工程力学天津大学答案

1、第十一章梁弯曲时的变形第一章 梁弯曲时的变形11- 1用积分法求下列简支梁A、B截面的转角和跨中截面C点的挠度。AEl A-卜一|l/2 | l/2MeMeEl BX(a)(b)习题11 - 1图解：（a）取坐标系如图所示弯矩方程为:MeAEl挠曲线近似微分方程为:Ely积分一次和两次分别得：ElyCy2lEly6l边界条件为：x=0时，y=0, x= l时,y=0,(a)(b)代入（a）、（b）式，得：C M e梁的转角和挠度方程式分别为:1 M e 2 (xElM el-2ly = 一 (ElM e 3 M e x lx )6l所以：9aM el6 El°BM el，yC3 El

2、（b）取坐标系如图所示。AC段弯矩方程为:ex1 l2M el16 Ell(。三x1三)2MeEll/2l/2BC=2 -Me两段的挠曲线近似微分方程及其积分分别为:第十一章AC段:M e xiei y=M e 2xi2lEly iM e 3xi6l-C ixi - Di(b)BC段:EI V2x2 MEiy22l2x2Ely 23x2 6l(d)边界条件为：xi=0时，yi=0, x2=l时，y2=0,变形连续条件为:jx = x 2 =时,2y； = y2代入(a)、(b)式、(c)、(d)式，得:M e 一l , 24ii M e l, D24i =0, D 2梁的转角和挠度方程式分别为

3、:AC段: M e 2(- X iM el-EI2l24yiEIBC段:iV2 =El2x2ex2iiel2l24所以:el24 EI0B24 EIl,解:11- 2,M e 3(- x ii)Vc6ly224M e(El 6l3x2M e 2x2ii M elx2 el 一)24用积分法求下列悬臂梁自由端截面的转角和挠度。r 11F 1El(a)(a)取坐标系如图所示MeEI(b)习题ii- 2图弯矩方程为:qB此 1' 1丁EI(a)第十一章梁弯曲时的变形挠曲线近似微分方程为：El y , =凸x 22积分一次和两次分别得：Elyqx3+C , 6习题11-3图Cx D(b)代入(

4、a)、(b)式，得：c = ql614=_ ql8q Ely = x24边界条件为：x=l时，y=0, y' = 0,TxEl 241x _ql8所以：0A3ql4ql6 EI8 EI(b)取坐标系如图所示。弯矩方程为：M=M e挠曲线近似微分方程为:Ely=-M eI* &xAElBlrMe积分一次和两次分别得：ei y梁的转角和挠度方程式分别为:1q3 q 3(_ x _ _ l El66(b)(a)Ely边界条件为：x=l时，y=0, y' = 0,代入(a)、(b)式，得：c = m1一一 M2梁的转角和挠度方程式分别为:1 (M Elex M el)lxel所

5、以：9 AM elEl2EI11- 3悬臂梁在BC段受均布荷载作用，如图所示，试用积分法求梁自由Ell/2l/2l/2y +Fr 1"4 x丸Bl/2C1端截面C的转角和挠度。第十一章梁弯曲时的变形解：取坐标系如图所示。AB段弯矩方程为:BC段弯矩方程为:Mql=Xi2382 ql(0< Xil _-)2Mql=X22382 qli2qgl 2 -)2l (2-X2 - I)两段的挠曲线近似微分方程及其积分分别为:AB 段：Elyi_%xi232-ql8qlEl yi42Xi3-ql82XiEly 1一史 lXii23-qli62XiCi XiDi(b)BCqi_32 il 2

6、段：ElV2 :二-X2+ ql+ q(X2 -一)2822ql232il 32 = -x2+ qlX2 -q(x2 -) C24862ql3322il 4Ely 2+qlX2+q(X2 - )X2i2i6242ElyC 2X2 - d 2 (d)(c)边界条件为：Xi=0时，yi=0, yi' = 0,x = x 2 =时，yi 2变形连续条件为:=y 2,y = y2代入(a)、(b)式、(c)、(d)式，得：梁的转角和挠度方程式分别为：CiAB段:yii ql 2( xi4El3, ql8Xi)yiiElq 3(一 一|x ii23, qli6xi2)BC段:7ql48 El11

7、- 4 一外伸梁受均布荷载，如图所示, 及C、D截面的挠度。所以:9cyc4i ql384 El试用积分法求A、B截面的转角以qi jun Liu111 n n*D EElT hCAq1 1 n 1 1 1I口 口寡DElZbVd_ iEl-842X232ql8X2 i6q(l 3 x2 -)2V2_ i.r ql3X23 qli62 2X2i,l、4,qg -一)2Eli22443习题ii - 4图解：取坐标系如图所示。AB段弯矩方程为:BC段弯矩方程为:3q1i2xi -qx i(0423q1i29x2 -qx 2+ 424壬xi壬21)ql (x2 -21)(21 三 x2 三 31)两

