广义逆矩阵及其应用

1、题目广义逆矩阵及其应用学院专业通信与信息系统学生学号目录第一章 前言 1 第二章 广义逆矩阵2 2.1 广义逆矩阵的定义22.2 广义逆矩阵的性质3第三章 广义逆矩阵的计算12 3.1 一般广义逆求解12 3.2 moore-penrose 广义逆16 结论19 - 1 -第一章前言线性方程组的逆矩阵求解方法只适用于系数矩阵为可逆方阵, 但是对于一般线性方程组，其系数矩阵可能不是方阵或是不可逆的方阵，这种利用逆矩阵求解线性方程组的方法将不适用。 为解决这种系数矩阵不是可逆矩阵或不是方阵的线性方程组，我们对逆矩阵进行推广，研究广义逆矩阵，利用广义逆矩阵求解线性方程组。广义逆矩阵在数据分析、多元分

2、析、信号处理、系统理论、现代控制理论、网络理论等许多领域中有着重要的应用，本文针对广义逆矩阵的定义、 性质、计算及其在线性方程组中的应用进行研究，利用广义逆矩阵求解线性方程组的通解及极小范数解。逆矩阵的概念只对非奇异矩阵才有意义，但在实际问题中， 遇到的矩阵不一定是方阵，即使是方阵也不一定非奇异，这就需要将逆矩阵的概念进行推广。为此，人们提出了下述关于逆矩阵的推广：（1）该矩阵对于奇异矩阵甚至长方矩阵都存在；（2）它具有通常逆矩阵的一些性质；（3）当矩阵非奇异时，它即为原来的逆矩阵。满足上面三点的矩阵称之为广义逆矩阵。1903 年，瑞典数学家弗雷德霍姆开始了对广义逆矩阵的研究，他讨论了关于积分

3、算子的一种广义逆。 1904 年，德国数学家希尔伯特在广义格林函数的讨论中，含蓄地提出了微分算子的广义逆。 美国芝加哥的穆尔 (moore)教授在 1920年提出了任意矩阵广义逆的定义， 他以抽象的形式发表在美国数学会会刊上。我国数学家曾远荣和美籍匈牙利数学家冯 诺伊曼及其弟子默里分别在1933年和 1936年对希尔伯特空间中线性算子的广义逆也作过讨论和研究。1951 年瑞典人布耶尔哈梅尔重新给出了穆尔(moore)广义逆矩阵的定义，并注意到广义逆矩阵与线性方程组的关系。1955 年，英国数学物理学家彭罗斯 (penrose) 以更明确的形式给出了与穆尔(moore)等价的广义逆矩阵定义，因此

4、通称为moore-penrose广义逆矩阵，从此广义逆矩阵的研究进入了一个新阶段。现如今， moore-penrose广义逆矩阵在数据分析、多元分析、信号处理、系统理论、 现代控制理论、 网络理论等许多领域中有着重要的应用，使这一学科得到迅速发展，并成为矩阵论的一个重要分支。- 2 -第二章 广义逆矩阵2.1 广义逆矩阵的定义一、penrose 广义逆矩阵的定义为了推广逆矩阵的概念， 我们引进了广义逆矩阵的定义， 下面给出广义逆矩阵的moore-penrose 定义。定义 2.1 设矩阵nmca，若矩阵mncx满足如下四个 penrose方程aaxa（）xxax（）axaxh)(（）xaxah

5、)(（）中的一部分或全部方程，则称x 为 a的一个广义逆矩阵。若 x 只满足（）式，则x 成为 a的一个 1-逆，可记为1a，所有满足 1-逆的 x 构成的集合记为1a。若 x 满足四个方程中的第kji,个方程，则称 x 为 a的一个kji,-逆，记为kjia,，所有满足kji,-逆的 x 构成的集合记为kjia,。二、常见广义逆定义按照广义逆定义，分别满足一个、两个、三个和四个方程的广义逆矩阵一共有44342414cccc=15 类，其中常见的有1a，2, 1a，3 , 1a，4, 1a，4,3 ,2, 1a。定义 2.2 设有复矩阵nmca。若有一个mn复矩阵 x 存在，使下式成立，则称

