条件概率与独立性学习教案

1、会计学1条件条件(tiojin)概率与独立性概率与独立性第一页，共96页。解解设设A=A=此两位数能被此两位数能被4 4整除整除 ，B=B=此两位数为偶数此两位数为偶数(u sh)(u sh)，样本空间样本空间=10,11,12,98,99 =10,11,12,98,99 共共9090个样本点个样本点(1) A=12,16,92,96 (1) A=12,16,92,96 共共2222个样个样本点，本点，P(A)=22/90=11/45P(A)=22/90=11/45(2) B=10,12,14,16,96,98(2) B=10,12,14,16,96,98共共4545个样本点个样本点, , P

2、(B)=45/90=1/2 P(B)=45/90=1/2第1页/共95页第二页，共96页。 事件A的概率：已知事件B发生的条件下，事件A的概率：vvAAPA样本点数样本点数)()()(BPABPvvvvBABBABvBvABBAP样本点数样本点数)|(第2页/共95页第三页，共96页。P(AB)P(A|B)P(B)vvAAPA样本点数样本点数)(BABvBvABBAP样本点数样本点数)|(方法(fngf)1： 用原样本空间计算条件概率方法(fngf)2：用新样本空间B计算条件概率第3页/共95页第四页，共96页。说明： 条件(tiojin)概率也是概率 条件(tiojin)概率满足概率性质思考

3、：利用条件(tiojin)概率的定义，推出P(AB)与P(A) 的大小关系。ABP(A B)P(A)P(AB)P(A)ABAP(A B)P(A)P(B)P(B)BAP(A B)P(A)P(AB)P(B)ABBP(A B)1P(A)P(B)P(B) AB0P(A B)P(A)P(AB)P()P(A)P(A B)0P(B)P(B) 若第4页/共95页第五页，共96页。条件概率的性质条件概率的性质(xngzh)1、非负性、非负性 对任一事件对任一事件B，必有，必有P(B|A) 02、规范性、规范性 3、可加性、可加性1)()(1)(AAPAPABPBA特别地，则若1121)()(,kkkknABPA

4、BPBBB则件，为一列两两互不相容事，若常用P(B A)1P(B A)第5页/共95页第六页，共96页。314/34/1)()()(APABPABP第6页/共95页第七页，共96页。P(AB)P(B)0.4P(B|A)0.5P(A)P(A)0.8第7页/共95页第八页，共96页。11691210261221012211C C6 93P(A )P10 95P6 51P(A A )P10 93P(A A )5P(A |A )P(A )9第8页/共95页第九页，共96页。215P(A |A )9第9页/共95页第十页，共96页。第10页/共95页第十一页，共96页。121312n12n 112312

5、12n 1n111212n 112n 1n P(A )P(A |A )P(A |A A )P(A |A AA)P(A A A )P(A A )P(A AAA )P(A )P(A )P(A A )P(A AA)P(A AAA )第11页/共95页第十二页，共96页。72. 075. 096. 0)()()()(75. 0)(,96. 0)(,04. 0)(BAPBPBAPAPBAABABAPBPBPBBA故则取到正品取到次品，取到一等品第12页/共95页第十三页，共96页。乙)+P()P(|) =1213121334333318第13页/共95页第十四页，共96页。1122P(B )0.92 P

6、(B )0.93 P(B |B )0.85第14页/共95页第十五页，共96页。11221221221122P(B B )P(B (B )P(BB B )P(B)P(B B )P(B )P(B )P(B |B )0.930.08 0.850.862 第15页/共95页第十六页，共96页。123121312P(A) 1 P(A) 1 P(AA A )1 P(A )P(A A )P(A AA )1 0.7 0.8 0.90.496 故 121312121312P(A )0.3P(A A )0.2P(A A A )0.1P(A )0.7P(A A )0.8P(A A A )0.9第16页/共95页第

7、十七页，共96页。例例9 一批零件共一批零件共100个，次品率为个，次品率为1。每次从其中。每次从其中(qzhng)任取一个零件，取出的零件不再放回去，求第三次才取得合格品的概率。任取一个零件，取出的零件不再放回去，求第三次才取得合格品的概率。解解9890)(999)(10010)()(. 3 , 2 , 1213121321AAAPAAPAPAAAPiiAi显然则所求概率为，次取出的零件是次品第设123121312P A A AP AP A AP A A A109900.00841009998第17页/共95页第十八页，共96页。3, 2, 1他考试能及格次考试及格第设BiiAi432143

