静电场中的导体与介质 施卫

1、基本内容基本内容 静电场中的导体静电场中的导体电容和电容器电容和电容器电介质中的电场、高斯定理、电介质中的电场、高斯定理、电位移矢量电位移矢量电场的能量电场的能量第九章第九章 静电场中的导体和电介质静电场中的导体和电介质9.1 静电场中的导体静电场中的导体一、导体的静电平衡一、导体的静电平衡 1、静电感应、静电感应 在静电场力作用下，导体中电荷重新分布的现象。在静电场力作用下，导体中电荷重新分布的现象。导体的静电感应过程导体的静电感应过程无外电场时无外电场时E外外加上外电场后加上外电场后E外外加上外电场后加上外电场后+E外外加上外电场后加上外电场后+加上外电场后加上外电场后E外外+加上外电场后

2、加上外电场后E外外+ 2、静电平衡：、静电平衡： 导体中的电荷宏观定向移动终止，电荷分布不随时导体中的电荷宏观定向移动终止，电荷分布不随时间变化，此时其即达到静电平衡。间变化，此时其即达到静电平衡。 3、导体的静电平衡条件：导体的静电平衡条件： 用场强描述用场强描述 、导体内部任何一点场强为零（、导体内部任何一点场强为零（E=0) 、导体表面任何一点场强方向垂直于导体表面、导体表面任何一点场强方向垂直于导体表面 用电势描述用电势描述 、导体是等势体、导体是等势体 、导体表面为等势面、导体表面为等势面 二、静电平衡时导体上的电荷分布二、静电平衡时导体上的电荷分布 1、实心导体带有净电荷、实心导体

3、带有净电荷q，那么这些电荷如何分布？，那么这些电荷如何分布？0E SS S0SSE 净电荷分布在导体的表面净电荷分布在导体的表面表面附近的电场强度与电荷密度成正比表面附近的电场强度与电荷密度成正比q0qnii E=000qnii1SqSdE 导体内：导体内：导体外：导体外： RQqr 定性规律：定性规律： 孤立导体表面上的面电荷密度孤立导体表面上的面电荷密度 e的大小与的大小与表面的曲率半径表面的曲率半径 有关。导体表面有关。导体表面 小的地方，电荷较密小的地方，电荷较密集，集， e较大；较大； 大大的地方，的地方， e较小。较小。2RR4RQ1rr4rq020020 2r4q1 2R4Q2

4、R4Qr4q00U rR21 2、若导体为导体壳时，电荷又是如何分布的呢？、若导体为导体壳时，电荷又是如何分布的呢？ （1）、腔内无带电体的情形）、腔内无带电体的情形+Q+ 静电平衡时，导体内表面没有电荷，电荷只能分静电平衡时，导体内表面没有电荷，电荷只能分布在外表面布在外表面 。空腔内电场强度为零，电势处处相等，。空腔内电场强度为零，电势处处相等，但不一定为零。但不一定为零。S（2）、腔内有带电体的情形）、腔内有带电体的情形 静电平衡时，导体内表面分布的电荷与腔内电荷的静电平衡时，导体内表面分布的电荷与腔内电荷的代数和为零，净电荷分布在外表面，其数值为导体所带代数和为零，净电荷分布在外表面，

5、其数值为导体所带电荷与腔内电荷的代数和。电荷与腔内电荷的代数和。QqSQ+qq-q 例例1 已知两金属板带电量分别为已知两金属板带电量分别为q1、q2，求其表面的电，求其表面的电荷面密度荷面密度 1、 2、 3、 4。 一个接地的空心导体可以隔绝放在它的空腔内的带电一个接地的空心导体可以隔绝放在它的空腔内的带电体和外界带电体之间的静电作用，这就是体和外界带电体之间的静电作用，这就是静电屏蔽原理静电屏蔽原理。+-q1+ 2qq12143a1E2E3E4Eb4E3E2E1Ea点点:0040302012222 0040302012222 b点点:121qSS 243qSS 联立可解得：联立可解得：

