飞行器结构动力学_第2章

1、第2章 单自由度系统的振动第第2 2章章 单自由度系统的振动单自由度系统的振动 2.1 2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 2.2 2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 2.3 2.3 单自由度系统的工程应用单自由度系统的工程应用 2.4 2.4 阻尼理论阻尼理论 第2章 单自由度系统的振动第第2 2章章 单自由度系统的振动单自由度系统的振动 2.1 2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 第2章 单自由度系统的振动2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动第2章 单自由度系统的振动振动系统振动系统 连续模型：连续模型：无限个自由度无限

2、个自由度 离散模型：离散模型：有限个自由度有限个自由度离散模型的基本元素离散模型的基本元素弹性元件弹性元件阻尼元件阻尼元件惯性元件惯性元件单自由度线性系统单自由度线性系统最简单的离散模型最简单的离散模型作为较复杂系统的初步近似作为较复杂系统的初步近似第2章 单自由度系统的振动 构成离散模型的元素构成离散模型的元素2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 弹性元件弹性元件弹簧弹簧 最典型的弹性元件，假定无质量最典型的弹性元件，假定无质量 线性弹簧线性弹簧: x2-x1 较小时，较小时，Fsk(x2-x1) k:弹簧常数弹簧常数或或弹簧刚度弹簧刚度，单位（，单位（N/m） 第2章 单自

3、由度系统的振动通常称为通常称为阻尼器（阻尼器（damper），一般假设无质量。，一般假设无质量。 常见的阻尼模型常见的阻尼模型 阻尼元件阻尼元件粘性阻尼（粘性阻尼（viscous damping）：导致物体在粘性流体中运）：导致物体在粘性流体中运动时受到的阻力。动时受到的阻力。最常见、线性最常见、线性干摩擦阻尼（干摩擦阻尼（Coulomb damping） ：相邻构件间发生相对：相邻构件间发生相对运动所致。运动所致。非线性非线性结构阻尼（结构阻尼（structural damping）：）：材料变形时材料内部各材料变形时材料内部各平面间产生相对滑移或滑动引起内摩擦所致的滞后阻尼。平面间产生相对

4、滑移或滑动引起内摩擦所致的滞后阻尼。复杂复杂2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动第2章 单自由度系统的振动 如无特别说明，本课程所说的阻尼均指如无特别说明，本课程所说的阻尼均指粘性阻尼粘性阻尼 阻尼力阻尼力 粘性阻尼系数：粘性阻尼系数：比例系数比例系数 c ，单位（，单位（N-s/m） 阻尼器阻尼器通常用通常用c 表示。表示。 线性模型线性模型2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 (a) (b) c 0 斜率 c dF 1x 2x dF 12xx dF 21()dFc xx第2章 单自由度系统的振动 惯性元件惯性元件2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自

5、由振动离散系统的离散系统的质量元件质量元件，惯性力惯性力质量质量m：比例系数，单位（比例系数，单位（kg）。）。 ( )mFmx t第2章 单自由度系统的振动 弹性元件的组合弹性元件的组合2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动等效刚度等效刚度 （2-2）串联串联1neqiikk（2-3）并联并联消掉消掉x0)(12xxkFeqs12111kkkeq（2-4）（2-5）111neqiikk1212122121 ()() ()ssseqFFFk xxkxxkxx（2-1）（2-6）等效刚度等效刚度101220()()sFk xxkxx第2章 单自由度系统的振动2.1 单自由度系统的自

6、由振动单自由度系统的自由振动2.1.1 单自由度系统的运动方程单自由度系统的运动方程 单自由度弹簧单自由度弹簧-阻尼器阻尼器-质量（质量（SDM）系统（无摩擦）系统（无摩擦） 牛顿法牛顿法( )( )( )( )sdF tF tF tmx t（2-7） )()(tkxtFs)()(txctFd( )( )( )( )mx tcx tkx tF t代入代入（2-8） 二阶常系数常微分方程二阶常系数常微分方程。 常数常数 m ，c， k是描述系统的是描述系统的系统参数系统参数。 第2章 单自由度系统的振动2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动系统的无阻尼自然角频率系统的无阻尼自然角频

7、率( rad/s)2( )( )0nx tx tnkm （2-9）12( )cossinnnx tAtAt（2-10）2.1.2 无阻尼自由振动无阻尼自由振动 F (t) =0 ，c = 0 运动方程运动方程（2-9）式的通解）式的通解理想状态，实际上阻尼或多或少存在理想状态，实际上阻尼或多或少存在 令令 ，0(0)xx)0(0 xv00( )cossinnnnvx txtt（2-11）第2章 单自由度系统的振动2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动( )cosnx tAt（2-12）（2-10）还可写成）还可写成2212AAA121tanAA （2-13）幅值幅值初相位初相位1

