2022年河北省秦皇岛市综合中学高三数学理联考试卷含解析

1、2022年河北省秦皇岛市综合中学高三数学理联考试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 贵阳地铁1号线12月28日开通运营，某机车某时刻从下麦西站驶往贵阳北站的过程   中，10个车站上车的人数统计如下：70、60、60、50、60、40、40、30、30、10，则这   组数据的众数、中位数、平均数的和为   a.        b.      

2、c.       d. 参考答案：d2. 是虚数单位，a.     b.     c.     d.参考答案：d3. 已知函数f（x）=（xr），若关于x的方程f2（x）mf（x）+m1=0恰好有4个不相等的实根，则m的取值范围是（）a（2， +2）b（1， +1）c（1， +1）d（2， +2）参考答案：a【考点】54：根的存在性及根的个数判断【分析】令g（x）=f2（x），判断g（x）的单调性，从而得出f（x）的单调性，设

3、f（x）=t，得出方程f（x）=t的解的情况，从而得出关于t的方程t2mt+m1=0的根的分布情况，利用二次函数的性质列出不等式组即可解出m的范围【解答】解：设g（x）=f2（x）=，则g（x）=，当x0或x时，g（x）0，当0时，g（x）0，g（x）在（，0）上单调递减，在（0，）上单调递增，在（，+）上单调递减，f（x）=0，f2（x）=g（x），f（x）在（，0）上单调递减，在（0，）上单调递增，在（，+）上单调递减，作出f（x）的大致函数图象如图所示：设f（x）=t，则当t0时，方程f（x）=t无解，当t=0或t时，方程f（x）=t有1解，当t=时，方程f（x）=t有2解，当0t时，方

4、程f（x）=t有3解关于x的方程f2（x）mf（x）+m1=0恰好有4个不相等的实根，关于t的方程t2mt+m1=0在（0，）和（，+）0上各有1解若t=0为方程t2mt+m1=0的解，则m=2，此时方程的另一解为t=1?（0，），不符合题意关于t的方程t2mt+m1=0在（0，）和（，+）上各有1解，解得2m2+故选a4. 函数的导函数为，对任意的都有成立，则（     ）a       b        

5、0;   c       d与的大小不确定参考答案：  a5. 已知集合,则（   ）a        b         c         d 参考答案：c解析：本题考查集合的基本运算，属于基础题. ，故选c.6. 如图，平面四边形abcd中，e、f是ad、bd中点

6、，abadcd2， bd2 ，bdc90°，将abd沿对角线bd折起至，使平面平面bcd，则四面体中，下列结论不正确是 (    )a. ef平面b. 异面直线cd与所成的角为90°c. 异面直线ef与所成的角为60°d. 直线与平面bcd所成的角为30°参考答案：c【分析】根据线线平行判定定理、异面直线所成角、直线与平面所成角等知识对选项a、b、c、d进行逐一判断其正确与否.【详解】解：选项a：因为e、f是ad、bd中点，所以，因为平面，平面，所以ef平面，所以选项a正确；选项b：因为平面平面bcd，平面平面bcd，且bd

7、c90°，即，又因为平面bcd，故平面，故，所以异面直线cd与所成的角为90°，选项b正确；选项c：由选项b可知平面，所以，因为adcd2，即cd2，所以由勾股定理得，在中，bc，在中，故，即，因为，所以，故选项c错误；选项d：连接因为所以因为是中点，所以，因为平面平面bcd，平面平面bcd，又因为平面，故平面，所以即为直线与平面bcd所成的角，在中，所以，所以，故直线与平面bcd所成的角为30°，故选项d正确，本题不正确的选项为c，故选c.【点睛】本题考查了直线与平面的位置关系，解题的关键是要能准确运用线面平行的判定定理给与证明，能准确分析出线线、线面所成角等.

8、7. 以为公比的等比数列中，则“”是“”的（   ）a必要而不充分条件              b充分而不必要条件c充分必要条件                  d既不充分也不必要条件参考答案：a略8. 曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为a.     