8、214321321AAAAAAAAAAAAAAAB则第18页/共95页第十九页，共96页。 321432143214321AAAPAAAAPAAAAPAAAAPBP 213121321421312132142131213214213121AAAPAAPAPAAAAPAAAPAAPAPAAAAPAAAPAAPAPAAAAPAAAPAAPAP3352121212)1 (ppppppppppppppppp第19页/共95页第二十页，共96页。kkk 1B P(B )0 k1,2,3, 且kkk 1P(A)P(B )P(A | B )第20页/共95页第二十一页，共96页。kk 1kkkkk 1k 1

9、k 1P(A)P(A)P(AB )P(AB )P(AB )P(B )P(A | B ) kk 1B 第21页/共95页第二十二页，共96页。aa1baaab ab 1ab ab 1ab第22页/共95页第二十三页，共96页。3152325131第23页/共95页第二十四页，共96页。第24页/共95页第二十五页，共96页。第25页/共95页第二十六页，共96页。90. 01ABP80. 02ABP70. 03ABP 80. 070. 025. 080. 050. 090. 025. 0332211ABPAPABPAPABPAPBP第26页/共95页第二十七页，共96页。mm1m1第27页/共9

10、5页第二十八页，共96页。于是(ysh)，由全概率公式得kk 1k 1m 11pp(1p)mmk 1m21pmm1m1pm而 nn 1m21ppmm第28页/共95页第二十九页，共96页。mmmpmmn2112222011212niinmmmpmmnnmmp212121npn时，当第29页/共95页第三十页，共96页。次试验成功第设kAkkkP(A )p ,k1,2,kk 1kk 1k 1kk 1P(A )P(A)P(A |A)P(A)P(A |A)k 1k 113P(A)P(A)24k 1k 113P(A)1P(A)24)2(41431kppkk即第30页/共95页第三十一页，共96页。k

11、1kkk 11pp(pp)4 n12132nn 1pp(pp )(pp )(pp)(4114111211pppnnnn3( 1)1p51041即第31页/共95页第三十二页，共96页。kk 1k(1)B (2)P(B )0 k1,2,3, kkkjjj 1P(B )P(A|B )P(B |A) (k1,2,3,)P(B )P(A|B )第32页/共95页第三十三页，共96页。kkkkjjj 1P(AB )P(B )P(A|B )P(B |A) (k1,2,3,)P(A)P(B )P(A|B )用乘法(chngf)公式用全概率(gil)公式第33页/共95页第三十四页，共96页。第34页/共95

12、页第三十五页，共96页。第35页/共95页第三十六页，共96页。22221122331111P(A B)(1) P(A |B) P(B)P(A )P(B|A ) P(A )P(B|A )P(A )P(B|A )P(A )P(B|A )0.3 0.90.27 0.440.5 0.60.3 0.90.2 0.20.61P(A B)P(A )P(B|A )(2) P(A |B) P(B)33330.5 0.60.49P(B)0.61P(A )P(B|A )0.2 0.2(3) P(A |B)1 P(A |B)110.93P(B)0.61 1212(3)P(AA B)P(A B)P(A B)0.490

13、.440.93解法解法(ji f)2第36页/共95页第三十七页，共96页。是第一车床加工的零件设1A是第二车床加工的零件A是合格品B第37页/共95页第三十八页，共96页。951AP942AP95. 0|1ABP98. 0|2ABP 1122P BP AP B AP AP B A548670.950.9899900 111P AP B A5900475P A B0.95P B9867867 222P AP B A4900392P A B0.98P B9867867 （）因此(ync)，第一台可能性较大。 （1）第38页/共95页第三十九页，共96页。kkpe,0,k0,1,2,k! 第39页

14、/共95页第四十页，共96页。（1 1）由全概率公式有kkk 1P(A)P(B )P(A|B )kkk 11ek!2k2ek!k 112ee1222P(B )P(A|B )P(B |A)P(A)（2 2）22121e2!2e(e1)2128(e1)第40页/共95页第四十一页，共96页。（3 3） 由题意kkP(B )ek!ik ikiiikkk111P(A |B )CC222 根据全概率(gil)公式ikikk iP(A )P(B )P(A |B )kkikk i1e Ck!2kk i1ei!(ki)! 2ik ik i11ei! 2(ki)! 2i21ei! 2, 2 , 1 , 0i第4

