Hz时，最大数据传输速率记为 NAG，则a为 ci(A) I (B) -(C) (D) 324(9)设函数/(x)和g(x)的定义域为。，若存在非零实数c£。，使得/(c) + g(c)=O.则称函数/(x)和以幻在。 上具有性质P.现有三组函数：

4、x) = x,=/(*) = 27, g(x) = Y'/(*) = -/,或幻=2'其中具有性质P的是(A)(B)(C)®(D)®(10)在校长为】的正方体46CD-44GA中，分别为BR.4G的中点，点?在正方体的表面上运动，且 满足A/尸J.QV,则卜.列说法正确的是<A)点户可以是楂的中点(B)线段的最大值为日点P的轨迹是正方形(D)点P轨迹的长度为2;石第二部分(非选择题共110分)一、填空题共5小题.每小题5分，共25分。(11) (x-2)5的展开式中x的系数是.(12)数列4是公差为-2的等差数列，记何的前项和为Z，且q,4,q成等比数

5、列，则q=(13)一个三棱锥的三视图如图所示，该三校锥中最氏棱的长度为.£ (£)wn(14)已知蜿物线Q:炉=2度(夕0)的焦点为尸.过点M(T,4)作卜轴的垂线交版物线C于点力,且满足AFAM,则购物线。的方程为:设直线/交抛物线C于另一点8,剜点6的纵坐标为.(15 )炎炎爱日，冰激凌成为非常受欢迎的舌尖上的味道.某商店统计了一款冰激凌6月份前6天母天的供应量和 销售房，结果如下表，6月1日6月2日6月3日6月4日6月5日6月6日供应量901009010090100销售量809085809085记/为6月1日冰激凌的供应量，力为6月I日冰激凌的销伟量，其中1 = 12

6、.30.用销凌的数/)”中 十 】)+川人一。x 100%,( W 1,£N)来转价从6月1日开始连续天的冰激凌的销售情 )+ P" +1) + + + - 1)况.当刀=1时，表示6月，日的日销件指数.给出下列四个结论:在6月1日至6日这6天中，P(4,l)最小，。5,1)最大:在6月1日至6日这6天中,H销售指数越大，说明该天冰激凌的梢售量越大：？(1,3)一2(4.3)：如果6月7日至12 口冰激凌每天的供应量和销生量与6月1日至6日每天的供应量和 销售量对应相等,则对任意w1,234,5,6.7,都有叩,6) = "1.12).其中所有1E确结论的序号是.

7、三、解答题共6小虺，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。(16) (本小题13分)如图，在直三极柱力8C-4""中，4" = RC = 2,彳4=4. ABLAC, BE工4小交A4干点E , D为CQ 的中点.< 1)求证：8E J.平面力4ct< 11)求二面角。-力4一0的余弦值.(17)(本小题13分)已知力8C的面积为4应，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求,< 1)b和C的值:(II) sin(4-0 的值.条件:a=6,c。sC = T：条件M = C,cosB = -；.注：如果选择条件和条件分别解答，技

8、第一个解答计分.(18(本小题14分)防洪工程对防洪减灾起着重要作用，水库是我国广泛采用的防洪工程之一，既有滞洪作用又有蓄洪作用.北京地 区2010年至2019年每年汛末(10月I日)水库的蓄水量数据如下：年份2010201120122013201420152016201720182019蓄水量(亿立方米)!1.2513.2513.5817.412.412.118.326.534.334.1(I)从2010年至2019年的样本数据中随机选取连续两年的数据,求这两年蓄水量数据之差的绝对值小于I亿 立方米的概率：(II)从2014年至2019年的样本数据中诲机选取两年的数掂，设X为翡水最超过33亿

9、立方米的年份个数，求 的机变量X的分布列和数学期里：(III)由表中数据判断从哪年开始连续三年的水库蓄水量方差最大？(结论不要求证明)(19)(本小题15分)已知函数/(x) = x；-x. 求曲线y = 刈在点(1 , /)处的切线方程;(II)求函数/(x)的单词区间和极值：(III)设函数幻=4”)-2, xw(0e),试判断的零点个数，并证明你的结论. xsmx(20)(本小题15分)已知椭隰C: ? + = 1.(I)求椭身。的离心率和长轴长：(H)已知直线y = h + 2与椭踹。有两个不同的交点46. P为x轴上一点,是否存在实数上,使得尸，"是 以点P为直角顶点的等腹

10、直角三角形？若存在，求出女的假及点P的坐标：若不存在，说明理由.（21）（本小题15分）对于数列MJ，定义。：二厂；设也：的前项和为设。. =、.写出 W，Q；, W，：:UD证明：”对任意cZ,有S：的充要条件是“对任意eN有|%-。"二】><111）已知首项为0.项数为m+1（心2）的数列4满足：对任意 1 ww帆且neN.有q.j-qwf-LOJ：S； = %.求所有满足条件的数列q的个数.2021北京西城高三(上)期末数学参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分)(I) D A(3) C (4) C(5> A (6> B <7) B (

11、8)D(9) B (10) D二、填空题(共5小题，每小题5分，共25分)(II) 80 (12) 8, f2 + 9(13)2苏(14) V = 4x,U5)注，第(12)和(14)题第一空3分,第二空2分.第(15)题全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3 分.三、解答卷(共6小强,共85分)(16)(共 13 分)解：(I)因为三棱柱/18C-44G为直三棱柱，所以力4，平面/"C,所以例1.4。1分因为-5044=4,所以4CJ.平面44乌43分因为BEu平面/48声,所以/CJ.AE4分因为 Ml 片,ac?aba9所以MJ,平面幽C5分(II)由(I)知力8,力仁4

