导数压轴题(共16页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上导数压轴题9(能力挑战题)设f(x)，其中a为正实数(1)当a时，求f(x)的极值点(2)若f(x)为上的单调函数，求a的取值范围解析f(x)，(1)当a时，若f(x)0，则4x28x30x1，x2，xf(x)00f(x)极大值极小值x1是极大值点，x2是极小值点(2)记g(x)ax22ax1，则g(x)a(x1)21a，f(x)为上的单调函数，则f(x)在上不变号，>0，g(x)0或g(x)0对x恒成立，又g(x)的对称轴为x1，故g(x)的最小值为g(1)，最大值为g.由g(1)0或g00<a1或a，a的取值范围是0<a1或a.10(能力挑战题)

2、函数f(x)xln xax2x(aR)(1)若函数f(x)在x1处取得极值，求a的值(2)若函数f(x)的图象在直线yx图象的下方，求a的取值范围(3)求证：2 0132 012<2 0122 013.解析(1)函数定义域为(0，)，f(x)ln x2ax，f(x)在x1处取得极值，f(1)0，即2a0，a0.f(x)ln x，当x(0,1)时，f(x)<0，当x(1，)时，f(x)>0，f(x)在x1处取得极值(2)由题意，得xln xax2x<x，xln xax2<0.x(0，)，a>.设h(x)，则h(x).令h(x)>0，得0<x<

3、e，h(x)在(0，e)上为增函数；令h(x)<0，得x>e，h(x)在(e，)上为减函数h(x)maxh(e)，a>.(3)由(2)知h(x)在(e，)上为减函数，h(x)>h(x1)，>.(x1)ln x>xln(x1)，ln xx1>ln(x1)x，xx1>(x1)x.令x2 012，得2 0122 013>2 0132 012.11已知函数f(x)ln(1x)(aR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若数列am的通项公式am2 013(mN*)，求证：a1·a2··am<3(mN*)解析(1)

4、由题意，函数的定义域为(1,1)(1，)，f(x)，当a0时，注意到>0，0，所以f(x)>0，即函数f(x)的增区间为(1,1)，(1，)，无减区间；当a>0时，f(x)，由f(x)0，得x2(2a)x1a0，此方程的两根x1，x2，其中1<x1<1<x2，注意到(1x)(1x)2>0，所以f(x)>01<x<x1或x>x2，f(x)<0x1<x<1或1<x<x2，即函数f(x)的增区间为(1，x1)，(x2，)，减区间为(x1,1)，(1，x2)综上，当a0时，函数f(x)的增区间为(1,1)(

5、1，)，无减区间；当a>0时，函数f(x)的增区间为(1，x1)，(x2，)，减区间为(x1,1)，(1，x2)，其中x1，x2.(2)当a1时，由(1)知，函数f(x)ln(1x)在(0,1)上为减函数，则当0<x<1时，f(x)ln(1x)<f(0)0，即ln(1x)<，令x(mN*)，则ln <，12已知函数f(x)a3ln(xaa2)，aR且a0.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a<0时，若a2a<x1<x2<a2a，证明：<a.解析(1)由题意，f(x)x.令f(x)>0，因为xaa2>0，故(xa

6、)(xa2)>0.当a>0时，因aa2>a且aa2>a2，所以上面不等式的解集为(aa2，)，从而此时函数f(x)在(aa2，)上单调递增当a<0时，因a<aa2<a2，所以上面不等式的解集为(a2，)，从而此时函数f(x)在(a2，)上单调递增，同理此时f(x)在(aa2，a2上单调递减(2)证法一： 要证原不等式成立，只需证明f(x2)f(x1)<(x2x1)，只需证明f(x2)x2<f(x1)x1.因为a2a<x1<x2<a2a，所以原不等式只需证明函数h(x)f(x)x在x(a2a，a2a)内单调递减由(1)知h(

7、x)x，因为xaa2>0，我们考察函数g(x)x2a2xa2，x(a2a，a2a)因a2>x对称轴，且<a2a，所以g(x)g(a2a)0.从而知h(x)<0在x(a2a，a2a)上恒成立，所以函数h(x)f(x)x在x(a2a，a2a)内单调递减从而原命题成立证法二：要证原不等式成立，只需证明f(x2)f(x1)<(x2x1)，只需证明f(x2)x2<f(x1)x1.又a2a<x1<x2<a2a，设g(x)f(x)x，则欲证原不等式只需证明函数g(x)f(x)x在x(a2a，a2a)内单调递减由(1)可知g(x)f(x)xxaa2aa2.