15、1页/共95页第四十二页，共96页。第42页/共95页第四十三页，共96页。123123775052507000P(D ) P(D ) P(D )200002000020000750042003500P(A|D ) P(A|D ) P(A|D )775052507000第43页/共95页第四十四页，共96页。111112233222112233333112233P(D )P(A|D )P(D |A)P(D )P(A|D )P(D )P(A|D )P(D )P(A|D )0.37500.49340.76P(D )P(A|D )P(D |A)0.2763P(D )P(A|D )P(D )P(A|D

16、 )P(D )P(A|D )P(D )P(A|D )P(D |A)P(D )P(A|D )P(D )P(A|D )P(D )P(A|D )0.2303第44页/共95页第四十五页，共96页。一般情况：一般情况：P(A|B)P(A|B)P(A), P(A), 说明说明B B的的发生对发生对A A发生的概率发生的概率有影响，这就是不独立。有影响，这就是不独立。独立：A发生(fshng)与否对B的概率无影响独立：B发生与否对A的概率(gil)无影响第45页/共95页第四十六页，共96页。第46页/共95页第四十七页，共96页。A, B; A, B; A, B; A, B P ABP AABP AP

17、ABP AP A P BP A1 P BP A P B又A 、B第47页/共95页第四十八页，共96页。 BPAPBAPBA相互独立，、 P ABP BABP BP ABP BP AABP BP AP ABP BP AP A P BP BP A1P BP BP A P BP B 1P AP B P A又 相互独立。、所以BA BPAPBAPBA相互独立，、 P ABP AABP AP ABP AP A P BP A 1 P BP A P B又相互独立。、所以BA第48页/共95页第四十九页，共96页。 BPAPBAPBA相互独立，、 P ABP AABP AP ABP AP BAB又 APBP

18、BPAPBPAPAPAPBPAPBPAPBPAPBAPBPAP11所以，A、B事件相互(xingh)独立。第49页/共95页第五十页，共96页。ABABABBB或第50页/共95页第五十一页，共96页。敌机被击中，乙击中敌机，甲击中敌机 P CP ABP AP BP ABP AP BP A P B0.60.50.60.50.8第51页/共95页第五十二页，共96页。2nC3nCnnC第52页/共95页第五十三页，共96页。第53页/共95页第五十四页，共96页。12n12n12nn即得P(A)1P(A1P AAA1P A AA1P(A P(A )P(A )10.40.99 ) = lg 0.0

19、12n5.026lg 0.40.3979故至少(zhsho)需要设置6门高射炮。第54页/共95页第五十五页，共96页。第55页/共95页第五十六页，共96页。第56页/共95页第五十七页，共96页。)2( )1)(1 (1 )(1)(1 1)()(1 ) (1)(1)(1nnnnrrrrBPAPBPAPBAPBAPBAPR第57页/共95页第五十八页，共96页。iiiiiii2iiP(C )P(AB )1 P(AB )1 P(A B ) 1 P(A )P(B )1 (1 r)r(2r) 212n12nnnRP(C CC )P(C )P(C )P(C ) r (2r)f (r)f (r)0第5

20、8页/共95页第五十九页，共96页。第59页/共95页第六十页，共96页。第60页/共95页第六十一页，共96页。D = 至多只有 1 台机需要照管 P(D ) = P(AB C) + P(A BC) + P(ABC) + P(A B C) = P(A)P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C) + + P(A)P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C) = 0.876P(D) = 1 - P(D) = 1 - 0.876 = 0.124第61页/共95页第六十二页，共96页。第62页/共95页第六十三页，共96页。 n重伯努利( Bernoulli )试验 如果每次试验的可能结果(j

21、i gu)只有两种，即只有两个可能事件A与，且 P(A)=p，P()=1-p=q则这n重独立试验又称为n重伯努利( Bernoulli )试验，或称伯努利概型。 第63页/共95页第六十四页，共96页。试验试验11电脑故障电脑故障 某电脑公司售出某电脑公司售出200200台电脑，公司在考虑售后服务维修人员的安排时需处理台电脑，公司在考虑售后服务维修人员的安排时需处理P(A)=pP(A)=p，n=200n=200的伯努利试验问题。其中的伯努利试验问题。其中p p是电脑故障率。是电脑故障率。试验试验22疾病发生疾病发生 某疾病的发生率为。当卫生部门要对一个拥有某疾病的发生率为。当卫生部门要对一个拥