6、S2qq32S2qq4121219.2电容、电容器电容、电容器一、孤立导体的电容一、孤立导体的电容 1、定义定义 使一孤立导体带电使一孤立导体带电q，它将具有一定的电位，它将具有一定的电位U，理，理论与实验表明，随着论与实验表明，随着q的增加，的增加，U将按比例增加，但它将按比例增加，但它们的比值为一定值，即们的比值为一定值，即 ：CUq 式中的式中的C是一个与导体的尺寸和形状有关，而与是一个与导体的尺寸和形状有关，而与q、U无关的常数，称之为该孤立导体的电容。无关的常数，称之为该孤立导体的电容。物理意义：物理意义： 使导体每升高单位电位所需的电量。使导体每升高单位电位所需的电量。2、单位单位

7、F（法）（法） FPF（106进位）进位）二、电容器及其电容二、电容器及其电容 1、电容器、电容器 电容器是用于存储电荷或电能的装置电容器是用于存储电荷或电能的装置 如果两个导体的布置能使它们带电时所带电荷总是如果两个导体的布置能使它们带电时所带电荷总是等值异号，那么这样的导体组合就称为电容器。每一个等值异号，那么这样的导体组合就称为电容器。每一个导体称为电容器的一个极板，每一个极板上的电荷的绝导体称为电容器的一个极板，每一个极板上的电荷的绝对值称为电容器的电量。对值称为电容器的电量。 常见的电容器有：常见的电容器有： 平行板电容器（忽略边缘效应）、平行板电容器（忽略边缘效应）、圆柱形电容器（

8、同轴柱形）、球面电容器等圆柱形电容器（同轴柱形）、球面电容器等 电容器的符号：电容器的符号：2、电容器的电容、电容器的电容 式中式中C是只与两个极板的尺寸、形状及其相对位置是只与两个极板的尺寸、形状及其相对位置有关，而与有关，而与q、 U无关的常数，称之为电容器的电容。无关的常数，称之为电容器的电容。 计算计算： 、求电场的分布（求、求电场的分布（求E） 、求两极板间的电势差（求、求两极板间的电势差（求 U） 、利用电容的定义式求电容（求、利用电容的定义式求电容（求C） 定义定义：理论与实验表明，使电容器的电量：理论与实验表明，使电容器的电量q增加，电增加，电容器两个极板上的电势差容器两个极板

9、上的电势差 U按比例增加，但其比值为一按比例增加，但其比值为一定值，即：定值，即：CUq 例例1已知平行板电容器的极板面积为已知平行板电容器的极板面积为S，板间距离为，板间距离为d，求此平行板电容器的电容（忽略边缘效应）。求此平行板电容器的电容（忽略边缘效应）。解：设电容器的带电量为解：设电容器的带电量为q，电荷面密度分别为，电荷面密度分别为+ 、- +- i1SqSdE0+-dS0qi E=0（ ） SSE010E 、求、求 UEdldEU 、求、求CdSdSUq00C 、求、求E例例2 如图所示，同轴圆柱形内外半径分别为如图所示，同轴圆柱形内外半径分别为R1、R2，长，长度为度为l，求此电

10、容器的电容（忽略边缘效应）。，求此电容器的电容（忽略边缘效应）。 解：设电容器的带电量为解：设电容器的带电量为q ，线电荷密度为，线电荷密度为 r2E0 、求、求 UdrldEU21021RRr2RR rh2EESSdES rSh00hi1q 120RR2ln 、求、求C121R2R02RR0lnlUqlnl2C R2R1 l、求、求E例例3如图所示，同心球面形电容器的内外半径分别为如图所示，同心球面形电容器的内外半径分别为R1、R2，求此电容器的电容，求此电容器的电容解：设电容器的带电量为解：设电容器的带电量为QrQR1R20Q2sr4ESdE 20r4QE 、求、求 U)(drldEU21

11、0212021R1R14QRRr4QRR 、求、求C1221RRRR0UQ4C 、求、求E例例4 两根平行两根平行“无限长无限长”均匀带电直导线，相距均匀带电直导线，相距d，导线，导线半径都为半径都为R（Rd），设导线上电荷密度分别为），设导线上电荷密度分别为+ 和和- ，试求该导体组单位长度的电容。试求该导体组单位长度的电容。解：解：、求、求EdR+ - xxRd-Rox20E )xd(2x200E 、求、求 Udx)(Uxd1RdRx120 )ln(lnRdRRRd20 RRdln0 、求求CUUqC RRd0RRdlnln0 先设先设q 再求再求C求求UCUq CUq 求求E先设先设q