8、因为a<0，所以yxaa2在(a2a，a2a)上为增函数，所以g(x)g(a2a)a2aaa2aa20.从而知g(x)<0在x(a2a，a2a)上恒成立，所以函数g(x)f(x)x在x(a2a，a2a)内单调递减从而原命题成立13已知函数f(x)exsin x.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)如果对于任意的x，f(x)kx总成立，求实数k的取值范围；(3)设函数F(x)f(x)excos x，x.过点M作函数F(x)图象的所有切线，令各切点的横坐标构成数列xn，求数列xn的所有项之和S的值解析(1)由于f(x)exsin x，所以f(x)exsin xexcos xex(si

9、n xcos x)exsin.当x(2k，2k)，即x时，f(x)>0；当x(2k，2k2)，即x时，f(x)<0.所以f(x)的单调递增区间为(kZ)，单调递减区间为(kZ)(2)令g(x)f(x)kxexsin xkx，要使f(x)kx总成立，只需x时g(x)min0.g(x)ex(sin xcos x)k，令h(x)ex(sin xcos x)，则h(x)2excos x>0，x，所以h(x)在上为增函数，所以h(x)1，e对k分类讨论：当k1时，g(x)0恒成立，所以g(x)在上为增函数，所以g(x)ming(0)0，即g(x)0恒成立；当1<k<e时，g

10、(x)0在1，e上有实根x0，因为h(x)在上为增函数，所以当x(0，x0)时，g(x)<0，所以g(x0)<g(0)0，不符合题意；当ke时，g(x)0恒成立，所以g(x)在上为减函数，则g(x)<g(0)0，不符合题意；综合可得，所求的实数k的取值范围是(，1(3)因为F(x)f(x)excos xex(sin xcos x)，所以F(x)2excos x，设切点坐标为(x0，ex0(sin x0cos x0)，则斜率为F(x0)2ex0cos x0，切线方程为yex0(sin x0cos x0)2ex0cos x0·(xx0)，将M的坐标代入切线方程，得ex0

11、(sin x0cos x0)2ex0cos x0·，整理得tanx012，即tanx02，令y1tan x，y22，则这两个函数的图象均关于点对称，它们交点的横坐标也关于对称且成对出现，方程tan x2，x的根即所作的所有切线的切点横坐标构成的数列xn的项也关于对称且成对出现，在内共构成1 006对，每对的和为，因此数列xn的所有项的和S1 006.14已知函数f(x)ln xpx1.(1)求函数f(x)的极值点；(2)若对任意的x>0，恒有f(x)0，求p的取值范围；(3)证明：<(nN，n2)解析(1)f(x)ln xpx1，f(x)的定义域为(0，)，f(x)，当p

12、0时，f(x)>0，f(x)在(0，)上无极值点；当p>0时，令f(x)0，x(0，)，f(x)，f(x)随x的变化情况如下表：xf(x)0f(x)递增极大值递减从上表可以看出：当p>0时，f(x)有唯一的极大值，当x时，f(x)ln p；即函数f(x)的极值点是.(2)当p>0时，在x处取得极大值fln ，此极大值也是最大值，要使f(x)0恒成立，只需fln 0；p1，p的取值范围为1，)(3)令p1，由(2)知，ln xx10，ln xx1，nN，n2，ln n2n21，1，<(n1)(n1)(nN，n2)，得证10(2014·银川模拟)已知函数f(