6、x 为 a的减号逆：aaxa(2.1) 当1a存在时，显然1a 满足上式，可见减号逆 x 是普通逆矩阵1a 的推广；另外，由aaxa得hhaaxa)(，即- 3 -hhhhaaxa可见，当 x 为 a的一个减号逆时，hx就是ha 的一个减号逆。定义 2.3 设复矩阵nmca，若有一个mn矩阵 x ，满足：aaxa且xxax称 x 为 a的一个自反逆矩阵，记作为ra，ra满足 penrose方程的（）， （）式，所以2 , 1aar。显然，自反广义逆为减号逆的子集。 对矩阵 x 是矩阵 a的1- 逆，即1ax, 若矩阵 a也是矩阵 x 的1- 逆，即1xa， 则 x 为 a的一个自反逆矩阵。定义

7、 2.4 设复矩阵nmca，若有一个mn矩阵 x ，满足：aaxa及axaxh)(，则称 x 为 a 的最小二乘广义逆，记作la，la满足 penrose方程的（）， （）式，所以 3 , 1aam。最小二乘广义逆是用条件axaxh)(对减号逆进行约束后所得到的子集。定义 2.5 设复矩阵nmca，若有一个mn矩阵 x ，满足：aaxa及xaxah)(，则称 x 为 a 的最小范数广义逆，记作ma，ma满足 penrose方程的（）， （）式，所以4 , 1aal。显然，最小范数广义逆也是减号逆的子集。若 x 满足全部四个方程，则称x 为 a的 moore-penrose广义逆矩阵，记为a 。

8、2.2 广义逆矩阵的性质将一个非零矩阵分解为一个列满秩矩阵与一个行满秩矩阵的乘积，是矩阵分解理论中的常见问题。特别是在广义逆矩阵的计算与研究中有着重要的应用。定义 2.6 设矩阵nmrca（r0） ，如果存在一个列满秩矩阵rmrcf与一个行- 4 -满秩矩阵nrrcg使得fga，则称上式为 a的一个满秩分解。定理 2.1 对任意矩阵nmrca（r0） ，必存在着矩阵rmrcf和nrrcg使fga。证明： 由rranka，对 a进行若干次初等行变换后， 可将 a化为行阶梯矩阵 b，0gb，其中rrankg。故存在若干个m阶初等矩阵的乘积 p ，使得bpa，即bpa1，将1p分块为mfp,1,rm

9、rcf，)(rmmcm，便有fggmfa0,。因 f 是可逆矩阵1p的前r列，所以 f 是一个rm列满秩矩阵， g 是nr行满秩矩阵，故fga是 a的一个满秩分解。上式fga是 a的一个满秩分解，但是a的满秩分解并不是唯一的。任意取一个r阶非奇异矩阵 b , 若fga是一个满秩分解，则显然gbfba1也是 a的一个满秩分解。一、1- 逆的性质定理 2.2设nmca，则 a的 moore-penrose逆存在且唯一。证设rranka. 若 r=0，则 a是nm零矩阵，可以验证mn零矩阵满足四个penrose方程。若 r0，则 a有满秩分解分解fga, - 5 -取hhhhfffgggx11，则

10、x 满足 4 个 penrose 方程，所以， x 是moore-penrose 广义逆矩阵。设 x ， y均满足四个 penrose方程，则yyyayyayyaxaxayayaxxayaxxayaxxaxxaxxxhhhhhhhhhhhhhhhh综上所诉，a 存在且唯一。a 满足四个 penrose方程的所有方程， 所以， a 属于 15 类广义逆矩阵中的任意一类。上面我们证明了a 的存在性，所以，任意的类广义逆矩阵都是存在的。对任意的c ，定义为00, 0,1（2.4 ）下面给出 1- 逆的一些性质。定理 2.3设nmca，nmcb，c ，则（1） 1)()1(hhaa；（2）1)()1(

11、aa；（3）若 s和 t 非奇异，则 1)(1)1(1satsat；（4）rankaranka1；（5）1aa和aa1均为幂等矩阵且与a 同秩；（6）；)()(),()(),()()1()1()1(hharaaranaanaraar（7）niaa1的充要条件是nranka，miaa1的充要条件是mranka；（8）aaabab1的充要条件是rankaabrank)(，bababb1的充要条件是rankbabrank)(。证（1）由 11aa， 有aaaa1，两边同时求共轭转置得- 6 -hhaaaa1，即hhhhaaaa)(1，由定义知 11hhaa。（2）aaaaaaa11, 由1- 逆定义

12、得， 11aa。（3）satsatsasattsatsatsat111111, 由1- 逆定义得， 1111satsat。（4）rankaaaarankaarankranka111, 故rankaranka1.。（5）11121aaaaaaaa，故1aa为幂等矩阵，又由aaaaaaaa11121，故aa1为幂等矩阵，所以rankaaarankaaarankranka)()()1()1(，也即rankaaarank)()1(。 同理，rankaaarank)()1(。（6）由)()()()()1()1(araaaraarar, 得)()(1araar，类似的，由)()()()()1()1(ana

