《微积分初步》形成性考核册

1、8下列各函数对中， （）中的两个函数相等答案：d a2)()(xxf，xxg)(b2)(xxf，xxg)(c2ln)(xxf，xxgln2)(d3ln)(xxfxxgln3)(提示：两个函数相等，必须是对应的规则相同，定义域相同。上述答案中， a 定义域不同； b 对应的规则不同； c 定义域不同； d 对应的规则相同，定义域相同9当0 x时，下列变量中为无穷小量的是（）答案：c. a x1b xxsinc )1ln(xd2xx提示：以 0 为极限的变量称为无穷小量。上述答案中，当0 x时， a 趋向； b 的极限为 1；c 的极限为 0；d 趋向。10当k（）时，函数0,0, 1)(2xkx

2、xxf，在0 x处连续 . 答案： b a0 b1 c2d1提示：当)()(lim00 xfxfxx时，称函数)(xf在0 x连续。因1)1(lim)(lim200 xxfxxkf)0(，所以当k1 时， 函数0,0, 1)(2xkxxxf， 在0 x处连续11当k（）时，函数0,0,2)(xkxexfx在0 x处连续答案： d a0 b1 c2d3提示：当)()(lim00 xfxfxx时，称函数)(xf在0 x连续。因为3)2(lim)(lim00 xxxexfkf)0(，所以当k3 时，函数0,0,2)(xkxexfx，在0 x处连续12函数233)(2xxxxf的间断点是（）答案：a

3、a2,1 xxb3xc3,2, 1xxxd无间断点提示：若)(xf在0 x有下列三种情况之一，则)(xf在0 x间断：在0 x无定义；在0 x极限不存在；在0 x处有定义，且)(lim0 xfxx存在，但)()(lim00 xfxfxx。题中，分母)2)(1(232xxxx，所以在10 x和20 x处无定义三、解答题（每小题7 分，共 56 分）计算极限423lim222xxxx解4121l i m)2)(2()2)(1(lim423lim22222xxxxxxxxxxxx2计算极限165lim221xxxx解2716lim)1)(1() 1)(6(lim165lim11221xxxxxxxx

4、xxxx3.329lim223xxxx解324613l i m)3)(1()3)(3(lim329lim33223xxxxxxxxxxxx4计算极限4586lim224xxxxx解3212l i m) 1)(4()2)(4(lim4586lim44224xxxxxxxxxxxxx5计算极限6586lim222xxxxx解234lim)2)(3()2)(4(lim6586lim22222xxxxxxxxxxxxx6. 计 算 极 限xxx11lim0解) 11() 11)(11(lim11lim00 xxxxxxxx21111lim) 11(lim00 xxxxxx7 计 算 极 限xxx4si

5、n11lim0解xxxxxxxxxxxx4si n) 11(lim4sin) 11() 11)(11(lim4sin11lim000811214144sin1) 11(1)41(lim4sin)11(44lim00 xxxxxxxx8计算极限244sinlim0 xxx解)24)(24()24(4sinlim244sinlim00 xxxxxxxx414)24(44sin4lim) 24(4sinlim00 xxxxxxxx作业（二）导数、微分及应用一、填空题（每小题2 分，共 20 分）1曲线1)(xxf在)2 ,1 (点的斜率是答案：21提示：若已知曲线方程)(xfy，则它在任一点x处的斜

6、率为)(xfk。题中xxxf21)1()(，将1x代入上式，得21)(xf2 曲线xxfe)(在)1 ,0(点的 切线方 程是答案：1xy提示：若已知曲线方程)(xfy，则它在任一点x处的斜率为)(xfk。若给定曲线上的一点),(00yx，则通过该点的切线方程为kxxyy00。题中xxeexf)()(，将0 x代入上式，得1)(0exfk， 所以通过点 (0,1)切线方程为11xy，即1xy3曲线21xy在点)1, 1(处的切线方程是答案：32xy提示：若已知曲线方程)(xfy，则它在任一点x处的斜率为)(xfk。若给定 曲 线 上 的 一 点),(00yx， 则 通 过 该 点 的 切 线