8、段的挠曲线近似微分方程及其积分分别为:AB段:3qEI y 二 lx i412qx i 2ei y=3q1213x +qx 1 +3 ,86(a)Ely i3q.3-1x i2424qxi CixiDi(b)BC段:Eiy23q1x2i-qx2q1 (x2 -21)El V23q1Elyqxq1q1 (x2-21)(c)qx249-q1 (x224-21)(d)边界条件为：xi=0时，yi=0,变形连续条件为:xi =x2 =21 时,yi=0,yi=y2代入(a)、(b)式、(c)、(d)式，得:Ci3q1 ,C23q1,Di=0, d 2 = o梁的转角和挠度方程式分别为:AB段:yi3q

9、1El2 xiqx3 i 3、i q1 )6yi =Eli q 3(1x i8 qx i424xi)BC段:y2El3q1x8i qx69一一 q1 g82-21)i q16y2iElq1 3-一 x82iqx 2249q1 g -21)24i q163x2】所以:3q1°A -6 El4q10b =°，Vc 二，yd4q18 Eli2 El11- 5用积分法求位移时，下列各梁应分几段来列挠曲线的近似微分方程 式？试分别列出积分常数时所需的边界条件和变形连续条件。(a)(b)习题11- 5图解：(a)分三段。AB、BC、CD段位移分别为yi、y2、y3。则边界条件B点：x1

10、 = x2 = 1时，y1 = y2 = 0，2C 点：x2=x3 = 一 时，y3=y2=0, 2变形续条件为: x1 = x2 = 2 时，y1 = y2，x1 = x2 = 2 时，y1 = y2(b)分两段。AB、BC段位移分别为yi、y2。则边界条件A点：xi =o时，y = 0，B 点：x2 =x3 = 1 时， yi = y2 =0，变形连续条件为：xi =x2顼时，yi =y?，11- 6 一简支型钢梁承受荷载如图所示，已知所用型钢为 18号工字钢， E = 210GPa, M = 8.1kNm, q=15kN/m,跨长l = 3.26m。试用积分法求此梁跨中 点C处的挠度。-

11、1/2 *4*1/2 -I习题11-6图解：取坐标系如图所示。弯矩方程为：M =qlx -Me-qx22e 2挠曲线近似微分方程为：EIy" = -qlx +Me+2qx222积分一次和两次分别得：E| y，= ：q|x 2 + M ex +；qx3 + C (a)Ely = - 上 qlx 3 也1 x2 qx 4 Cx D (b)12224第十一章梁弯曲时的变形边界条件为：x=0=l时，y=0M l 3 代入(a)、(b)式，得：c =_ + , d =0224梁的挠度方程式为：yc1EI1'一 123 M e 2qlxx21十244qx1243qiM ex2)x45ql

12、一 384 EI2M el8 EI1921010166010 一34515103.26384328.1103.26 习题11 - 8图习题11-9图-3= 3.2410 (m) =3.24 mm11- 7 一简支梁受力如图所示，试用叠加法求跨中截面 C点的挠度。习题11-7图解:当右边的F单独作用时，查表得:VcFbx 222(l 一b x )Fa6lEI4a EI1 6a2311 Fa22一a 4a =12 EI由对称得:311 Fa311 Fayc12 EI6EI11- 8一简支梁承受均布荷载作用,并在 A支座处有一集中力偶作用，如图所示，已知：M2ql20试用叠加法求A、B截面的转角和跨

13、中截面C的挠度。解：当q单独作用时,0Aq3ql3ql2 4 EIBq2 4EIyCq45ql384EI当Mq单独作用时,Ml3qlMl3qlmi 20A = 9 Aq3EI3qlAM40 EI60EIBq6EI9 BM120 EI3ql30 EIy CMVg16 EIycq yCM4ql320 EI419 ql1920 EI11- 9 一悬臂梁受力如图所示，试用叠加法求自由端截面的转角和挠度。第十一章梁弯曲时的变形解:Yb8EI所以：y c = Ybi-'9 B24 qi128 EI4 qi128 EI6EI3 qii+ X248 EI11- 10 一外伸梁受力如图所示,已知：F =

