郑州大学远程教育学院高等数学模拟试卷3

1、高等数学 ( 一) 模拟试卷三得分评卷人一、选择题： 1-10 小题，每小题4 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设 f (x) 在 x2处可导，且f (2)2 ，则 limf ( 2h)f (2) 等于（）h02hA 1B . 1C.2D.422. 设则 f ( x)1x ，则 f ( x) 等于 ()A.1B.xx2CC.xx2CD.2x x2C23.函数ysin x在区间 0,上满足罗尔定理的等于（）A.0B.4C.2D.4. 将 limf (x)f ( a)1 ，则函数 f ( x) 在 xa 处（）xaxaA. 异数存在，且有 f(a)1B.异

2、数一定不存在C.f (a) 为极大值D.f (a) 为极小值5.dbarcsin xdx 等于dxa（）A.arcsin bar cosaB.11x2C.arcsin xD. 06. 下列关系正确的是（）11dx030A.1 x3B.x dxC.1D.1sin x4 dx 0sin x5 dx 0117. 设ysin x，则y等于（）x 0A. 1B.0C. -1D.-28. 设 zy2 x则z等于xA.2xy2 x 1B.2y2 xC. y2 x ln yD.2 y 2x ln y9交换二次积分次序221dy f ( x, y)dx 等于（）y22f (x, y) dy2xf ( x, y)

3、dyA.dxB.dx1x1122f (x, y)dy22f ( x, y)dyC.dxD.dx1x1y10下列命题正确的是（）A un发散，则un 必定发散n 1n1B. 若un收剑，则un必定收剑n 1n 1C.若un 收剑，则(un 1) 必定收剑n 1n 1D. 若un收剑，则un 必定收剑n 1n 1得分评卷人二、填空题： 11-20 小题，每小题4 分，共 40 分.分 . 把答案填在题中横线上 .11若当 x0 时， 2 x2 与 sin ax 2为等价无穷 a=.312函数 = 31的间断点为.2x113设函数 yx2sin x ，则 dy =.14.设函数 yy(x) 由方程

4、x2 yy 2 x 2 y 1 确定， y.15.不定积分1dx =.3x1dx216.sin tdt =.dx017.设 zx3 y2 ，则 dz=.x 1y 218.设区域 D: x2y2a2 ( a0), y0 ，则dxdy 化为极坐标下的表达式D为.19.过点 M 0(2,0, 1)xyz.且平行于1的直线方程为3120.幂级数xn.的收剑区间为n 1 2n得分评卷人三、解答题： 21-28 小题，共70 分 . 解答应写出推理、演算步骤 .21. （本题满分8 分）设tanbxf ( x)xx2x0,x0,且 f (x) 在点 x0 出连续，求 b.22.( 本题满分 8 分 ) 设

5、函数 yx sin x ，求 y .23（本题满分 8 分）x1,1,设 f (x)1x2f ( x)dx.2, x求02x1.24 （本题满分8 分）求由方程 y2xcost 2 dt0 确定的 yy( x) 导函数 y .025. （本题满分 8 分）设 z ex yy ，求z , z .xx y26. （本题满分 10 分）计算x2y2 dxdy, 其中 D 是由 x2y21, yx 及 x 轴所围成的第一象D域的封闭图形.27.( 本题满分 10 分 )求垂直域直线2x6 y10且与曲线yx33x25 相切的直线方程 .28. （本题满分 10 分）求 y2y2x 的通解 .高等数学（

6、一）应试模拟第6 套参考答案与解题指导一、选择题：每小题4 分，共 40分1 B【解析】本题考查的知识点为导线在一点处的定义.limf ( 2h)f (2)1 f (2)121,h 02h22可知应选 B。2.C【解析】本题考查的知识点为不定积分的性质.f ( x)f ( x) dx(1x)dx xx2C ,2可知应选C3.C【解析】本题考查的知识点为罗尔定理的条件与结论.由于 ysin x 在 0,上连续，在 (0,) 内可导，且y0 y ，可知x 0xy sin x 在 0,上满足罗尔定理，因此必定存在( 0,) 使ycosxcos0 ，从而应有.xx2故知应选C。4.A【解析】本题考查的

7、知识点为导数的定义.由于 lim f ( x)f (a)1，可知 f (a)1，因此选 A.xaxa由于 f(a)1 0, 因此 f (a) 不可能是 f ( x) 的极值，可知C.D 都不正确 .5.D【解析】本题考查的知识点为定积分的性质.b由于当 f (x) 可积时，定积分f (x)dx 的值为一个确定常数，因此总有adbf ( x)dx 0 ，dx a故应选 D6.C【解析】本题考查的知识点为定积分的对称性.由于 sin x51,1 上为连续的奇函数，因此1o ，可知应选 C.在sin x5 dx1sin x4 为偶函数，且当0x1时， sin x40. 因此114 dx0.osin