7、方 程 为kxxyy00。 题中232121)()(xxxf， 将1x代入上式，得21)(xfk，所以通过点 (0,1)切线方程为2111xy，即32xy4)2(x答案：xx22ln2提示：根据复合函数求导法则计算。xxxxxxx22ln2212ln2)(2ln2)2(5若 y = x (x 1)(x 2)(x 3)，则y(0) = 答案：6提示：根据有限多个函数的乘积的求导法则（见p45） ，3()2)(1()3)(2()1()3)(2)(1(xxxxxxxxxxxxy+)3)(2)(1(xxxx)2)(1()3)(1()3)(2()3)(2)(1(xxxxxxxxxxxxy6)3)(2)(

8、1()0(y6已知xxxf3)(3，则)3(f=答案：)3ln1 (27提 示 ：3ln33)3()()(23xxxxxf) 3ln1(273ln333)3(32f7已知xxfln)(，则)(xf= 答案：21x提示：xxxf1)(ln)(，21)1()(xxxf8若xxxfe)(，则)0(f答案：29函数yx312()的单调增加区间是 答案：), 1(10函数1)(2axxf在区间),0(内单调增加，则 a 应满足答 案 ：0a提 示 ； 当0)(xf时 ， 函 数)(xf单 调 增 加 。 题 中 ，02) 1()(2axaxxf，所以函数1)(2axxf在区间),0(内单调增加， a 应

9、满足0a。二、单项选择题（每小题2 分，共 24 分）1函数2)1(xy在区间)2 ,2(是（）答案：d a 单调增加b 单调减少c 先增后减d 先减后增提 示 ：当0)(xf时 ， 函 数)(xf单 调 增 加 当0)(xf时 ， 函 数)(xf单 调 减 少 。 题 中 ，)1(2 xy， 令0y， 得 驻 点1x。 当12x时 ，0y， 函 数 单 调 减 少 ； 当21x时，0y，函数单调增加。所以函数2) 1(xy在区间)2,2(是先减后增。2满足方程0)(xf的点一定是函数)(xfy的（ ）答案： c. a极值点b最值点c驻点d 间断点提示：使0)(xf的点，成为函数)(xf的驻点

10、（ p69 定理 3.2）3若xxfxcose)(，则)0(f=（） 答案： c a. 2b. 1 c. - 1d. 2 提示：xexexexexfxxxxsincos)(coscos)()(，101110sin0cos)0(00eef4设yxlg2，则d y（） 答案： b a 12dxxb 1dxxln10c ln10 xxdd1dxx提示：10ln1210ln21)2(10ln21xxxxy5 设)(xfy是可微函数， 则)2(cosdxf（） 答案：d axxfd)2(cos2bxxxfd22sin)2(coscxxxfd2sin)2(cos2dxxxfd22sin)2(cos提示：)

11、2)(2sin)(2(cos)2)(cos2(cos )2(cosxxxfxxfxf2)2) ( si n2( c o sxxfxdxinxfdxxxfxdf2)2)(2(cos2)2)(sin2(cos)2(cos6曲线1e2xy在2x处切线的斜率是 （） 答案： c a4eb2ec42ed2提示：若已知曲线方程)(xfy，则它在任一点x处的斜率为)(xfk。)()(2xexfxxexe222)2(，将2x代入上式得42222)2(eef7若xxxfcos)(，则)(xf（） 答案： c axxxsincosb xxxsincosc xxxcossin2dxxxcossin2提示：xxxxx

12、xxxxxfsincos)(coscos)cos()(sinsin)(sin)sin(sin)sin()(cos)(xxxxxxxxxxxxfxxxcossin28若3sin)(axxf， 其中a是常数，则)(xf（ ） 答案c a 23cosaxb ax6sinc xsind xcos提 示 ：xaxxfc o s)()( si n)(3，xxxfsin)(cos)(9 下列结论中 （）不正确答案：c a)(xf在0 xx处连续，则一定在0 x处可微 . b )(xf在0 xx处不连续，则一定在0 x处不可导 . c可导函数的极值点一定发生在其驻点上. d若)(xf在a，b内恒有0)(xf，

