向量法证明正弦定理(多篇)

1、向量法证明正弦定理(多篇) 第一篇：向量法证实正弦定理 向量法证实正弦定理 证实a/sina=b/sinb=c/sinc=2r： 任意三角形abc,作abc的外接圆o. 作直径bd交o于d.连接da. 因为直径所对的圆周角是直角,所以dab=90度 因为同弧所对的圆周角相等,所以d等于c. 所以c/sinc=c/sind=bd=2r 2 如图1，abc为锐角三角形，过点a作单位向量j垂直于向量ac，则j与向量ab的夹角为90°-a，j与向量cb的夹角为90°-c 由图1，ac+cb=ab(向量符号打不出) 在向量等式两边同乘向量j,得· j·ac+cb=

2、j·ab jacco(更多请搜索，解三角形。 评述：此类问题结果为唯一解，学生较易掌握，先利用内角和180°求出 第三角，再利用正弦定理. 7.能力提升 例2：在abc中， °，a=2,求b,b,c。 评述：此类问题结果为多解，学生容易产生漏解的状况，在此题的解题过程 中，让学生自主学习，然后在课堂上讨论，通过互相交流，总结出存在多解的状况，应与大边对大角结合分状况讨论，培养学生分类讨论的思想。 8.课堂总结 总结本堂课的内容：正弦定理、正弦定理适用范围、正弦定理应该注意的问题 9.课后作业 1在?abc中，已知角 ?b?45?，c?22,b?43，则角a的值是

3、?a.15b.75c.105d.75或15 2在abc中,假设a?30?,b?60?,则a:b:c? ?b?60，b?76,a?14，则a=?abc 3在中，假设 ?a?,b?2,b?45?abc 4在中，已知，解三角形。 第三篇：向量证实正弦定理 向量证实正弦定理 表述：设三面角p-abc的三个面角bpc，cpa，apb所对的二面角依次为pa，pb，pc，则sinpa/sinbpc=sinpb/sincpa=sinpc/sinapb。 目录 1证实2全向量证实 证实 过a做oa平面bpc于o。过o分别做ombp于m与onpc于n。连结am、an。显然，pb=amo，sinpb=ao/am;p

4、c=ano，sinpc=ao/an。另外，sincpa=an/ap，sinapb=am/ap。则sinpb/sincpa=ao×ap/(am×an)=sinpc/sinapb。同理可证sinpa/sinbpc=sinpb/sincpa。即可得证三面角正弦定理。 全向量证实 如图1，abc为锐角三角形，过点a作单位向量j垂直于向量ac，则j与向量ab的夹角为90°-a，j与向量cb的夹角为90°-c 由图1，ac+cb=ab(向量符号打不出) 在向量等式两边同乘向量j,得· j·ac+cb=j·ab jaccos90°

5、;+jcbcos(90°-c) =jabcos(90°-a) asinc=csina a/sina=c/sinc 同理，过点c作与向量cb垂直的单位向量j，可得 c/sinc=b/sinb a/sina=b/sinb=c/sinc 2步骤1 记向量i，使i垂直于ac于c，abc三边ab,bc,ca为向量a,b,c a+b+c=0 则i(a+b+c) =i·a+i·b+i·c =a·cos(180-(c-90)+b·0+c·cos(90-a) =-asinc+csina=0 接着得到正弦定理 其他 步骤2. 在锐角a

6、bc中，设bc=a,ac=b,ab=c。作chab垂足为点h ch=a·sinb ch=b·sina a·sinb=b·sina 得到a/sina=b/sinb 同理，在abc中， b/sinb=c/sinc 步骤3. 证实a/sina=b/sinb=c/sinc=2r： 任意三角形abc,作abc的外接圆o. 作直径bd交o于d.连接da. 因为直径所对的圆周角是直角,所以dab=90度 因为同弧所对的圆周角相等,所以d等于c. 所以c/sinc=c/sind=bd=2r 类似可证其余两个等式。 3 用向量叉乘表示面积则s=cb叉乘ca=ac叉乘ab

7、=absinc=bcsina(这部可以直接出来哈哈，不过为了符合向量的做法) =a/sina=c/sinc 201*-7-1817:16jinren92|三级 记向量i，使i垂直于ac于c，abc三边ab,bc,接着得到正弦定理其他步骤2.在锐角abc中，证实a/sina=b/sinb=c/sinc=2r：任意三角形abc, 4 过三角形abc的顶点a作bc边上的高，垂足为d.(1)当d落在边bc上时，向量ab与向量ad的夹角为90°-b，向量ac与向量ad的夹角为90°-c，由于向量ab、向量ac在向量ad方向上的射影相等，有数量积的几何意义可知向量ab*向量ad=向量a