8、00tannvx2200nvAx由（由（2-11）和（）和（2-13）可得）可得第2章 单自由度系统的振动2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 系统以固有频率系统以固有频率n 作简谐振动，称为作简谐振动，称为简谐振荡器简谐振荡器 相位角：位移从初始值达到最大值的时间。相位角：位移从初始值达到最大值的时间。 无能量损耗，运动会持续下去（保守系统）无能量损耗，运动会持续下去（保守系统）响应曲线响应曲线( )cosnx tAt第2章 单自由度系统的振动 例例2-1 半径为半径为R的半圆形薄壳，在粗糙的表面上的半圆形薄壳，在粗糙的表面上滚动，试推导此壳体在小幅运动下的运动微分方程，滚动

9、，试推导此壳体在小幅运动下的运动微分方程，并证明此壳体的运动象简谐振子，计算振子的自然振并证明此壳体的运动象简谐振子，计算振子的自然振动频率。动频率。 2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动第2章 单自由度系统的振动2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动ccIM（a） 运用理论力学中平面运动的理论建立运动方程。运用理论力学中平面运动的理论建立运动方程。 壳体倾斜角壳体倾斜角，c为壳体与表面接触点为壳体与表面接触点 在无滑动情况下，壳体瞬时绕在无滑动情况下，壳体瞬时绕c 点转动点转动 对对c 点取矩，可得系统的运动微分方程。点取矩，可得系统的运动微分方程。 解：解：I

10、c：绕c点的转动惯量Mc：重力作用下的恢复力矩第2章 单自由度系统的振动2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动2222222sinsincos2sincMRdwgRdgRgR （b）2222322sin(1 cos )21 cos2(2cos )cIRRdmRdR（c）壳体对壳体对C 点的转动惯量为点的转动惯量为: dw：给定角给定角位置的微元体重量位置的微元体重量 ：壳体单位面积的质量。壳体单位面积的质量。 第2章 单自由度系统的振动 小幅振动小幅振动（很小），很小），sin，cos1 ，将（将（b）、（）、（c）代入（）代入（a），得到），得到:32222RgR （d）02g

11、R（e）2ngR（f）整理可得整理可得: 当当很小时，系统运动的确象很小时，系统运动的确象简谐振子简谐振子，其，其自然频率自然频率为为: ccIM （a）2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动第2章 单自由度系统的振动2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 对于复杂系统，是简便的固有频率求解方法对于复杂系统，是简便的固有频率求解方法 任选两个时刻，系统机械能总和相等任选两个时刻，系统机械能总和相等 状态状态1 1：m m通过静平衡位置时刻通过静平衡位置时刻此点为势能参考点，此点为势能参考点，U U1 10 0，动能最大，动能最大T T1 1T Tmaxmax 状态状

12、态2 2：到达最大位移处的时刻：到达最大位移处的时刻势能最大势能最大U U2U Umaxmax，动能最小，动能最小T T2 20 0TU常数d(T+U)0dt11max22maxTUTTUU 能量法能量法 无阻尼质量无阻尼质量- -弹簧系统，运动中机械能不变，维持等幅振荡弹簧系统，运动中机械能不变，维持等幅振荡 或mk1k2omaxmaxTU（瑞雷法Rayleigh）第2章 单自由度系统的振动2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动( )cosnx tAt22max2max12maxmax1212nTmAUkkATU系统作简谐振动令12eqnkkkmm那么 采用瑞雷法时，假定振动形

13、式越接近实际情况，结果越准确（弹簧并联）第2章 单自由度系统的振动2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动( )stx tAe（2-19）2220nnss(2-20)2.1.3 有阻尼自由振动有阻尼自由振动 粘性阻尼因子：粘性阻尼因子：nmc2/将（将（2-19）代入（）代入（2-18b） 有阻尼自由振动方程有阻尼自由振动方程 ( )( )( )0mx tcx tkx t（2-18a）2( )2( )( )0nnx tx tx t（2-18b） 写成写成: 系统特征方程系统特征方程( )stx tAe系统的通解系统的通解第2章 单自由度系统的振动2.1 单自由度系统的自由振动单自由

14、度系统的自由振动 阻尼因子阻尼因子对响应的影响。对响应的影响。2220nnss(2-20)1221ssn =0：两个复根：两个复根in ，此时系统为简，此时系统为简谐振子。谐振子。 01：一对复共轭根，对称地位于实复共轭根，对称地位于实轴两侧，并位于半径为轴两侧，并位于半径为 n的圆上。的圆上。 =1： s1 、s2均为均为n ，落在实轴上。，落在实轴上。 1：特征方程的根始终在实轴上特征方程的根始终在实轴上,且且 ， s10、s2第2章 单自由度系统的振动系统的系统的通解通解 : :tnnnntstsnetAtAtAtAeAeAtx)1exp()1exp(1exp1exp)(22212221

15、2121（2-22）( )stx tAe（2-19）1221ssn （2-21） 系统的通解系统的通解2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 的影响第2章 单自由度系统的振动 过阻尼过阻尼( 1)tnnnntstsnetAtAtAtAeAeAtx)1exp()1exp(1exp1exp)(222122212121（2-22）2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动第2章 单自由度系统的振动2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 1 非振荡非振荡，且随时间，且随时间按指按指数规律衰减数规律衰减0 x(t)的形状取决于的形状取决于A1和和A2，也即取决于，也