13、 则 在 a ， b内函数是单调下降的. 提示：极大值可能出现在： 驻点（驻点是0)(xf的点） ；)(xf连续但导数不存在的点。10若函数 f (x)在点 x0处可导， 则( )是错误的答案：b a函数 f (x)在点 x0处有定义baxfxx)(lim0，但)(0 xfac函数 f (x)在点 x0处连续d函数 f (x)在点 x0处可微提示：若函数)(xf在点0 x可导，则它在点0 x一定连续（ p83 定理 2.5 ） 。axfxx)(lim0，但)(0 xfa即)(xf在点0 x不连续。11 下 列 函 数 在 指 定 区 间(,)上 单 调 增 加 的 是（） 答案： basinx

14、be xcx 2d3 x 提示： a 是周期函数； b 是单调增函数； c 是偶函数，先减后增； d 是单调减函数12. 下列结论正确的有（） 答案： aa x0是 f (x)的极值点，且f(x0)存在，则必有f(x0) = 0bx0是 f (x)的极值点，则x0必是 f (x)的驻点c 若f(x0) = 0 ， 则x0必 是 f (x) 的 极 值 点d使)(xf不存在的点x0，一定是 f (x)的极值点提示：a 正确； b 不正确，因为驻点不一定是极值点；c 不正确，f(x0) = 0 就是驻点，驻点不一定是极值点；d 不正确，因为极大值可能出现在：驻点和)(xf连续但导数不存在的点。三、

15、解答题（每小题7 分，共 56 分）1设xxy12e， 求y解)1(2)1(2)()()(2121121121212xexxexexxeexexexyxxxxxxxxxxexexe111) 12(22设xxy3cos4sin，求y. 解xxxxxxxxxysincos24cos4)(coscos2)4(4cos)(cos)4(sin2233设xyx1e1，求y. 解21211112e1)1(e)1()e(xxxxxyxxx4设xxxycosln，求y.解xxxxxxyco ssi n23)c os(l n)(5设)(xyy是由方程422xyyx确定的隐函数，求yd. 解对方程两边求导，得0)(

16、22yxyyyx，xyyxy2)2(，xyxyy22，dxxyxydy226设)(xyy是由方程1222xyyx确定的隐函数，求yd.解对方程两边求导，得0)(222yxyyyx，)22()22(xyyxy，1y，dxdy7设)(xyy是由方程4ee2xxyx确定的隐函数，求yd. 解对方程两边求导，得02)(xyxeeeyyx，)2(xeyxexy，yxxexey2，dxxexedyyx28设1e)cos(yyx，求yd解对方程两边求导，得0)1)(sin(yeyyxy，)sin()sin(yxyyxey)sin()sin(yxeyxyy，dxyxeyxdyy)sin()sin(作业（三）不

17、定积分，极值应用问题一、填空题（每小题2 分，共 20 分）1若)(xf的一个原函数为2ln x，则)(xf。答案： x2（c为任意常数）提示：参见教材 p90， 根据定义 4.1 ， 若)()(xfxf， 则称)(xf为)(xf的原函数，根据题意，对2ln x求导的结果就是)(xf，即xxxxxxxf221)(1)(ln)(22222 若)(xf的 一 个 原 函 数 为xx2e， 则)(xf。答案：xe221提示：参见教材p90，根据定义4.1 ，若)()(xfxf，则称)(xf为)(xf的原函数，根据题意，对xx2e求导的结果就是)(xf，即xxeexxf2221)()(，所以xexf2

18、4)(3若cxxxfxed)(，则)(xf答案：xxxee提 示 ：xxxxeecxexf)()(验 算 ：)(dxexeedxxedxedxxeexxxxxxxcxecexeexxxx4 若cxxxf2s ind)(， 则)(xf答案：xc o s2提示：xcxxf2cos2)2(s in)(验算：cxxxdxdx2sin)2(2cos2cos25 若cxxxxflnd)(， 则)(xf 答案：x1提示：1ln1ln)ln()(xxxxcxxxfxxxf1)1(ln)(6若cxxxf2cosd)(，则)(xf答案：xcon24提示：xcxxf2sin2)2(cos)(xxxf2cos4)2s