12、再求再求C求求 U求求E孤立导体孤立导体:电容器电容器:9.3 电介质电介质一、电介质的极化一、电介质的极化 1、电介质：（没有或有极少量的自由电荷）、电介质：（没有或有极少量的自由电荷） 无极分子：分子正负电荷中心重合（无极分子：分子正负电荷中心重合（H2、CH4等）等） +CH+H+H+H甲烷分子甲烷分子正负电荷正负电荷中心重合中心重合HO+H+水分子水分子正电荷中心正电荷中心负电负电荷荷中心中心PePe分子电偶极矩分子电偶极矩有极分子：分子正负电荷中心不重合（有极分子：分子正负电荷中心不重合（H2O、HCl等）等） 2、电介质的极化机理、电介质的极化机理 、无极分子的位移极化、无极分子的

13、位移极化 无外电场时，分子正负电荷中心重合，整个介质不无外电场时，分子正负电荷中心重合，整个介质不带电。带电。 +fflpeE 加上外电场后，在电场作用下介质分子正负电荷中加上外电场后，在电场作用下介质分子正负电荷中心不再重合，出现诱导电偶极矩。心不再重合，出现诱导电偶极矩。 E外外+ + 由于诱导电偶极矩的出现，在介质左右的两个端面上由于诱导电偶极矩的出现，在介质左右的两个端面上出现极化电荷层。出现极化电荷层。 、有极分子的旋转极化（取向极化）、有极分子的旋转极化（取向极化） 无外电场时，有极分子的电偶极矩取向不同，整个无外电场时，有极分子的电偶极矩取向不同，整个介质不带电。介质不带电。+

14、有外电场时，有极分子的固有电偶极矩要受到一个力有外电场时，有极分子的固有电偶极矩要受到一个力矩作用。在此力矩作用下，使电偶极矩方向转向和外电场矩作用。在此力矩作用下，使电偶极矩方向转向和外电场方向接近。方向接近。 +peffEMp=eE 转向后在介质左右两端界面上出现极化电荷。转向后在介质左右两端界面上出现极化电荷。 E外外+二、电介质中的电场二、电介质中的电场（以平行板电容器为例）（以平行板电容器为例） 自由电荷的场强自由电荷的场强E0E介质中的合场强介质中的合场强极化电荷的场强极化电荷的场强EEEE0 EEE0 + E- 0E+0+-0E000E 0E 000EEE 实验和理论都可得到：实

15、验和理论都可得到：r0EE 0r11 r 真空真空空气空气1.0001橡胶橡胶玻璃玻璃纯水纯水变压器油变压器油3.56 8803其中其中 为此介质的相对介电常数，是一个只与介质为此介质的相对介电常数，是一个只与介质本身性质有关的无量纲的量。本身性质有关的无量纲的量。几种介质的相对介电常数几种介质的相对介电常数 0r令令（绝对介电常数）（绝对介电常数） 对于各向同性均匀的电介质，各处的对于各向同性均匀的电介质，各处的 相同，为一常相同，为一常数；各向同性不均匀的电介质，各处数；各向同性不均匀的电介质，各处 不相同。不相同。 r0EE 适用的条件：适用的条件： 各向同性的均匀电介质充满电场所在空间

16、各向同性的均匀电介质充满电场所在空间 对于各向异性的对于各向异性的电介质，电介质， 不再是为一普通的常数，不再是为一普通的常数，它是包括它是包括9个分量的张量。个分量的张量。dSC 即：即：dSdSUqr000C r0dEEdldEU 三、电介质中的高斯定理三、电介质中的高斯定理 以充满介质的平行板电容器为例以充满介质的平行板电容器为例r+ S00S1SdES10r0 S00r0qSSdEEEDr0 令令称为电位移矢量称为电位移矢量由高斯定理可得：由高斯定理可得：S 此即为介质场中的高斯定理。它指出，此即为介质场中的高斯定理。它指出，通过闭合曲通过闭合曲面的电位移通量，等于此闭合曲面内所含的自