22、有50005000名员工的单位估计名员工的单位估计(gj)(gj)此种疾病的发病情况时，需用此种疾病的发病情况时，需用p= p= 的的n n重伯努利试验模型，其中重伯努利试验模型，其中n=5000n=5000。第64页/共95页第六十五页，共96页。试验试验3产品抽样产品抽样 在产品抽验中，如果采用不放回方式抽取在产品抽验中，如果采用不放回方式抽取n次次(每次取一件产品每次取一件产品)，那么这，那么这n次试验就不是重复独立试验次试验就不是重复独立试验(此时，每次试验条件不完全重复，每次抽取正品此时，每次试验条件不完全重复，每次抽取正品(zhngpn)的概率也不相等的概率也不相等)。 但是，如果

23、采用放回抽样，即每次抽取检查后放回，这样所作的但是，如果采用放回抽样，即每次抽取检查后放回，这样所作的n次试验就是重复独立试验。次试验就是重复独立试验。第65页/共95页第六十六页，共96页。 在实际问题中，完全满足n重独立试验的两个条件是不多见的，常常是近似(jn s)满足条件，此时，可用 n重独立试验来近似(jn s)处理。例如，以抽样问题为例，当产品数量很大时，相对来说，抽取的产品件数n很小，即使所作的是无放回抽取，我们可以近似(jn s)地当作有放回抽取，近似(jn s)地把它看成是n重独立试验（此时，每次试验出现正品的可能性相等）。第66页/共95页第六十七页，共96页。2235C

24、0.8 (10.8)第67页/共95页第六十八页，共96页。第68页/共95页第六十九页，共96页。kkn-knnP (k) = C p q (q1 pP(A),k = 0,1,2,n) 式中knC 也作b(k,n,p)可表。第69页/共95页第七十页，共96页。再由试验结果的独立性得 P(A1A2Akk+1n) =P(A1)P(A2)P(Ak)P(k+1)P(n) =pk(1 - p)n-k =pkqn-k n重贝努利试验中出现k 次的方式就是至n的n个自然数中取出 k个数的一种组合(zh)，即共有 个事件。而这些事件是两两互斥的，故 （k=0,1,2,n) kknknnP (k)C p q

25、knC第70页/共95页第七十一页，共96页。注：注：1)1)由于上式刚好是二项式由于上式刚好是二项式(p+q)n(p+q)n的展开式中第的展开式中第k+1k+1项项 的系数，故我们把它称为的系数，故我们把它称为(chn wi)(chn wi)二项概率公式。二项概率公式。 显然：显然： 2) 2) 也被记作也被记作b(k,n,p)b(k,n,p) nnnkkn knnk 0k 0PkC p qpq1kkn knC p q第71页/共95页第七十二页，共96页。 例例26 某车间有台车床，每台车床由于种种原因，时常需某车间有台车床，每台车床由于种种原因，时常需要停车，设各台车床的停车或开车是相互

26、独立的，若每台车床要停车，设各台车床的停车或开车是相互独立的，若每台车床在任意时刻处于停车状态的概率为在任意时刻处于停车状态的概率为1/3，求任意时刻车间里有，求任意时刻车间里有台车床处于停车状态的概率。台车床处于停车状态的概率。解解 把任一时刻对一台车床的观察看成是一次试验，试验结果只把任一时刻对一台车床的观察看成是一次试验，试验结果只有停车或开车两种可能，且各车床的停车或开车是相互独立的有停车或开车两种可能，且各车床的停车或开车是相互独立的，故我们可用二项概率公式，故我们可用二项概率公式(gngsh)计算，得计算，得 212-22121211P2= C1 -0.127233 第72页/共9

27、5页第七十三页，共96页。97. 0)8 . 01 (8 . 0)(k10(106101010610106kkkkkkCkPP个人被治愈”）人中恰好有“第73页/共95页第七十四页，共96页。 这个结果说明：这个结果说明： 服用服用(f yn)(f yn)此药，人中至少有人被治愈的可能性是很大的。此药，人中至少有人被治愈的可能性是很大的。 反之，没有人以上被治愈的事很少会发生（概率为反之，没有人以上被治愈的事很少会发生（概率为 ）。）。 如果我们做一次这样的试验，结果没有人以上被治愈，我们应当对此药的如果我们做一次这样的试验，结果没有人以上被治愈，我们应当对此药的“治愈率为治愈率为 ” ”的说