14、 qi/6。47qi3qi一 48 EI，0C384 EI0B3 qi48 EI试用叠加法求自由端截面的转角和挠度。EI习题11- 10图解：对AB段，看作在均布荷载和力偶Fl/2作用下的简支梁,则，9 Bqqi 3Ml2Fiqi 324EI3EI6 EI36 EI3 qiBM72 EI将BC段看作悬臂梁,固定端处有转角0B，则Yc1用=工24 EI4qi144 EIyc2.ib 24 qi144 EI所以：yc=y C1-Yc2 =00CF2EI2L=旦2 8EI3qi48 EI则0C =3 qi3qi3qi48 EI72 EI144 EI11- 11试用叠加法求下述悬臂梁自由端截面的挠度和

15、转角。EI(a)习题11- 11 图解：（a）当M单独作用时,CM2Mi3Fi2EI2EIa |ai/ 一°CMMlEI(b)2FiEI当F单独作用时,y bf3EIFl所以:CFBF5Fl则:=yCMCFFl2EI解:此时48 EI5Fl48 EI(b)当C点处的F单独作用时,y bi=yC 十 °c ,2a =4Fa24 EI°CF = BF29 Fl°BFFl8EI48 EI°CFa3EI2EI°CM+。CF°CFa2EIFlEIFl8EIFl8EI9 Fl8EI3EI9b=9cFa2EI当D点处的F单独作用时,F (

16、2a)8Fa3EI3EI°DF (2a)2 Fa2EIEI此时B214 Fa3EI°B°D2 FaEI所以B1B26FaEI°B°B 25Fa2EI11- 12一工字钢的简支梁,梁上荷载如图所示,已知：l = 6m,M =4kN m,q = 3kN/m,_400,工字钢为20a,钢材的弹性模量E = 200GPa,试校核梁的刚度max厂卜 EEIlA |qABFAEIl/25ql384EI习题11-12图Ml16 EI200109237010max41435 3 10638434 10416400,所以刚度满足要求l/2习题11- 13图=0.

17、01448 m = 14 .48 mml=6m, F = 10kN,11- 13 一工字钢的简支梁，梁上荷载如图所示，已知:,弹性模量 E = 200GPa,试q = 4kN/m , f ，材料许用应力§ =150 MPal 250选择工字钢的型号并校核梁的刚度解：跨中最大弯矩为:M max2qiFl12=一4 6481106)=33 kNM maxW _33310150333TT =0.1210 一 m =220 cm_ 61045ql取I 20a,则Fl 3¥ max+384 EI 48 EI9_8200102370103_ 4(541063843_ 210106 、-

18、 )=°. 0237 m = 23.73 mm48则s=_<f =L所以刚度满足要求。l 252 .8 l 25011- 14在下列梁中，指明哪些梁是超静定梁，并判定各种超静定梁的次数。解：（a） 2次；（b） 1次；（c） 2次；（d）1次；（e）静定结构；（f） 3次11- 15试画出下列各超静定梁的弯矩图。(b)(a)I F解：（a）该梁为一次超静定梁，将B支座视为多余约束，解除该支座，并施 加多余约束反力Frb。根据该梁的变形条件，梁在B点的挠度应为零，即补充方 程式为：yB = 0(a)由叠加法:yB = yBM y BF 0式中：yBM为梁在力偶单独作用下引起的B点

19、的挠度（图d）,由表格11 - 1可查 得：2 Ml"M = 一石yBF为梁在Frb单独作用下B点的挠度，同样由表格11 - 1可查得:23Frb1Frb1yBF = 21将（b）、（c）两式代入式（a）,得：Ml 22EI3项=03EI3EI_3M由该式可解得：Frb .2 l(b)(c)(d)则M图为：（b）该梁为一次超静定梁，将 B支座视为多余约束，解除该支座，并施加 多余约束反力Frb。根据该梁的变形条件，梁在 B点的挠度应为零，即补充方程 式为：由叠加法:yB = 0yB =Ybf yRB =°(a)式中：yBF为梁在F单独作用下引起的B点的挠度，由表格11 -1

20、可查得:323F(2a ) F( 2a )14 FayBF = yc + 0 c a =3EI2EI3EIyRB为梁在Frb单独作用下B点的挠度，同样由表格11 - 1可查得： 3yRB =_W(3a)39FRBa3EI将(b)、(c)两式代入式(a),得：_3314 Fa9 Frb a=0EI3EIEI(b)(c)(d)由该式可解得：Frb驾 则M图为：B支座视为多余约束，解除该支座，并施加多(c) 该梁为一次超静定梁，将余约束反力Frb。根据该梁的变形条件，梁在B点的挠度应为零，即补充方程式 为：yB = 0由叠加法：-yRB =0B点的挠度，由表格11 -1可查得: 23-x )11 F