16、即取决于x0和和v0 第2章 单自由度系统的振动2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动指数衰减的响应。指数衰减的响应。有重根，有重根，s1=s2=n tnetAAtx)()(21（2-23） 由表达式由表达式 =1时，时，/2ncmkmmcncr22 临界阻尼（临界阻尼（ =1）2220nnss（2-20）临界粘性阻尼临界粘性阻尼 所以所以 c/ccr 第2章 单自由度系统的振动2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动1 临界阻尼是临界阻尼是1和和1的分界点的分界点， =1时，系统的运动趋近于平时，系统的运动趋近于平衡位置的速度最大。衡位置的速度最大。 =1也是系统振

17、动与非振动运也是系统振动与非振动运动的临界点。动的临界点。第2章 单自由度系统的振动 =12.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动第2章 单自由度系统的振动2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动有阻尼自由振动频率：有阻尼自由振动频率：21dn由于由于 : :titetiteddtiddtiddsincossincos（2-25）221212( )exp1exp1nddntnnitittx tAitAiteAeA ee （2-24） 弱阻尼（弱阻尼（ 0 1）122211ssnni 第2章 单自由度系统的振动2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 方程（方

18、程（2-24）简化成）简化成)cos()(tAetxdtn（2-27） 运动为振动，频率运动为振动，频率d，相角，相角，幅值，幅值 ，以指数形式，以指数形式衰减。衰减。 常数常数A, 由初始条件决定。由初始条件决定。 称为称为小阻尼小阻尼或或欠阻尼欠阻尼情况。情况。 若阻尼很小，若阻尼很小，dntnAe10设设cos21AAAsin)(21AAAi（2-26）21dn第2章 单自由度系统的振动0 1 时的响应曲线时的响应曲线2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动t，x(t)0，响应最终，响应最终趋于消失趋于消失tnAe是响应曲线是响应曲线包络线包络线第2章 单自由度系统的振动2.

19、1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动计算系统分别在计算系统分别在 1， =1，0 1时，对时，对 ， 的响应。的响应。 0)0(x0)0(vx12AA 解解: 对于对于 ，用（，用（2-22）式有）式有 ，0)0(21AAx1（a）系统响应系统响应teAtxntn1sinh2)(21（b）对（对（b）式求导，并代入初始条件）式求导，并代入初始条件 0(0)xvnvA12201 （c）tevtxntnn1sinh1)(220（d）第2章 单自由度系统的振动2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 对于对于 =1tntevtx0)(（e）初始条件初始条件x(0)=0 = /

20、2 A=v0/d tevtxdtdnsin)(021nd （f）tnetAAtx)()(21A1=0，A2=v0)cos()(tAetxdtn对于对于 0 10(0)xv第2章 单自由度系统的振动2.1.4 对数衰减率对数衰减率 在欠阻尼情况下，粘性阻尼使振动按指数规律衰减，而指数在欠阻尼情况下，粘性阻尼使振动按指数规律衰减，而指数本身又是阻尼因子本身又是阻尼因子 的线性函数。下面来寻求通过衰减响应确定阻的线性函数。下面来寻求通过衰减响应确定阻尼因子尼因子 的途径。的途径。1时时x( (t t) )的一般规律的一般规律 设设t1 和和 t2表示两相邻周期中相距一个周期表示两相邻周期中相距一个周

21、期 T 的两对应点的时间。的两对应点的时间。2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动第2章 单自由度系统的振动任意两个时刻的响应之比为任意两个时刻的响应之比为)cos()cos(212121tAetAexxdtdtnn（2-28）)cos()(tAetxdtn（2-27）)cos()cos(12ttdd 由于由于 ， 是有阻尼振动的周期，所以是有阻尼振动的周期，所以Ttt12dT/21112nnntTtTxeexe（2-29）这样（这样（2-28）式可化为）式可化为:2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动第2章 单自由度系统的振动 观察（观察（2-29）式的指数关系，

22、可以引入）式的指数关系，可以引入对数衰减对数衰减率率:22112lnTxxn（2-30） 要确定系统的阻尼，可以测量两任意相邻周期的要确定系统的阻尼，可以测量两任意相邻周期的对应点对应点 x1 和和 x2 ，计算对数衰减率，计算对数衰减率21lnxx222（2-31）2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动对于微小阻尼情况对于微小阻尼情况2（2-32）第2章 单自由度系统的振动 值得注意的是，值得注意的是， 可以通过测量相隔任意周期的两对可以通过测量相隔任意周期的两对应点的位移应点的位移 ， 来确定。设来确定。设 、 为为 、 对对应的时间，应的时间， 为整数，则为整数，则1x1j