28、法表示怀疑。的说法表示怀疑。 小概率事件不可能在一次试验中发生的原理是假设检验的理论根据。小概率事件不可能在一次试验中发生的原理是假设检验的理论根据。第74页/共95页第七十五页，共96页。第75页/共95页第七十六页，共96页。444488P(B )= P(4)= C p (1-p)第76页/共95页第七十七页，共96页。作业作业(zuy)：P33363、6、12、15、20、22第77页/共95页第七十八页，共96页。P(B|A)0.98 P(B|A)0.99 P(A)0.03第78页/共95页第七十九页，共96页。P(AB)P(A)P(B|A)P(A|B)P(B)P(A)P(B|A)P(

29、A)P(B|A)0.03 0.980.75200.03 0.980.97 0.01P(AB)P(A)P(B|A)P(A|B)P(B)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)0.03 0.020.00060.03 0.020.97 0.99第79页/共95页第八十页，共96页。第80页/共95页第八十一页，共96页。第81页/共95页第八十二页，共96页。P(A|C)0.04 P(A|C)0.06112233P(C)P(B )P(C|B )P(B )P(C|B )P(B )P(C|B )120112117 0.77423253 16322第82页/共95页第八十三页，共96页。P(AC)P(C)

30、P(A|C)P(C|A)P(A)P(A)0.7742 (1 0.04) 0.98210.7568P(A)P(C)P(A|C)P(C)P(A|C) 0.7742 (1 0.04)0.2258 0.060.7568第83页/共95页第八十四页，共96页。作业作业(zuy)讲解讲解4. 解解相互独立。与CBABAPCPBPAPBPAPCPCPBPAPCPBPCPAPABCPBCPACPBCACPBCACCBA)()()()()()()()()()()()()()()()()()()(第84页/共95页第八十五页，共96页。5. 解解3 . 04 . 02001506 . 0100)()(4 . 0)

31、(6 . 0)()()()(1)(1)()(3 , 2 , 12131211213121321321yxyxyAAAPxAAPAPAPAAAPAAPAPAAAPAAAPAPiiAAi则设次击中目标射手第射手击中目标832. 07 . 06 . 04 . 01)(7 . 0)(6 . 0)(3 . 0)(4 . 0)(2131221312APAAAPAAPAAAPAAP第85页/共95页第八十六页，共96页。6. 解解A=点数之和为偶数点数之和为偶数(u sh) B=点数之和等于点数之和等于818536/1836/5)()()()()()4 , 4()3 , 5()5 , 3( , )2 , 6

32、( , )6 , 2(18APBPAPABPABPBrA，第86页/共95页第八十七页，共96页。7. 解解 设设Ai=第第i人破译人破译(p y)出密码出密码 i=1,2,3123123123123111P(A ),P(A ),P(A )534P(AAA )1 P(A A A )1 P(A )P(A )P(A )42315340.6 第87页/共95页第八十八页，共96页。8. 解解10110/110/110/13443, 4)()()() 1 (221121PPPPAPABPABP)4 , 3(),3 , 4(),2 , 5(),5 , 2(),1 , 6(),6 , 1(761100/6

33、100/17100/1)()()()2(2121其中PBPABPBAP第88页/共95页第八十九页，共96页。13. 解解A=产品产品(chnpn)为正品为正品B=产品产品(chnpn)经检验为正品经检验为正品0545. 005. 09 . 095. 001. 0)()()()()() 1 (99. 0)(9 . 0)(95. 0)(APABPAPABPBPABPABPAP1743. 00545. 095. 001. 0)()()()()()()2(BPAPABPBPBAPBAP第89页/共95页第九十页，共96页。15 . 解解 A=被诊断患有肺癌被诊断患有肺癌(fi i) B=确实患有肺癌确实患有肺癌(fi i)P(A)P(A B)P(B)P(A B)P(B)0.98 0.030.01 0.970.0391P(A B)P(B)P(AB)P(B A)P(A)P(A)0.98 0.030.75190