13、aanaanan，得)()1(anaan。又因为，)()()()()()1()1()1(hhhhhhhharaaaraaraarar，所以aaraarhh1。（7）充分性：nranka，所以，naarank1，由aa1为幂等矩阵且非奇异，易知niaa1。必要性：由niaa1，naarank1，故nranka。另一式同理可证明。- 7 -（8）充分性：)()(arabr，rankaabrank)(， 所以，)()(arabr。所以存在矩阵 x ，使abxa，从而aabxabxababaabab)1()1()()(。必要性：rankaabrankaababrankranka)()(1，故ranka

14、abrank)(。另一式同理可证明。性质（ 5）逆命题仍然成立，即定理2.4设nm复矩阵 a ，若存在mn矩阵 x ， 使 ax 为幂等矩阵，且rankaaxrank)(，则矩阵 1ax。证明：ax 幂等，则axaxax，而)()(araxr, 又rankaaxrank)(，所以，)()(araxr， 存在矩阵y, 使得axya，有aaxyaxaxyaxa，即1ax。二、2, 1-逆的性质因为在 penrose方程（ 1） （2）中， a和 x 的位置是对称的，所以a1,2x与1,2ax是等价的，即 a和 x 总是互为2, 1- 逆。这与通常矩阵a的逆的逆是 a本身是一样的。定理 2.5 设矩

15、阵1,azy, 又设yazx， 则2, 1ax。证明：1,azy，则aaya，aaza，aazazaayaayazaaxa)(，- 8 -xyazyayazyazazayyazayazxax)(，由上 2 式得，2, 1ax。定理 2.6 给定矩阵 a，若1ax，则2, 1ax的充要条件是rankarankx。证 明 ：充 分 性 ： 若1ax， 则aa x a， 且 ax和 xa 幂 等 ，ar a n kxarankaxrank)()(，又rankarankx，所以，rankxrankaxarank。由定理 2.3 得1xa，所以，2, 1ax。必要性：1ax，则rankarankx，又2

16、, 1ax，根据 x 为自反广义逆，有x1a，则rankxranka所以，rankxranka。三、moore-penrose 广义逆矩阵 a定理 2.2 已证明对任意矩阵nmca， moore-penrose广义逆矩阵 a 存在且唯一。moore-penrose 广义逆矩阵是满足全部penrose条件的广义逆矩阵，其必然有其特殊性，下面给出moore-penrose 广义逆矩阵 a 的一些性质：定理 2.7 设矩阵nmca，则有（1）aa)(；（2）hhaa)()(；- 9 -（3）aaaahh)()(；)()(hhaaaa；（4）)(hhaaaa；hhaaaa)(；（5）rankarank

17、a。证明：（1）由定义，a和a 的位置是对称的，即a 是a的 moore-penrose 广义逆矩阵， 那么a就是 a 的 moore-penrose广义逆矩阵，又因为)(a唯一， 所以，aa )(。（2）令hax)(，则有hhhhhhhaaaaaaaxaa，xaaaaaaaxxahhhhhh，xaaaaaaaaaxahhhhhhhhh，hhhhhhhhhxaaaaaaaaaxa，根据定义，hhaxa)()(。（3） 令aaxh, 则有hhhhhhhhhaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaxaa，,aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaxxaahhhhhhhh,xaaaaaaaaaa

18、aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaxaahhhhhhhhhhhhh- 10 -),(hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhaaxaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaax根据定义及 moore-penrose 广义逆矩阵的唯一性知aaxaahh)()(。同理可证明，)()(hhaaaa。（4） 令hhaaax，则有aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaxahhhhh，xaaaaaaaaaaxaxhhhhhh，axaaaaaaaaaxhhhhhh，xaaaaaaaaaaaaaxahhhhhhhh，根据定义及 moore-penrose 广义逆矩阵的唯一性知)(

19、hhaaaxa。同理可证明hhaaaa)(。（5）rankaaarankaaarankranka，rankaaarankaaarankranka，故rankaranka。定理 2.8 给定矩阵nmca，则有- 11 -3, 14, 1aaaa，其中，3, 13, 1aa，4 , 14,1aa。证明： 设3,14, 1aaax，则由定理 2.5 知，2, 1ax，又因为3, 13,14, 1aaaaaaax，axaaaaaxhh3,13,1aaaaaaxa4, 13, 14, 1，xaaaaaxahh4,14, 1所以，4 ,3,2,1ax。又因为4, 3, 2, 1a只有一个元素，所以，ax。