23、x1tjTttj111x1jxj112121231231lnln.lnln.lnjjjjjxxxx xxxjxx xxxxx（2-33）11ln1jxxj（2-34）2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动第2章 单自由度系统的振动 例例 实验观察到一有阻尼单自由度系统的振动幅值在实验观察到一有阻尼单自由度系统的振动幅值在5个完整个完整的周期后衰减了的周期后衰减了50%，设系统阻尼为粘性阻尼，试计算系统的阻尼，设系统阻尼为粘性阻尼，试计算系统的阻尼因子。因子。 解解: ，则，则5j13863. 02ln515 . 0ln51ln511161xxxx 由（由（2-31）、（）、（2-

24、32）式分别得到：）式分别得到：022058. 013863. 0213863. 0 2 222231022064. 0213863. 02322.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动第2章 单自由度系统的振动2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动2.1.5 2.1.5 弹簧的等效质量弹簧的等效质量设弹簧设弹簧k具有质量，其单位长度的质量为具有质量，其单位长度的质量为 ，那么弹簧质，那么弹簧质量对系统的振动有多大影响？量对系统的振动有多大影响？弹簧等效质量系统弹簧等效质量系统 设质量设质量 的位移用的位移用 表示，弹簧的长度为表示，弹簧的长度为 ，那么距，那么距左端为

25、左端为 的质量为的质量为 的微单元的位移则可的微单元的位移则可假设假设为为 ，设，设 为常数。为常数。 txLd txL/m第2章 单自由度系统的振动 )()3(213)(21)(2121212023222202txLmLtxtxmdtxLtxmTLL（2-35）)(212tkxV （2-36） 根据能量守恒原理根据能量守恒原理0dtVTddtdE（2-37）则系统的动能和势能可分别表示为则系统的动能和势能可分别表示为2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动第2章 单自由度系统的振动可见弹簧的质量将会使系统的自然频率降低到可见弹簧的质量将会使系统的自然频率降低到弹簧将自身质量的三分

26、之一贡献给系统的等效质量（假设弹簧将自身质量的三分之一贡献给系统的等效质量（假设弹簧按弹簧按 规律变形）。如果假设其它类型的变形规律变形）。如果假设其它类型的变形模式，影响效果则有可能不同。模式，影响效果则有可能不同。 可得可得0)()(tkxtxmeff （2-38） 此处此处 称为称为等效质量等效质量。3Lmmeff3Lmkn（2-39）)(/txL2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动第2章 单自由度系统的振动第第2 2章章 单自由度系统的振动单自由度系统的振动 2.2 2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 第2章 单自由度系统的振动2.2 单自由度系统的强

27、迫振动单自由度系统的强迫振动 系统对外部激励的响应称为系统对外部激励的响应称为强迫振动强迫振动。 对于线性系统，根据对于线性系统，根据叠加原理叠加原理，可以分别求系统，可以分别求系统对于对于初始条件的响应初始条件的响应和对于和对于外部激励的响应外部激励的响应，然后再，然后再合成为系统的总响应。合成为系统的总响应。 自由振动依靠系统自身弹性恢复力维持。自由振动依靠系统自身弹性恢复力维持。 强迫振动是由外部持续激励引起的。强迫振动是由外部持续激励引起的。 强迫振动从外界或得能量来补充阻尼的消耗，以维强迫振动从外界或得能量来补充阻尼的消耗，以维持等幅振动持等幅振动持续激振力持续支承运动第2章 单自由

28、度系统的振动（2-41）2.2.12.2.1 系统对于简谐激励的响应系统对于简谐激励的响应 )()()()(tFtkxtxctxm （2-40）简谐激励简谐激励tkAtkftFcos)()( 运动方程运动方程2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 第2章 单自由度系统的振动（2-42）（2-41）tkAtkftFcos)()(将（将（2-41）代入（）代入（2-40），两边同除以），两边同除以m 有有 tAtfmktxtxtxnnncos)()()(2)(22 瞬态响应：瞬态响应：当当A 为零时，系统为齐次方程，其解就是系统的为零时，系统为齐次方程，其解就是系统的自由振动响应，自

29、由振动响应随时间衰减，最后消失，所自由振动响应，自由振动响应随时间衰减，最后消失，所以自由振动响应也叫以自由振动响应也叫瞬态响应瞬态响应。式（式（2-42）的特解是强迫振动响应。它不随时间衰减，所以）的特解是强迫振动响应。它不随时间衰减，所以称为称为稳态响应稳态响应。2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 第2章 单自由度系统的振动2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 )cos()(tXtx（2-43）tAttXnnncos)sin(2)cos(222（2-44）利用三角函数关系利用三角函数关系 sincoscossinsinsinsincoscoscostttt

30、tt（2-44）等式两边）等式两边 和和 项的系数应相等项的系数应相等tcostsin22222cos2sinsin2cos0nnnnnXAX （2-45）稳态响应稳态响应 稳态响应稳态响应22( )2( )( )cosnnnx tx tx tAt等于激励频率第2章 单自由度系统的振动2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 2221(2)AX（2-46）122tan1（2-47）（2-45）式的解）式的解 n频率比第2章 单自由度系统的振动典型的激励与响应关系曲线典型的激励与响应关系曲线 将将 f(t)用复数形式表示用复数形式表示: 简谐激励简谐激励f(t) 与响应与响应 x(t