17、由电荷。面的电位移通量，等于此闭合曲面内所含的自由电荷。 说明：说明：、 D是一个辅助量，方便应用。是一个辅助量，方便应用。 、 q0指曲面内所包含的自由电荷，与极化电指曲面内所包含的自由电荷，与极化电荷无关，荷无关，E是由空间所有的电荷产生。是由空间所有的电荷产生。四、电位移矢量与电场强度的比较四、电位移矢量与电场强度的比较 、E与与D的比较的比较 S0qSdD 点电荷的场强点电荷的场强真空中真空中介质中介质中20r4QE 20rr4QE 无限长带电直线的场强无限长带电直线的场强真空中真空中介质中介质中r20E r20rE 点电荷的电位移点电荷的电位移无限长带电直线的电位移无限长带电直线的电

18、位移真空中真空中介质中介质中r2D r2D 介质中介质中真空中真空中2r4QD 2r4QD 电场强度电场强度E在不同的介质分界面上不连续，而电位移在不同的介质分界面上不连续，而电位移矢量在不同的介质分界面上具有连续性。矢量在不同的介质分界面上具有连续性。 电力线（电力线（E 线）：线）：起源于正电荷起源于正电荷终止于负电荷终止于负电荷、电力线与电位移矢量线的比较、电力线与电位移矢量线的比较终止于负的自由电荷终止于负的自由电荷起源于正的自由电荷起源于正的自由电荷电位移线（电位移线（D 线）：线）：电位移通量：通过某一面积的电位移线的条数电位移通量：通过某一面积的电位移线的条数电通量：通过某一面积

19、的电力线的条数电通量：通过某一面积的电力线的条数、电通量与电位移通量的比较电通量与电位移通量的比较例例1如图所示，如图所示，无限大平板电容器，极板间充满两层各无限大平板电容器，极板间充满两层各向同性均匀电介质。电介质的界面都平行于电容器极板，向同性均匀电介质。电介质的界面都平行于电容器极板，两层电介质的相对介电常数各为两层电介质的相对介电常数各为 r1和和 r2，厚度分别为，厚度分别为d1和和d2。求此电容器的电容。求此电容器的电容。解：设极板的解：设极板的 自由电荷面密度为自由电荷面密度为 0E1E2D1D21011SSSDSdD1 01D 2022SSSDSdD2 02D DDD021 1

20、r001D1E 2r002D2E 1r + 02r - 0d1d2AB S2 S1、求、求E 、求、求 U 2211BAdEdEldEU )(2r21r100dd 、求、求CUSUq0C )(S2r21r1dd0 CUq 先设先设q 再求再求C求求 U求求E介质存在时电容器电容的求解介质存在时电容器电容的求解:求求D例例2 半径分别为半径分别为R1和和R3的同心导体组成的球形电容器，的同心导体组成的球形电容器，中间充满相对中间充满相对介电常数分别为介电常数分别为 r1和和 r2的两层各向同性均的两层各向同性均匀电介质，它们的分界面为一半径为匀电介质，它们的分界面为一半径为R2的同心球面。试求的

21、同心球面。试求此电容器的电容。此电容器的电容。解：解：、求、求E（先求（先求D）R1R2R3o r1 r2 设电容器带电量为设电容器带电量为q（使外（使外球壳带负电）球壳带负电）rqr4DSdD2S1 2r4qD 21r0r4q1E 22r0r4q2E 、求、求 U rdErdEldEU322131RR2RR1RR )()(322r211r0R1R11R1R114q 、求、求C)()(4Uq3R12R12r12R11R11r10C 9.4 电场的能量电场的能量 一、带电电容器的能量一、带电电容器的能量 t时刻，极板带电量时刻，极板带电量q(t)QQUUA+终终了了时时刻刻dqAuu+q任任一一

22、时时刻刻q) t (u) t (qUqC dqC) t (qdq) t (udW QC21CU21CQ21qdqC1W22Q0 充电过程中：充电过程中：0Q过程中：过程中： 由于由于 U=Ed 所以所以dSC VESdEW221221 DEE21221VWe dVEDdVdWWV21Ve 二、电场的能量二、电场的能量则能量密度则能量密度 e就为就为:ED21e V指此电场存在的所有空间指此电场存在的所有空间例例1有一有一无限大平板电容器，极板间充满两层各向同性无限大平板电容器，极板间充满两层各向同性均匀电介质。电介质的界面都平行于电容器极板，两层电均匀电介质。电介质的界面都平行于电容器极板，两层电介质的相对介电常数各为介质的相对介电常数各为 r1和和 r2，厚度分别为，厚度分别为d