12、4,两两垂直，如图建立空间直角坐标系4-小.则为(。0,0) ,瓦(20,4) “(022).8(2,0,0).7分设£(0,0,«)，所以 AD=(fi2,2),力瓦二(2,0,4) ,“=(一2,0,。)'因为 AB -L BE 9 所以4</ 4 = 0 9 即 u 8分所以平面世C的一个法向量为而+2,01)9分设平面AB、D的法向量为 =二)，所以!.而=。.所以口，+ 23,即匕7, 10分“ "jK.n12x + 4z = 0.；x = -2z.令二二-1则x = 2y = l ,所以平面ABD的一个法向母为 = (2J,-1)II分1

13、2分所以cos<5前处二"叵 | if | V6xV5 6由已知，二面用C-44-。为锐角，所以二面角C-彳用一。的余弦值为叵13分6(17)(共 13 分)若选择条件：解：(I)在48C中.因为cosC = -g,所以CeW，m，sinC = J1-WC =半2分因为S =；。力sinC = 4>/I, a = 6 ,所以6 = 24分由余弦定理，c2 =a2 +b2 -2aftcosC = 48, 5 分7分所以c = 466分(II)由正弦定理二一=三=三 sin/ sin B sine所以si“邛,Sins邛9分因为48£呜),所以85/二半，C0S8;

14、平11分所以 sin(4 - 8) - sin 4cos 8 - cos /sin 813分若选择条件；解：(I)在48C中，因为/f=C,所以a = c因为cos 8 二一1，所以sinB = 71 - cos' B =2 分929因为S =4csin8c? 乂 = 4及, 229所以a-c = 342 4分由余弦定理，b2 = tf2 + c - lacccB- 64 ,所以b = 86分(II)由正弦定理得，一=今, sin A sin B所以 sin 4 = sin 8 = x = 18分b 893因为/£(0,§,所以cos力二 Jl -$in°

15、 4 =10 分月f 以 sin(4 - 5) = sin J cos B - cos J sin B（18）（共】4分）解：（D设事件A为“连续两年的蓄水量数据之差的绝对值小于I亿立方米*从2010年到2019年的样本数据中随机选取连续两年共有9种可能,2分山图表可知，事件A包含“2011年和2012年）由014年和2015年7由018年和2019年”3分所以尸（力）=| = ；4分（II）由表可知，2014到2019年的样木数据中，蓄水量超过33亿立方米有2年，蓄水量不超过33亿立方米有 4年.随机变量X的所有可能取值为0, 1, 25分C。62P(-V=0) = -L = - = - P

16、(X=1) =C2 .C01P(*=2)=皆 $8分L.1J所以随机变量X的分布列为:9分X012P25815£1522 I 2所以 E(X) = 0xq + lx + 2 不=§11 分(I1D从2016年开始连续三年的水库蓄水量方差最大14分(19)(共 15 分)解:(I)由/(x) = P-x得八2=3，11分因为/(1) = O r(l) = 23分所以曲线y = /(x)在点(L/。)处的切线方程为=七24分(H)令/'(幻=0,得3/-1=0,解得.丫 = 一或*当x变化时./(劝和/'(X)变化情况如下表：X(-co,-y)3旦 3(y. +

17、 <»)/'.00+/(幻024326 97分所以，/(X)的单调递减区间是(-日,乎)，单调递增区间是叫-殍人 g.+8)：/(X)在X二-g处取得极大值竽，在X二半处取祖极小值-学.9分一一1(III) x丘(0.幻，«刈=0,即=-2 = 0,smx等价于-l-2sinx010分设g(x) = x2 -1 - 2sinxtxe(0,n),则gr(x) = Zr-2cosx.当上呜时.g(x)>0, g(外在区间与x)上单调递增.又以)=：-3<0, g(z) = x2 -l>0.24所以g在区间亨正)上有一个零点11分当x£(

18、0, 时,设 h(x) = g9(x) =2x-2cosx./x) = 2 + 2sinx>0,所以g'(x)在区间IO,手上单调递增12分又g'(o)= -2yo* &'(?) 五>0,所以存在”(0令使得gg = 0.所以，当xw(0,x°)时，g(x) <0 f g(x)单调递减:当时，g'(x)>o9 g(x)埴询递增13 分2又g(0) = T<0, gg)=9-3v0, 24所以g(x)在区间(0,今上无零点14分综上所述，函数外在定义域内只有一个零点15分(20)(共 15 分)解：(I)由题意：a?

19、 = 4 ,= 2,所以。=21分因为/=从+。2,所以1=2, c = V22分所以2 = £ =蟀3分a 2所以府圆C离心率为弓，长轴长为44分II)联立y = kx + 2.44-消y整理知(2*+1*+如+ 4 = 05分因为直线与椭圜交于48两点，故A>0.解得公>；_汝4设/(芭.乂)，8(%)，则玉+&=而二7，而七=后3印+1故。(-4k22r+1'2公+1假设存在上和点P(hO),使用尸是以尸为宜角顶点的等腰直角三角形.所以.驾上 11=7.解得加=哥，故外箫,°)又因为4PB =1,所以而,而0所以（ _胴,乂）（0_勿，/）

20、=0 , aP（xI-/nX.rl-/n） + y2 =0.整理得（产 +1）玉& +（2A /w）（X1 + xi） + zn? 4 4 = 0 .4QL所以 +（督一用）4 + "/44 = 012/A +1/青 1代入加=工号_,整理得K = |,即a2 Ml4分2JT+1当£-1时.P点坐标为g,0）：当&】时.P点坐标为（-|,0）.此时,仍是以尸为直角顶点的等腰直角三角形 (21)(共 15 分)解：(I)因为4=1，%=：，%=：，%=1，% = ， 22 X 432根据题意可得&=-1(II)必要性：对 =1,有S；=%-4因此 1%-41 = |5：|二|0：1二15分