31、)曲线曲线 tiAetf)(（2-48） f(t)的这种表示只是一种数学上的处理，是为了求解方便，不言的这种表示只是一种数学上的处理，是为了求解方便，不言而喻地隐含着激振力仅由而喻地隐含着激振力仅由 f(t)的实部表示，当然，响应也应由的实部表示，当然，响应也应由x(t) 的实部表示。的实部表示。A 一般为复数。一般为复数。 2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 第2章 单自由度系统的振动2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 系统的稳态响应系统的稳态响应 2222( )ReRe212i ti tnnnAeAex tii（2-50）稳态响应稳态响应 x(t)与激振

32、力与激振力f(t) 成正比，比例因子为成正比，比例因子为2( )1( )( )12x tHf ti（2-51）这称为这称为复频响应复频响应.在复数表示情况下，系统响应和激励满足关系在复数表示情况下，系统响应和激励满足关系tinnnnAetftxtxtx222)()()(2)( （2-49）n 第2章 单自由度系统的振动 由（由（2-51）式，可见）式，可见 的模的模 等于响应幅值和等于响应幅值和激励幅值激励幅值 的无量纲比，即的无量纲比，即 )(H)(HA2221( )12H称为称为幅值因子幅值因子或或振幅放大因子振幅放大因子。 （2-53）( )( )( )( )( )( )( )sF tx

33、 tkx tHf tF tF t响应激励（2-52） 这表明复频响应是弹簧力与实际的外激励这表明复频响应是弹簧力与实际的外激励 的无的无量纲比。这里量纲比。这里 中的中的 是由静平衡位置算起的。是由静平衡位置算起的。 )(tF)(tF)(tx由（由（2-50）、（）、（2-51）式）式 2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 n 第2章 单自由度系统的振动2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 幅频响应幅频响应曲线曲线 阻尼使系统的振幅值减小，阻尼使系统的振幅值减小， 阻尼使峰值相对于阻尼使峰值相对于 /n=1 的位置左移。的位置左移。 对对(2-53)求导，并令其

34、等于零求导，并令其等于零，得到幅值最大点的，得到幅值最大点的 21 2n（2-54）=0时时,系统就是系统就是简谐振子简谐振子。当驱动频率当驱动频率=n时时共振共振。/n1，|H()|0。 =c/2mn=c/ccr,系统实际阻尼与临界阻尼之比。共振区附近阻尼作用显著，远离共振区，作用很小。第2章 单自由度系统的振动2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 12Q（2-55） 品质因子品质因子Q：共振时的放大因子共振时的放大因子 幅频曲线上，/n=1两侧的曲线可近似看成是对称的。 在两侧取放大因子为 的两个点1/n和2/n为半功率点。半功率点。 带宽：半功率点所对应频率之差。 若 很

35、小，带宽2Q/212n（2-56）2112nnQ2220.707122(1)(2)Q222122(1 2)2112 半功率点关于1对称，所以1+2=2n22212122()4nn第2章 单自由度系统的振动2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 阻尼大，带宽就宽；过共振点时振幅变化平缓，振幅较小。 阻尼小，带宽就窄；过共振点时振幅变化陡，振幅较大。 Q反映了系统阻尼的大小，及共振峰的陡峭程度。 机械系统中，为平稳通过共振，希望Q值小些（阻尼大些）。12nQ第2章 单自由度系统的振动2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 ieHH)()(（2-58）这里这里122tan

36、1（2-59）titie)(HARee )(AHRe)t ( x（2-60） 相角相角21( )12Hin 2( )Re12itAex ti前面得到前面得到第2章 单自由度系统的振动2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 /n=1处通过共同点处通过共同点=/2，与阻尼大小无关（共振时的共同特征）。 =0, 随随/n变化变化, 曲线在曲线在/n=1处间处间断。断。从 /n1的的= 0 跳到跳到/n1时的时的= 。 /n1, /n减小，相角趋于零减小，相角趋于零 /n1，/n增大，相角趋于增大，相角趋于 简谐激励的相频曲线简谐激励的相频曲线 即即/n1时响应时响应同相同相，/n1时响

37、应时响应反相反相。第2章 单自由度系统的振动对于简谐振动，当对于简谐振动，当n时，时，x。21( )Re1i tnx tAe （2-61）2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 无阻尼第2章 单自由度系统的振动2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动sgn( )0dmxfxkx(0) (0)mxkxmgxmxkxmgx 2222(0) (0)nnDnnDxxxxxxxx 考虑摩擦阻尼的考虑摩擦阻尼的SDOF自由振动自由振动 常见，非线性mkxmvfsfdfskxfd mg （与运动方向相反）令2|dDnfgxk第2章 单自由度系统的振动2.2 单自由度系统的强迫振动单