8、x4 dx2 sin x可知 D不正确.10应该指出，1lim1，因此11x3 在 x=0 处没有定义，且x31 x3 dx 不满足定积分的x 0对称性质 .相仿x3dx 为无穷区间上的广义积分，也不满足定积分的对称性质.7 A【解析】本题考查的知识点为导数公式.由于(sin x)cos x, ycos x1,x 0x 0可知应选A.8 D【解析】本题考查的知识点为偏导数的运算z y2 x , 若求 z ，则需将 z 认定为指数函数，从而有zxy2 x ln y (2x) 2y 2x ln y,x可知应选D.9.B【解析】本题考查的知识点为交换二次积分次序.由所给二次积分可知积分区域D 可以表

9、示为 1y 2, yx 2,交换积分次序后，D 可以表示为1 x2,1 y x,故应选 B.10 D【解析】本题考查的知识点为收剑级数的性质和绝对收剑的概念.由收剑级数的性质“绝对收剑的级数必定收剑：可知应选D.由于调和级数1发散，而莱布尼茨级数( 1)n 1 . 1 收剑，可知 A,B 都不正确 .n 1 nn 1n由于当un 收剑时 lim un0,因此 lim (un 1) 10, 由级数发散的充分条件知nnn 1(un1) 发散，可知C 不正确 .n 1二、填空题：每空4 分，共 40分 .11 6【解析】本题考查的知识点为无穷小阶的比较.由于当 x0 时， 2x 2与 sin ax2

10、为等价无穷小，因此31 lim2x 2lim2 x26 ,x 0ax2x 0ax2asin33可知 a=6.121.【解析】本题考查的知识点为判定函数的间断点.31仅当 x210 即 x1 时，函数 y3x没有定义，因此，x1为函21数的间断点 .13 (2 x cosc) dx.【解析】本题考查的知识点为微分运算.解法一：利用dyy dx.由于y(x2sin)2xcos,xx可知 dy(2 x cos x)dx.解法二：利用微分运算法则(2sin)2sin(2cos ),dyd xxdxdxxx dx142xyy2x22xy2【解析】本题考查的知识点为隐函数的求异.将 x2 yy2 x 2y

11、1 两端关于x 求异，两端关于x 求异，( 2xy x2 y )(2 yy xy2 )2y0， ( x22xy2) y(2xy y 2 ) 0,因此 y2xy y 2.2xy2x215 1 ln( 3x1) C3【解析】本题考查的知识点为不定积分的换元积分法.1dx11d(3x1)1 ln( 3x1)C .3x133x1316 2x sin x2 .【解析】本题考查的知识点为可变上限积分的求导.dx2sin tdtsin( x2 )( x2 )2x sin x2.dx017 12dx4dy.【解析】本题考查的知识点为求函数在一点处的全微分.由于 zx3 y2 ，可知z3x2 y2 ，z2x3

12、y ，均为连续函数，因此xydzzdxzxdy,ydzzdxzy x 1dy 12dx 4dy.x1y x 1y2y 2y 2a18drdr .00【解析】本题考查的知识点为二重积分的直角坐标与极坐标转化问题.由于 x2y 2a 2 , y 0可以表示为0,0 r a,dxdyda因此rdr .D0019 x2 yz1.311【解析】本题考查的知识点为求直线的方程.由于所求直线平行与已知直线 l , 可知两条直线的方向向量相同，由直线的标准式方程可知所求直线方程为x2yz131120（ -2 ， 2）【解析】本题考查的知识点为幂级数的收剑区间.由于所给级数为不缺项情形，lim an 111li

13、m 2n 1,nann122n可知收剑半径12,收剑区间为（ -2 ，2） .R三、解答题：共70 分21解：由于 limf ( x)lim tanbxlimbxb,x 0x 0xx0xlimf ( x)lim ( x2)2,x 0x 0又由于 f (x) 在点 x0 处连续，因此 limf ( x)f(0) 2.x 0可知b2.22解：由于 yx sin x, 可得yx sin xx (sin x)sin xx cos x212f (x)dx23. 解:f (x)dxf ( x) dx10012 1212112=1)dxdxxx)x3(x2x(60120124. 解: 将方程两端关于 x 求异，得2yycosx20, ycosx 2.2 y25 解： zex yy ,则xz(ex y) x( y )xxy8 .3ex yy,x2z(ex y)( y )yx yex1 .x26 解：在极坐标系中， D 可以表示为 0,0 r 1.422414 131xydxyd rrdrrdD000 3014 d12.3027 解 ： 由 于 直 线 2x6 y 1 0 的 斜 率 k1，与其垂直的直线的斜率3k113.k对于3325,326 .yxxyxx由题意应有 3x26x3, 因此x22x10,x1