19、in2()(7xxded2答案：dxex2提示：xxde2是2xe的原函数，对原函数xxde2求导就等于被积函数2xe，所以对原函数xxde2求微分就等于被积函数2xe的微分dxex28xx d)(sin答案：cxsin提示：cxxdxxxsincosd)(sin9若cxfxxf)(d)(，则xxfd)32(答案：cxf)32(21提示：xfcufduufxdxfxxf32(21)(21)(21) 32()32(21d) 32(10若cxfxxf)(d)(，则xxxfd)1(2答案：cxf)1 (212提示：duufxdxfxxxf)(21)1()1 (21d)1(222cxf)1(212二、

20、单项选择题（每小题2 分，共 16 分）1下列等式成立的是（） 答案： a a)(d)(ddxfxxfxb)(d)(xfxxfc)(d)(dxfxxfd)()(dxfxf提示：对原函数xxfd)(求导等于被积函数本身23若cxxxfx22ed )(， 则)(xf（） . 答案：a a.)1(e22xxxb.xx22e2c.xx2e2d.xx2e提示：xxxxexxexxecexxf222222)1(222)()(4 若)0()(xxxxf， 则xxfd)(（） . 答案： a a. cxxb. cxx2c. cxx23223d. cxx2323221提示：21211)()(xxxxfcxxcx

21、xdxxxxf212121121)211(d)(即对被积函数先求导再积分等于被积函数本身（加不定常数） 。5以下计算正确的是（）答案： a a3ln3dd3xxxb)1 (d1d22xxxcxxxddd)1d(dlnxxx提示：dxdxxxx33ln3ln33ln3d6xxfxd)(（）答案： a a. cxfxfx)()(b. cxf x)(c. cxfx)(212d. cxfx)()1(提示：利用分部积分法，dxxuxvxvxudxxvxu)()()()()()(设xu，)(xfv, 则1u，)(xfvcxfxf xdxxfxfxxxfx)()()()(d)(上式中利用了“对被积函数先求导

22、再积分等于被积函数本身（加不定常数）” 。7xaxdd2=（） 答案： c axa2bxaaxdln22cxaxd2dcxaxd2提示：所以对原函 数xxda2求微分 就等 于被积 函数xa2的 微 分dxax28如果等式cxxfxx11ede)(，则)(xf（）答案 b a.x1b. 21xc. x1d. 21x提示：xxxxexfexxee112211)(11)(，比较上式左右两边，可知21)(xxf三、计算题（每小题7 分，共 35 分）1xxxxxdsin33解cxxxdxxxxxxxxxcos32ln3)sin3(dsin32332xxd) 12(10解cxcxxdxxx111110

23、10) 12(221) 12(11121) 12() 12(21d) 12 (3xxxd1sin2解cxxdxdxxx1cos)1(1sin1sin24xxxd2sin解利用分步积分法：vdxuuvdxvu设xu，xv2sin，则1u，xxdxv2cos212sin)2(2cos412cos212cos212cos21d2sinxxdxxxdxxxxxxcxxx2sin412cos215xxexd解利用分步积分法：vdxuuvdxvu设xu，xev，则1u，xxedxev)(dxdexedxexexxexxxxxcexexx四、极值应用题（每小题12 分，共 24 分）1设矩形的周长为120

24、厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。解设矩形的一边边长为x 厘米，则另一边边长为（60-x ）厘米，边长为x 厘米的边绕轴旋转得一圆柱体，其底面积为(60-x)2，旋转体的体积为xxv2)60(2403600()()120()3600()60(322xxxxxxv令0v，即0360024032xx01200802xx24800640080212001480802x24080216008020,6021xx其 中601x是 极 小 值 点 ， 此 时 体 积 为0；202x是极大值点，也是最大值点，对应的圆柱体最大体60-x 0 x x y

25、积值为)(32001600204020)2060(2022立方厘米v2欲用围墙围成面积为216 平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？解设土地一边长为x，另一边长为x216，共用材料为y于是y=3xxxx4323216224323xy令0y得唯一驻点12x（12x舍去）10 分因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当土地一边长为12，另一边长为18 时，所用材料最省.五、证明题（本题5 分）1函数xexxf)(在（)0,是单调增加的证 只需证明当0 x时，有0)(xexxf因为xxeexxf1)()(当0 x时，1