38、自由度系统的强迫振动2222(0) (0)nnDnnDxxxxxxxx 1=nt 解：设初始位移足够大，弹簧恢复力超过静摩擦力，开始运动。1）x(0)=x0, v(0)=0. 运动从右向左。v 0求解0( )()sinnDnx txxt 220 (0)(0), (0)0nnDxxxxxxx10( )(2)Dx txx 0( )()cosDnDx txxtx平均响应xD加上简谐振动（I）是满足速度为零（将变号）的最小时间此时第2章 单自由度系统的振动2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动0( )(3)cosDnDx txxtx20( )4Dx txx2) 若x(t1)足够大，弹簧恢

39、复力大于大于静摩擦力，则从左向右运动22101-( )(2), ( )0nnDDxxxx txxx t (0)0 x求解初始条件平均响应-xD，（II）比（I）的幅值减小了2xD（II）t=t22/n，速度再次为零，（II）式成立的时间：t1tt2只要弹簧恢复力大于大于静摩擦力，则上述过程不断重复第2章 单自由度系统的振动2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 运动模式运动模式 系统运动频率为n的简谐运动定常分量（解的平均值） 每半个周期，解的平均值在-xD到xD之间交替变化 每半个周期，解的幅值减小2xD2 mg/k 对于摩擦阻尼，振幅衰减是线性的，而粘性阻尼，衰减是指数形式。

40、 位移不足以产生足够的恢复力时，运动停止 令n等于运动停止前的那半个周期，那么n是满足下式的最小整数解： x0(2n-1)xD (1+s /) xD s：静摩擦系数4xDxDxD第2章 单自由度系统的振动2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 特解特解ttAtxnnsin2)(（2-63） 幅值随时间线性增加的振荡响应，隐含了随着时间的增大，解将幅值随时间线性增加的振荡响应，隐含了随着时间的增大，解将趋于无穷。在工程上，共振是很危险的状态，一定要避免。趋于无穷。在工程上，共振是很危险的状态，一定要避免。简谐振子的共振响应简谐振子的共振响应 有阻尼单自由度系统的总响应自由响应强迫响

41、应。有阻尼单自由度系统的总响应自由响应强迫响应。 简谐振子的共振响应简谐振子的共振响应tAtxtxnnncos)()(22 （2-62）运动方程运动方程第2章 单自由度系统的振动 例例 有两个带有偏心的质量有两个带有偏心的质量m/2反向旋转，旋转角速度为常数反向旋转，旋转角速度为常数，不平衡质量的垂直位移为，不平衡质量的垂直位移为x+lsint，x由静平衡算起。求由静平衡算起。求x(t)。 解解:系统的运动方程系统的运动方程:2222(sin)()0d xdxltdxMmmckxdtdtdt简化为简化为:tiemltmltkxtxctxM22Imsin)()()( 2.2 单自由度系统的强迫振

42、动单自由度系统的强迫振动 22( )Im( )( ) sin()itnnmmx tlHelHtMM2nk m响应响应第2章 单自由度系统的振动2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 相角相角由（由（2-38）式给出）式给出)sin()(tXtx响应幅值响应幅值)(2HMmlXn无量纲比无量纲比)(2HmlMXnMxml 激振力幅值可变，与转速平方成正比 1,Mx/ml1 振动振幅与初始条件无关初始条件至影响瞬态响应第2章 单自由度系统的振动2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 基础激振基础激振 解解:运动微分方程运动微分方程 : :基础振动基础振动0mxc xyk

43、 xy简化为简化为:yyxxxnnnn2222 设基础作简谐运动设基础作简谐运动:tiAetyRe)(系统响应系统响应212( )Re12i tix tAein 基础运动相当于系统上施加了基础运动相当于系统上施加了两个两个激振力激振力 两者相位不同两者相位不同第2章 单自由度系统的振动将将 写成写成)(tx1cos)(tXtx那么那么222221212( )12XAAH311222tan12振幅放大因子振幅放大因子212( )XHA2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 第2章 单自由度系统的振动2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动XA ， X/A=1 sqrt(

44、2), 振幅小于基础运动振幅，阻尼大的系统振幅反而大 支承运动还可以用速度或加速度表达。2第2章 单自由度系统的振动2.2.2 系统对周期激励的响应 在工程振动中，也遇到大量其他类型的非简谐周在工程振动中，也遇到大量其他类型的非简谐周期激励。期激励。F(t)=F(t+kT), k=1,2,3.，可以写成可以写成0001( )( )cossin2pppaF tkf tkaptbptT20（2-722-72）2022022022( )2( )cos0,1, 22( )sin1, 2,3TTTTpTTpaf t dtTaf tptdtpTbf tptdtpT（2-732-73）2.2 单自由度系统的

45、强迫振动单自由度系统的强迫振动 第2章 单自由度系统的振动系统运动方程系统运动方程2200012cossin2nnnpppaxxxaptbpt a0是常力，只影响系统的静平衡位置，只要坐标原点取在静平衡位置，该项就不会出现。 系统响应分为：齐次解/瞬态解，非齐次解/稳态解 稳态响应2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 002221cos()sin()( )1(2)pppppppaptbptx t122tan1ppp0pnp 当某个p0接近系统的自然频率n时，响应中此简谐分量将占主导地位。 当p0=n时，发生共振，即周期激励也可激起系统共振。第2章 单自由度系统的振动2.2 单自