13、x)在点M(1，f(1)处的切线方程为xy10.(1)求f(x)的解析式(2)设函数g(x)ln x，证明：g(x)f(x)对x1，)恒成立解析(1)将x1代入切线方程得f(1)0，又f(1)，化简得ab0.f(x)，f(1)，由f(1)1得1.由解得：a2，b2，所以f(x).(2)要证ln x在1，)上恒成立，即证(x21)ln x2x2在1，)上恒成立，即证x2ln xln x2x20在1，)上恒成立设h(x)x2ln xln x2x2，h(x)2xln xx2.x1，2xln x0，x2，即h(x)0.h(x)在1，)上单调递增，h(x)h(1)0，g(x)f(x)在x1，)上恒成立1

14、1(2014·河北质检)已知函数f(x)2ln xx2ax(aR)(1)当a2时，求f(x)的图象在x1处的切线方程；(2)若函数g(x)f(x)axm在上有两个零点，求实数m的取值范围；(3)若函数f(x)的图象与x轴有两个不同的交点A(x1,0)，B(x2,0)，且0<x1<x2，求证：f<0(其中f(x)是f(x)的导函数)解析(1)当a2时，f(x)2ln xx22x，f(x)2x2，切点坐标为(1,1)，切线的斜率kf(1)2，则切线方程为y12(x1)，即y2x1.(2)g(x)2ln xx2m，则g(x)2x，x，当g(x)0时，x1.当<x&l

15、t;1时，g(x)>0；当1<x<e时，g(x)<0.故g(x)在x1处取得极大值g(1)m1.又gm2，g(e)m2e2，g(e)g4e2<0，则g(e)<g.g(x)在上的最小值是g(e)g(x)在上有两个零点的条件是解得1<m2，实数m的取值范围是.(3)f(x)的图象与x轴交于两个不同的点A(x1,0)，B(x2,0)，方程2ln xx2ax0的两个根为x1，x2，则两式相减得a(x1x2).又f(x)2ln xx2ax，f(x)2xa，则f(x1x2)a.下证<0(*)，即证明ln <0，设t，0<x1<x2，0<

16、;t<1，即证明u(t)ln t<0在0<t<1上恒成立u(t)，又0<t<1，u(t)>0，u(t)在(0,1)上是增函数，则u(t)<u(1)0，从而知ln<0，故(*)式成立，即f<0成立12(2014·潍坊模拟)已知函数f(x)ax2x，g(x)ln(x1)(1)若a1，求F(x)g(x)f(x)在(1，)上的最大值(2)利用(1)的结论证明：对任意的正整数n，不等式2>ln(n1)都成立(3)是否存在实数a(a>0)，使得方程f(x)(4a1)在区间内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出a的取值范

17、围；若不存在，请说明理由解析(1)F(x)2x1，当x(1,0)时，F(x)>0，x(0，)时，F(x)<0，x0是F(x)在(1，)上唯一的极大值点，从而当x0时，F(x)取得最大值 F(0)0.(2)由(1)知x(0，)，F(x)<0，即ln(x1)<x2x，令x得ln<，即ln(n1)ln n<，ln 2ln 1<2，ln 3ln 2<，ln(n1)ln n<，ln(n1)ln 1<2，即2>ln(n1)(3)把方程f(x)(4a1)整理为ax2(12a)xln x0.设H(x)ax2(12a)xln x(x>0)，

18、原方程在区间内有且只有两个不相等的实数根，即函数H(x)在区间内有且只有两个零点H(x)2ax(12a)，令H(x)0，因为a>0，解得x1或x(舍)，当x(0,1)时，H(x)<0，H(x)是减函数；当x(1，)时，H(x)>0，H(x)是增函数，H(x)在内有且只有两个不相等的零点，只需即解得1<a<，所以a的取值范围是.13(14届衡水中学期中)已知函数f(x)aln x(a0)在内有极值(1)求实数a的取值范围；(2)若x1，x2(2，)且a时，求证：f(x2)f(x1)ln 2.解析(1)由f(x)aln x(a0)，得f(x)，a0，令g(x)x2x1，g(0)1>0.令g<0或则0<a<2.即a的取值范围