20、- 12 -第三章 广义逆矩阵的计算广义逆矩阵在解线性方程组中有着重要作用，而利用广义逆矩阵解线性方程组首先需要求解相对应矩阵的广义逆矩阵。3.1 一般广义逆的求解一、1- 逆的求解定理 3.1 设矩阵nmca，有矩阵mncx且 1ax，则,| 1mnnmczyzxaiaxiyxa。（3.1）证明： 因为对任意mnczy,，令zxaiaxiyxmnm，于是有azaaxaaaxaaayazaxaiaaaxiayaxaamanm，所以， 1am。反之，任取 1am，于是有，maxxaiaxixmxxamaxmaxaxxmxmxxamaxxaxmmnm取xmy，maxz，则 m 有（3.1）式的表示

21、。所以，,| 1mnnmczyzxaiaxiyxa。定理 3.2 设矩阵nmrca，存在可逆矩阵mmcp和nncq，使000ripaq，- 13 -则 1a中的任一矩阵可写成pxxxiqr222112的形式，其中，rmrcx12，rrncx21，rmrncx22，为任意矩阵。证明： 设 1ax，则 x 是mn矩阵，将 x 分块为：22211211xxxxx，其中，rrcx11，rmrcx12，rrncx21，rmrncx22，则 111paqxpq，因为paqpaqxpqpaq11，所以000000000000)()(112221121111rrrixixxxxipaqxpqpaq，所以，ri

22、x11，即 1paq中的任一矩阵可写成22211211xxxixpqr，即1a中的任一个矩阵可写成pxxxiqxr222112，其中rmrcx12，rrncx21，rmrncx22，为任意矩阵。由定理 3.2 知， 要想计算出一个矩阵a的1- 逆， 必须首先求出可逆矩阵p和q，使paq成为标准形，所以可先构造分块矩阵- 14 -0nmiiab，用行和列初等变换把b中的 a化简成000ria，同时，ni化成了q，mi化成了 p ，即000000qpaiqiiaipmnmn，故，000riapaq，于是 1a中的矩阵可写成pxxxiqxr222112。二、1,3-逆的求解定理 3.3 设矩阵nmc

23、a，那么（1）若 a是行满秩矩阵，则aal；（2）若 a是列满秩矩阵，则hhlaaaa1)(；（3）若n,minmrranka且有满秩分解fga，则llfga或hhlaaa)(a。证明： (1) 若nmca是行满秩矩阵，则mranka，miaa，有- 15 -aaiiaamhmh)(，所以，aal。 (2)若nmca是列满秩矩阵，令hhaaax1)(，axaaaaaaaaaxhhhhhhh11)()()(，又aaaaaaaxahh1)(，所以，hhlaaaa1)(。 (3)hlhlrhlhlffffiffggfag)()()()(lllfagffggff，又afgfgffggafgall)(，

24、所以，llfga。令hhaaax)(，于是axaaaaaaaaaxhhhhhh)()()(，又aaaaaaaxahh)(，所以，hhlaaa)(a。三、1，4- 逆的求解定理 3.4 设矩阵nmca，那么（1）若 a是行满秩矩阵，则1)(hhmaaaa；（2）若 a是列满秩矩阵，则aam；- 16 -（3）若,minnmrranka且有满秩分解fga, 则fgamm或)(hhmaaaa。证明： （1）令1)(hhaaax, 则xaaaaaaaaaxahhhhhhh11)()()(，又aaaaaaaxahh1)(，所以，1)(hhmaaaa。（2）nranka，所以，niaa, 有aaiiaan

25、hnh)(，所以，aam。（3）hmhmhmggfgfgafg)()()(afgfgfgggmmm又afgfgffggafagmm，所以，fgamm。令)(hhaaax，则xaaaaaaaaaaaaaxahhhhhhhhh)()()()(，又aaaaaaaaahhm)(，所以，)(hhmaaaa。3.2 moore-penrose 广义逆定理 3.5 设矩阵nmrca（r0）的满秩分解为fga，其中rmrcf，nrrcg，则- 17 -（1）4 ,2, 1,1iiafgi；（2）3 ,2, 1,1iiafgi；（3）4, 2, 1,3, 2, 111afgafg；（4）fgfga4,13,1；（5）hhhhhhhhfagfgfffgggfga111。