46、由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 若若 较小，可近似看成无阻尼较小，可近似看成无阻尼 0021cossin( )1ppppaptbptx t0p例：某仪器质量500kg，用4个刚度为323.4N/cm的弹簧支撑，若地基运动为两个垂直正弦波的合成，振幅均为1微米，频率分别为f1=3Hz, f2=15Hz，设仪器允许的振动速度为v=0.05mm/s，求设备最大振动速度，是否满足要求。 解 4 32340 50016.1 /nk mrad s12= 23=18.84 /= 215=94.2 /rad srad s11n22n= =1.17= =5.86 第2章 单自由度系统的振动2.2 单自

47、由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 激励为正弦波，响应也为正弦函数 0p12122212( )sinsin11bbx ttt无阻尼 11221222126622( )coscos111018.841094.2 cos6cos30|1 1.17 |1 5.86 | 50.92cos62.828cos30 ( m/s)bbx tttttttmax50.922.82853.75 ( m/s) =0.054 (mm/s) x许可值必须调整弹簧刚度，降低固有频率，增加1,2, 减小maxx 第2章 单自由度系统的振动2.2.3 非周期激励的响应 在非周期激励的情况下，响应将不再是在非周期激励的情况

48、下，响应将不再是“稳态稳态”的，而是的，而是“非稳态非稳态”的。的。 求解系统在非周期激励下瞬态响应的方法有多种求解系统在非周期激励下瞬态响应的方法有多种 将激励描述成一系列脉冲，通过求各个脉冲的响应，然后将激励描述成一系列脉冲，通过求各个脉冲的响应，然后叠加来求解系统的瞬态响应是常见的方法之一。叠加来求解系统的瞬态响应是常见的方法之一。 单位脉冲函数单位脉冲函数0 at当当 时时 at 1)(dtat（2-822-82）2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 第2章 单自由度系统的振动 t=a 时刻作用的一个任意幅值时刻作用的一个任意幅值 的脉冲力为的脉冲力为 F)()(atF

49、tF（2-832-83） 单位脉冲响应单位脉冲响应：系统在零初始条件下，对于：系统在零初始条件下，对于t=0时的单位脉冲力时的单位脉冲力的响应，用的响应，用h(t) 表示。表示。 系统对于系统对于 t =a 时刻单位脉冲力的响应则为时刻单位脉冲力的响应则为 h(t a)。 有阻尼单自由度系统对于脉冲力有阻尼单自由度系统对于脉冲力 的响应的响应)()(tFtF)()()()(tFtkxtxctxm （2-842-84） 脉冲作用时间脉冲作用时间极短，极短， 即即0 ，对，对（2-842-84）两边在区间两边在区间 积分积分 设初始条件设初始条件 0)0()0( xx0000limlim( )mx

50、cxkx dxFt dtF（2-852-85）2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 第2章 单自由度系统的振动（2-862-86） 表示在表示在 区间内系统速度的变化。区间内系统速度的变化。 由于脉冲作用时间极短，系统在瞬间不可能获得位移增由于脉冲作用时间极短，系统在瞬间不可能获得位移增量，即量，即 。)0(x t0)(xmFx)0(（2-872-87）2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 00000limlimlim00cxdtcxc xx00lim0kxdt00000limlimlim( )(0)(0 )mxdtmxm xxmx第2章 单自由度系统的振动2.

51、2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 0sin1)(temthdtdn 作用于作用于t=0时的脉冲力，使系统产生瞬间速度增量。这样时的脉冲力，使系统产生瞬间速度增量。这样就可以将这一脉冲作用等价为系统具有初速度就可以将这一脉冲作用等价为系统具有初速度0vFm0sin)(temFtxdtdn00tt（2-882-88）21 dn 单位脉冲响应，令单位脉冲响应，令 ，则有，则有 1F00tt（2-892-89） 系统的脉冲响应系统的脉冲响应第2章 单自由度系统的振动（2-922-92）2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 任意激励函数任意激励函数F(t) 可看成由一系列

52、变幅值的脉冲组成可看成由一系列变幅值的脉冲组成 任意时刻任意时刻t=t ，对应时间增量，对应时间增量t ，相应的微冲量，相应的微冲量F(t)t )()(ttttthFtx（2-902-90） 总响应总响应(包含稳态和瞬态振动包含稳态和瞬态振动)( )( )x tFh tttt（2-912-91） 令令0ttdthFtx0)()()(tttF(t)dl=F(t t)dt t)()(ttttF 脉冲脉冲卷积卷积/杜哈默杜哈默(Duhamel)积分积分第2章 单自由度系统的振动ttttdteFmtxdttdn)(sin)(1)(0)(（2-932-93） 初始条件静止下的响应。初始条件静止下的响应。