26、xe，即有0)(xf所以，当0 x时，xexxf)(是单调增加的。作业（四）定积分及应用、微分方程一、填空题（每小题2 分，共 20 分）1._d)2cos(sin112xxxx答案：32提示：上式被积函数第一项和是奇函数，在对称积分限下的积分结果为0，第二项数是偶函数， 在对称积分限可化为1022dxx，所以3232d2d)2cos(sin103102112xxxxxxx2._d)cos4(225xxxx答案：2提示：被积函数的第一项和第二项都是奇函数，在对称积分限下的积分结果为0，第三项为是偶函数， 在对称积分限下可化为20cos2dx，所以2sin2cos2d)cos4(2020225x

27、xdxxxxx3已知曲线)(xfy在任意点x处切线的斜率为x，且 曲 线过)5,4(，则该 曲线的 方程 是。答 案 ：32xy提示：切线在点（4，5）处的斜率为24k，根据切线方程kxxyy00，得该切线方程为245xy，即32xy4若dxxx)235(113答案： 2 提示：上式被积函数第一项和第二项都是奇函数，在对称积分限下的积分结果为0，第三项为是偶函数，在对称积分限下可化为1012dx，所以2212)235(1010113xdxdxxx5由定积分的几何意义知，xxaad022= 。答案：42a，它是1/4半径为 a 的圆的面积。提 示 ： 设uaxs i n， 则uduadxcos。

28、 当0, 0 ux；当2,uax。所以uuauduauaxxaacoscoscossin1d2022020224)42sin2(22cos1220202202auuaduua，它是 1/4 半径为 a 的圆的面积（参见p125（3） ）6e12d)1ln(ddxxx. 答案：0提示：因为定积分的结果是一个数值（即常数），常数的导数数为 0。7xxde02= 答案：21提示：21)1(2121)d(2e21de020202eexxxxx8 微分方程1)0(, yyy的特解为. 答案：1 提示：将微分方程yy分离变量得dxdyy1两边积分得xyln，即xey，所以微分方程1)0(, yyy的特解为

29、1)0(0ey9微分方程03yy的通解为. 答案：xe3提示：将微分方程分离变量得dxdyy31两边积分得xy3ln，即xey3，所以微分方程的通特解为xey310 微 分 方 程xyxyysin4)(7)4(3的 阶 数为答案： 2提示：微分方程的阶数是微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶次。二、单项选择题（每小题2 分，共 20 分）1在切线斜率为2x 的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（） 答案： aa y = x2+ 3b y = x2+ 4c22xyd12xy提示：曲线方程由cxxdxy22确定，将4, 1 yx代入cxy2得3c， 所以通过点（1, 4）的曲线为32xy。

30、2若10d)2(xkx= 2，则 k =（） 答案： a a 1 b - 1 c 0d21提 示 ：21d)2(10210kkxxxkx， 所 以1k3下列定积分中积分值为0 的是（） 答案： aaxxxd2ee11bxxxd2ee11cxxxd)cos(3dxxxd)sin(2提示：因为积分式xxxd2ee11中的被积函数2eexx是奇函数，奇函数在对称积分限下的定积分为0 。4设)(xf是连 续 的奇 函 数 ， 则定 积 分aaxxf-d)(（）答案： d a0-d)(2axxfb0-d)(axxfcaxxf0d)(d 0 提示：奇函数在对称积分限下的定积分为0 。5xxdsin22-（

31、） 答案： da0bc2d2提示：xs in是偶函数，所以2)10(2cos2ds in22020 xxx6下列无穷积分收敛的是（） 答案： b a0dexxb0dexxc1d1xxd1d1xx提示：1de00eexxx发散，111de00eexxx收敛1lnlnd101xxx发 散22d101xxx发散7下列无穷积分收敛的是（） 答案： b a 0dinxxsb 02dexxc1d1xxd1d1xx提 示 ：1c o sc o sdin00 xxxs发 散212112121de20202eexxx收敛1lnlnd101xxx发 散22d101xxx发散8下列微分方程中， （）是线性微分方程答案：d ayyyxln2bxxyyye2