9、60;  b.      c.      d.参考答案：a9. 命题“”的否定是（    ）a. b. c. d. 参考答案：d【分析】直接利用全称命题的否定解答.【详解】因为全称量词命题的否定是特称量词命题，所以命题“”的否定是“”.故选：d【点睛】本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10. 定义为个正数的“快乐数”.若已知正项数列an的前n项的“快乐数”为，则数列的前2019项和为（  ）a. b. c. d. 参考答案：b【分析】

10、根据“快乐数”定义可得数列的前项和；利用与关系可求得数列的通项公式，从而得到，采用裂项相消法可求得结果.【详解】设为数列的前项和由“快乐数”定义可知：，即当时，当且时，经验证可知满足    数列的前项和为：本题正确选项：【点睛】本题考查根据求解数列的通项公式、裂项相消法求解数列的前项和；关键是能够准确理解“快乐数”的定义，得到；从而利用与的关系求解出数列的通项公式.二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设f为抛物线的焦点，与抛物线相切于点p（4，4）的直线l与x轴的交点为q，则pqf的值是参考答案：【考点】抛物线的简单性质【分析】先求切线方程，

11、从而可得q的坐标，计算，可得，从而可得结论【解答】解：由题意，焦点坐标为f（0，1）先求导函数为： x，则p点处切线斜率是2，与抛物线相切于点p（4，4）的直线l的方程为y=2x+4，交x轴于q（2，0），故答案为【点评】本题以抛物线的标准方程为载体，考查抛物线的性质，解题的关键是求切线方程，利用向量的数量积求解垂直问题12. 数列满足，且，则通项公式        参考答案：13. 数列an的通项为an=（1）n（2n1）?cos+1前n项和为sn，则s60=    参考答案：120【考点】数

12、列的求和【分析】利用余弦函数的周期性找出规律即可求得【解答】解：由函数f（n）=cos的周期性可得a1=a3=a59=1，a2+a4=a6+a8=a58+a60=6，s60=1×30+6×15=120故答案为：12014. 若abc的面积为，bc=2，c=，则边ab的长度等于_.参考答案：215. 已知正四棱柱的外接球直径为，底面边长，则侧棱与平面所成角的正切值为_。 参考答案：略16. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值分别为           参考答案：89，14

13、4由题设知：依次为2，2，3；   3，5，8；   4，13，21；5，34，55；   6，89，144；17. 定义在r上的偶函数满足：上是增函数，给出下列判断：    是周期函数；     的图像关于直线x=1对称；    在0，1上是增函数； 在1，2上是减函数；        其中正确的命题是      &

14、#160;     。参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种，方案一：每满200元减50元；方案二：每满200元可抽奖一次具体规则是依次从装有3个红球、l个白球的甲箱，装有2个红球、2个白球的乙箱，以及装有1个红球、3个白球的丙箱中各随机摸出1个球，所得结果和享受的优惠如下表：（注：所有小球仅颜色有区别）红球个数3210实际付款半价7折8折原价 （1）若两个顾客都选择方案二，各抽奖一次，求至少一个人获得半价优惠的概率；（2）

15、若某顾客购物金额为320元，用所学概率知识比较哪一种方案更划算？参考答案：（1）（2）方案二更为划算【分析】（1）设事件为“顾客获得半价”，可以求出，然后求出两位顾客都没有获得半价优惠的概率，然后利用对立事件的概率公式，求出两位顾客至少一人获得半价的概率；（2）先计算出方案一，顾客付款金额，再求出方案二付款金额元的可能取值，求出，最后进行比较得出结论.【详解】（1）设事件为“顾客获得半价”，则，所以两位顾客至少一人获得半价的概率为：（2）若选择方案一，则付款金额为若选择方案二，记付款金额为元，则可取的值为，所以方案二更为划算【点睛】本题考查了对立事件的概率公式、离散型随机变量的分布列、期望.考