21、ayB = yBF式中：yBF为梁在F单独作用下引起的22Fbx ( l 一 b y BF -6lEI12 EIyRB为梁在Frb单独作用下B点的挠度，同样由表格11 - 1可查得:F RB3yRB = 一布() 将(b)、(c)两式代入式(a),得：364Frb。48 EI由该式可解得:3311 Fa 64 F rb a12EI 一 48 EI(a)(b)(c)(d)11 F16则M图为：(d) 该梁为三次超静定梁，将 A支座化为固定皎支座，解除该支座的转动 约束，并施加多余约束反力 Ma。将B支座化为可动皎支座，解除该支座的转动 约束和水平约束，并施加多余约束反力 Mb和水平力Hb,由丁水

22、平支反力对位移 的影响可忽略不计，所以先不考虑 Hb,根据该梁的变形条件，梁在 A点和B点 的转角应为零，即补充方程式为：0 A = 09 B = 0由叠加法：° A = ° AF + ° AMA * ° AMB =0, ° B = ° BF * ° BMA + ° BMB =0,(a) 式中：0AF和&F为梁在F单独作用下引起的A点和B点的转角，由表格11 - 1 可查得：0AF(Ama/曰倚：2222F ( 2a ) FaF ( 2a ) Fa=16 EI = 4 EI , BF = 一 16 EI =

23、 一 4EI，GBma为梁在Ma单独作用下A点和B点的转角，同样由表格(b)11 - 1可查0amaIM.2 M a a二(2a)= 3EI3EI0bmaM aM Aa_(2a) = _ 6EI3EIQamb/曰倚：GBmb为梁在Mb单独作用下A点和B点的转角，同样由表格(c)11 -1可查9ambM bM Ba_(2a)=6 EI3EIM B 、&BMA = (2a)=3EI3EI2 M Ba(d)将(b)、(c) (d)式代入式(a),得：2M a a +3EIM Aa2Fa 2 M a a M b a=04 3EI 3EI2FaM a a2 M b a=043EI 3EI由上式可

24、解得：M A - -旦，M B = -巨44则M图如下：(e) 该梁为一次超静定梁，将 B支座视为多余约束，解除该支座，并施加 多余约束反力Frb。根据该梁的变形条件，梁在 B点的挠度应为零，即补充方程 式为：yB = 0由叠加法:yB = yBq yRB 0式中：yBq为梁在q单独作用下引起的B点的挠度，由表格11 - 1可查得：22224qx ( X 61- 4 lx ) q ( 2 a ) I 一、2234 qay Bq =(2a) 6( 3a )- 4 3a 2a，二24 EI24 EI6EIVrb为梁在Frb单独作用下B点的挠度，同样由表格11 - 1可查得:W(2a)38FRBa3

25、3EI3EI将(b)、(c)两式代入式(a),得：4334 qa 8 Frb a 0 3EIV RB6EI(a)(b)(c)(d)由该式可解得：Frb =七?则M图为:11- 16 一集中力F作用在梁AB和CD连接处，试绘出二梁的弯矩图。已知：EI1=0.8EI2。习题11- 16图解：该梁为一次超静定梁，AC和CD梁的受力图如图所示，其中Fc为未知力变形条件为：二梁在自由端处挠度相等，即:yB A = yCD由表格11 - 1可查得:yBA_ F Fc一 3EI 13(2a)38( F Fc )a一 30.8EI 2y CD3EI 2代入上式解得：Fc =&旦11则弯矩图为：11-

26、17在下列结构中，已知横梁的弯曲刚度均为 EI,竖杆的拉伸刚度均为 EA,试求图示荷载作用下各竖杆内力。31 口口; 了hDl -(a)习题11-17图'E_LkC(b)l/2l/2解：（a）该结构为一次超静定结构，将 BC杆的拉力Fbc看作多余约束，变形方程为：y BA = yBC(a)式中yBA为梁AB在q和拉力Fbc共同作用下，B端的挠度。yBC为拉杆BC的伸长 量。yBA=yq + y FBC3 q l 4 F BC l 8EI 一 3EIF BCyBC =!Aa4代入(a)式得：Fbc =8( Al - 3aI )(b)该结构为一次超静定结构，将Ec杆的拉力Fec看作多余约束，变形方程为:ycE = yc(a)C点的挠度。ycE为拉杆EC的伸长5qyc = yq+ yFEci384 EI3FecI48 EI式中yc为梁AB在q和拉