53、 根据卷积的性质，可写成另一种形式根据卷积的性质，可写成另一种形式 ttttttdhtFdthFtxtt00)()(（2-942-94）2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 tdthFtx0)()()(tttsin 0( ) 0 0ntddetth tmt杜哈默积分杜哈默积分单位脉冲响应单位脉冲响应（2-922-92）第2章 单自由度系统的振动2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 阶跃响应阶跃响应单位阶跃函数单位阶跃函数0 ()1 tau tata （2-952-95） 函数在函数在t=a处不连续，在此点处，函数值由处不连续，在此点处，函数值由0变为1 。 如果

54、不连续点在如果不连续点在t=0 ，则单位阶跃函数用，则单位阶跃函数用u(t)表示。表示。 单位阶跃函数与单位脉冲函数有密切关系单位阶跃函数与单位脉冲函数有密切关系tdatatu)()( （2-962-96） 反过来有反过来有 tu1a0dtatduat)()(（2-972-97）第2章 单自由度系统的振动 单位阶跃响应单位阶跃响应g(t):系统对系统对t=0时的单位阶跃力的响应时的单位阶跃力的响应. 将将F(t)=u(t) 和和h(t-t)代入卷积公式，可得单位阶跃响应代入卷积公式，可得单位阶跃响应ttttttdtemdthutgdttdtn)(sin1)()()(00（2-982-98）经积

55、分可得经积分可得 )(sincos11)(tuttektgddndtn （2-992-99）此处此处 的作用是使的作用是使（2-992-99）式在式在 时，时， 。 )(tu0t0)(tg 系统响应的求法还有系统响应的求法还有Fourier积分法积分法，Laplace变换法变换法。 2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 第2章 单自由度系统的振动 杜哈默积分法是时域法求解一般激励的响应。 Fourier变换法频域法。 2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 Fourier变换法变换法 周期激励：将激振力用傅立叶级数展开，分别对各阶谐波进行响应分析，然后线性叠加。

56、一般激励：采用傅立叶变换，将一般激振力作付氏变换。( )( )i tFf t edt付氏正变换时域频域付氏逆变换1( )( )2i tf tFed频域时域付氏变换对( )( )( )FAiB()( ) |( )|iFFe 22|( )|( )( )FAB1( )( )tan( )BA 频谱图是连续曲线谱函数第2章 单自由度系统的振动性性 质质原函数原函数付氏变换付氏变换线线 性性时时 移移频频 移移时时 导导频频 导导卷卷 积积 付氏变换的性质2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 12( )( )f tf t12( )( )FF( )i tef t()F()f tt( )i t

57、eF( )( )nft()( )niF1212( )( )()( )f tf tf tfdttt12( )( )FF( )( )nitf t( )( )nndFd第2章 单自由度系统的振动f(t)F( ) 基本公式2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 0cost00 ()() 0ite0sint00 ()()i 02() 0( )itu t e01()i0( )cosu tt220()i0( )sinu tt0220()()()itu tett()i tei1 0( )0 0tu tt注第2章 单自由度系统的振动2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 Fourie

58、r变换法求解一般激励的响应。 将一般激振力作付氏变换。( )( )i tFf t edt那么响应1( )( )2i tf tFed线性系统，将各频率分量的响应叠加( )H( )mxcxkxf t频响函数 激振力( )i tFe( )i tXe21( )( )( ) ( )XFHFkmic1( )( )21 ( ) ( )2i ti tx tXedHFed 响应的付氏变换等于系统频响函数乘以激振力的付氏变换。第2章 单自由度系统的振动2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 例：无阻尼单自由度系统在矩形冲击载荷作用下振动，求响应及其频谱图。 激振力的付氏变换。0002( )sinTi

59、 ti Ti TTFFFF edteeTi( )mxkxf t 位移响应21( )Hkm022( )( ) ( )2sin (1)nXHFFTk-TTf(t)F0t0F -T5以后，h 曲线几乎水平。因此， 的取值在2.55之间已足够当 ，增加阻尼 并不能增加h为更直接说明隔振效果，可用隔振效率 表示隔振装置隔离掉的振动的百分率: =(1-h )100222第2章 单自由度系统的振动2.3 单自由度系统的工程应用单自由度系统的工程应用例：某精密仪器用8个弹簧（每边四个并联）作为隔振装置，弹簧放在对称位置。已知地板以xs0.1sin10 t (mm)振动，仪器质量800kg，每个弹簧的刚度系数13426N/m，忽略阻尼影响，求隔振系数。解：弹簧并联，keq8k8 1342611.6 rad/s800eqnkm地板振动频率1031.4 rad/s31.42.71211.6n无阻尼，0222221(2)10.158(1)(2)|1|pBah第2章 单自由度系统的振动2.4 阻尼理论阻尼理论 实际工程中，存在多种阻尼，其机理比较复杂，如何处理？实际工程中，存在多种阻尼，其机理比较复杂，如何处理？ 有阻尼系统，为维持振幅，必须施加能量 激振力作的功阻尼力消耗的能量证明：0sinFFt响应sin()xBt激励