16、查了应用数学知识解决现实生活中实际问题的能力. 19. 已知函数f（x）=lnxa（1），ar（）求f（x）的单调区间；（）若f（x）的最小值为0（i）求实数a的值；（ii）已知数列an满足：a1=1，an+1=f（an）+2，记x表示不大于x的最大整数，求证：n1时an=2参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值；数列递推式【专题】分类讨论；导数的综合应用；等差数列与等比数列【分析】（）利用导数，对a讨论，当a0时，当a0时，即可求得f（x）的单调区间；（）（i）利用（）的结论即可求得a的值；（ii）利用归纳推理，猜想当n3，nn时，2an，利用数学

17、归纳法证明，即可得出结论【解答】解：（）函数f（x）的定义域为（0，+），且f（x）=当a0时，f（x）0，所以f（x）在区间（0，+）内单调递增；当a0时，由f（x）0，解得xa；由f（x）0，解得0xa所以f（x）的单调递增区间为（a，+），单调递减区间为（0，a）综上述：a0时，f（x）的单调递增区间是（0，+）；a0时，f（x）的单调递减区间是（0，a），单调递增区间是（a，+）（）（）由（）知，当a0时，f（x）无最小值，不合题意；当a0时，f（x）min=f（a）=1a+lna=0，令g（x）=1x+lnx（x0），则g（x）=1+=，由g（x）0，解得0x1；由g（x）0，解得x

18、1所以g（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+）故g（x）max=g（1）=0，即当且仅当x=1时，g（x）=0因此，a=1（）因为f（x）=lnx1+，所以an+1=f（an）+2=1+lnan由a1=1得a2=2于是a3=+ln2因为ln21，所以2a3猜想当n3，nn时，2an下面用数学归纳法进行证明当n=3时，a3=+ln2，故2a3成立假设当n=k（k3，kn）时，不等式2ak成立则当n=k+1时，ak+1=1+lnak，由（）知函数h（x）=f（x）+2=1+lnx在区间（2，）单调递增，所以h（2）h（ak）h（），又因为h（2）=1+ln22，h（）=1+ln

19、1+1故2ak+1成立，即当n=k+1时，不等式成立根据可知，当n3，nn时，不等式2an成立综上可得，n1时an=2【点评】本题主要考查函数的导数、导数的应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、有限与无限思想等，属难题20. 设命题甲：直线xy与圆(xa)2y21有公共点，命题乙：函数f(x)2|x1|a的图象与x轴有交点，试判断命题甲与命题乙的条件关系，并说明理由参考答案：命题甲：若直线xy与圆(xa)2y21有公共点则1，a.命题乙：函数f(x)2|x1|a的图象与x轴有交点，等价于a2|x1|有解|x1|0，|x1

20、|0，02|x1|1，因此0a1.命题乙?命题甲，但命题甲命题乙故命题乙是命题甲的充分不必要条件     21. 某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：全市100 000名男生的身高服从正态分布n（168，16）现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160cm和184cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组160，164，第二组164，168，第6组180，184，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图（）试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况；（）求这50名男生身高在172cm以

21、上（含172cm）的人数；（）在这50名男生身高在172cm以上（含172cm）的人中任意抽取2人，该2人中身高排名（从高到低）在全市前130名的人数记为，求的数学期望参考数据：若n（，2），则p（+）=0.6826，p（2+2）=0.9544，p（3+3）=0.9974参考答案：【分析】（i）高三男生的平均身高用组中值×频率，即可得到结论；（ii）首先理解频数分布直方图横纵轴表示的意义，横轴表示身高，纵轴表示频数，即：每组中包含个体的个数我们可以依据频数分布直方图，了解数据的分布情况，知道每段所占的比例，从而求出求这50名男生身高在172cm以上（含172cm）的人数（iii）先根据正态分布的规律求出全市前130名的身高在172cm以上，这50人中172cm以上的有2人，确定的可能取值，求出其概率，即可得到的分布列与期望【解答】解：（）由直方图，经过计算该校高三年级男生平均身高为，