8、c*向量ad即向量ab的绝对值*向量ad的绝对值*cos(90°-b)=向量的ac绝对值*向量ad的绝对值*cos(90°-c)所以csinb=bsinc即b/sinb=c/sinc(2)当d落在bc的延长线上时，同样可以证得 第四篇：用向量证实正弦定理 用向量证实正弦定理 如图1，abc为锐角三角形，过点a作单位向量j垂直于向量ac，则j与向量ab的夹角为90°-a，j与向量cb的夹角为90°-c 由图1，ac+cb=ab(向量符号打不出) 在向量等式两边同乘向量j,得· j·ac+cb=j·ab jaccos90

9、6;+jcbcos(90°-c) =jabcos(90°-a) asinc=csina a/sina=c/sinc 同理，过点c作与向量cb垂直的单位向量j，可得 c/sinc=b/sinb a/sina=b/sinb=c/sinc 2步骤1 记向量i，使i垂直于ac于c，abc三边ab,bc,ca为向量a,b,c a+b+c=0 则i(a+b+c) =i·a+i·b+i·c =a·cos(180-(c-90)+b·0+c·cos(90-a) =-asinc+csina=0 接着得到正弦定理 其他 步骤2. 在锐角

10、abc中，设bc=a,ac=b,ab=c。作chab垂足为点h ch=a·sinb ch=b·sina a·sinb=b·sina 得到a/sina=b/sinb 同理，在abc中， b/sinb=c/sinc 步骤3. 证实a/sina=b/sinb=c/sinc=2r： 任意三角形abc,作abc的外接圆o. 作直径bd交o于d.连接da. 因为直径所对的圆周角是直角,所以dab=90度 因为同弧所对的圆周角相等,所以d等于c. 所以c/sinc=c/sind=bd=2r 类似可证其余两个等式。 3 用向量叉乘表示面积则s=cb叉乘ca=ac叉乘ab

11、 =absinc=bcsina(这部可以直接出来哈哈，不过为了符合向量的做法) =a/sina=c/sinc 201*-7-1817:16jinren92|三级 记向量i，使i垂直于ac于c，abc三边ab,bc,接着得到正弦定理其他步骤2.在锐角abc中，证实a/sina=b/sinb=c/sinc=2r：任意三角形abc, 4 过三角形abc的顶点a作bc边上的高，垂足为d.(1)当d落在边bc上时，向量ab与向量ad的夹角为90°-b，向量ac与向量ad的夹角为90°-c，由于向量ab、向量ac在向量ad方向上的射影相等，有数量积的几何意义可知向量ab*向量ad=向量

12、ac*向量ad即向量ab的绝对值*向量ad的绝对值*cos(90°-b)=向量的ac绝对值*向量ad的绝对值*cos(90°-c)所以csinb=bsinc即b/sinb=c/sinc(2)当d落在bc的延长线上时，同样可以证得 第五篇：用正弦定理证实三重向量积 用正弦定理证实三重向量积 ：光信1002班 李立 内容：通过对问题的讨论和转化，最后用正弦定理来证实三重向量积的公式(a?b)?c?(c?b)a?(c?a)b。 首先，依据叉乘的定义，a、b、a?b可以构成一个右手系，而且对公式的观察与分析我们发现，在公式中，a与b是等价的，所以我们无妨把a、b、a?b放在一个空间

13、直角坐标系中，让a与b处于oxy面上，a?b与z轴同向。如草图所示： 其中，向量c可以沿着z轴方向与平行于oxy平面的方向分解，即： c?cz?cxy 将式子带入三重向量积的公式中，发现，化简得： a?b?cxy?(cxy?b)a?(cxy?a)?b这两个式子等价 现在我们合计(a?b)?c刚好被a与b反向夹住的状况，其他的角度状况以此类推。 由图易得，(a?b)?c与a、b共面，a与b不共线，无妨设( a?b)?c?xa?yb， a,cxy ?( ? ,?),b,cxy ?(0, ? )，所以： 在三角形中使用正弦定理，得 a?b?csin?-a,b ?sin xa ? yb sina,cxy? ?k ? ?b,cxy? 又因为a?b?c?abcsina,b 所以，解得k=abc， 于是解得： x= bcxycosb,cxyy?acxy