平面向量题型归纳总结

1、平面向量题型归纳一.向量有关概念：【任何时候写向量时都要带箭头】uuu r1 .向量的概念：既有大小又有方向的量，记作： AB或a。注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意 不能说向量就是有向线段 ，为什么（向量可以平移）。uuu r例：已知A （1,2）, B （4,2）,则把向量 AB按向量a= （ 1,3 ）平移后得到的向量是uur r2 .向量的模：向量的大小（或长度），记作：|AB|或|a|。3 .零向量：长度为0的向量叫零向量，记作： 0,注意零向量的方向是任意的uuu4 .单位向量：单位向量：长度为1的向量。若e是单位向量，则|e| 1。（与AB共线的单uuu位向量是_

2、AB_）;|AB|相等向量有传递性;a、b叫做平行向量，记作：a / b ,5 .相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,6 .平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量 规定零向量和任何向量平行提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等;两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；r平行向量无传递性！（因为有0）；三点A、B、C共线uur uuurAB、AC共线;如图，在平行四边形ABCD 中,卜列结论中正确的是uuuA. ABuuirCDB.uuuABuuurADuuurBDuuur C. ADuu

3、rABuurACD.uuurADuurBC7.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。uura的相反向量是一a、ABuuuBA。例：下列命题:r(1)若 a，则 a b。（ 2）若 ab,b c,则 a c。(6)若 ab,bc ,r r则 a/c 。 (3)uur uuir若AB DC ,则ABCD是平行四边形。（4）若ABCD是平行四边形，则uuur uurAB DC 。其中正确的是题型1、基本概念1:给出下列命题:若|ai=i bi向量可以比较大小;方向不相同的两个向量一定不平行;r r rabbuuuABuuurCDuuu ABuurCD a b bacmar mbr r r a

4、 b mar nab |a| |b|a/b|a b| |ar rb| arb角形法则:uurABuur unrBC AC ;unr unr uuu uuur uuir AB BC CD DE AE;uurABuurACuuuCB （指向被减数）uuu1、化简（ABuuu2、已知|OA|urnr3、在平行四边形 ABCD中，若ABunrADuurr unrAB AD ,则必有 (uuir rA. AD 0 B.uuuABunr似ADC.ABCD是矩形D.ABCD是正方形9.平行四边形法则r r以a,b为临边的平行四边形的两条对角线分别为 题型2.向量的加减运算uuu uuur uuur uuuu

5、MB) (BO BC) OMuuu uur5, |OB| 3,则| AB|的最大值和最小值分别为题型3.向量的数乘运算1、计算：(1) 3(a b) 2(a b)r(2) 2(2 arr r5b 3c) 3( 2a 3b 2c)题型4.作图法求向量的和r3a3r一 b 和 2a 一 b。r r1、已知向量a, b ,如下图，请做出向量题型5.根据图形由已知向量求未知向量1、已知在ABC中，D是BC的中点，请用向量uuu uuur uurAB, AC 表示 AD 。r uur uurb ,求 A评口 AD ouuur uuur2、在平行四边形 ABCD中，已知AC a,BD题型6.向量的坐标运算

6、11rL* .一7一 下一1 x设=（工山）,卜=（孙内）.则工1十力=（工1 + 4,耳+ /：卜a-b = （x -Jrj1西二 （2,加J2、设用工”死1鸟（不心）,则需二体-不力其实质是将向量的起点移到坐标原点，irr1、已知 a（1, 4）,b练习：若物体受三个力（3,8），则 3a1b 2rrrFi (1,2) , F2 ( 2,3), F3（1, 4）,则合力的坐标为uur2、已知 PQ ( 3, 5),P（3,7）,则点Q的坐标是rrrr rr r r3、 . 已 a ( 3, 4) ， b (5,2) ，求 a b ， a b ， 3a 2b 。ruuur2、已知A(1,2)

7、, B(3,2)，向量占(x 2, x 3y 2)与AB相等，求x, y的值。5、已O 是坐标原点，uuur uuur r uuruA(2, 1),B( 4,8),且 AB 3BC 0,求 OC 的坐标。三.平面向量的基本定理：如果ei和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a,有且只有一对实数1、2 ,使a=2e?。基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。题型7.判断两个向量能否作为一组基底ur uu1、已知e1, e2是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：uruu uruu ur ur ur ur ur uu ur ur uu uuura. ea和ee

8、，b. 3e2色和436ec. e3e2和a3ed.3和3练习：下列各组向量中，可以作为基底的是（）(A) ei(0,0)，e2(1, 2)ei( 1,2)，e2(5,7)(C)g(3,5)&(6,10)(D)ei(2, 3), e2(1,J)2e1e224,r _八，r2、.已知a (3,4),能与a构成基底的是()A. (3,4) B. (4,3) C. ( 3. 4) D. ( 1,-) 5 55 55533、知向量ehe2不共线，实数（3x-4y）ed（2x-3y）e2 =6e+3e2 ,则x y的值等于 rirrb-rfa-4、设6,62是两个不共线的向量，AB2e1ke2,

9、CBe3e2,CD2&e?,若A、BD三点共线，求k的值.5、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1), B(-1,3),若点C(x, y)满足OC = a OA + (3 OB ,其中a , (SCR且a+p=1,则x, y所满足的关系式为()A. 3x+2y-11=0B . (x-1) 2+( y-2) 2=5 C . 2x-y=0 D . x+2y-5=0四.平面向量的数量积：- uuu r uuu r1 .两个向量的夹角：对于非零向量a, b,作OA a,OB b, AOB0称为向量a , b的夹角，当 =0时，a , b同向，当 = 时，a , b反向,当=一时，

10、a , b垂直。2实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作 a ,它的长度和方向规定如下:r-一一一a, 2当 >0时， a的方向与a的方向相同，当 <0时， a的方向与a的方向相反，当=0时,rr_a 0,注意： aw。UULT UUU例1、已知AD,BE分别是LUUABC的边BC, AC上的中线，且ADr uuu r uuua,BE b,则BC可用r r向量a,b表布为例2、已知 ABC中，点D在BC边上，且CD 2 DB , CDr AB的值是2.平面向量的数量积：如果两个非零向量a , b ,它们的夹角为，我们把数量r r| a |b | cos叫做a与b的数量积(

11、或内积或点积)，记作：a ? b ,即a ? b = a bcos规定：零向量与任一向量的数量积是0,注意数量积是一个实数，不再是一个向量3.向量的运算律：1 .交换律:r a,r r r r ra , a?b b?a2 .结合律:r rc, ar ?br ra?br a,r ?ca ?cb ?c。题型8:有关向量数量积的判断1 :判断下列各命题正确与否:(1) (a b) c a (bc)r , 一 ,，c当且仅当r T 一、a 0时成立；(3) (ab) c a c b c ；r (4)(ab) cr r r 一一一 rrra (b c)对任息a,b,c向重都成立;.r(5)若 ar r

12、o,a br ra c ,则b c ；(6)对任意向量a,有a2m(a b) =ma +mb其中正确的序号是r rr r0；若a b c b,则2、下列命题中： a (b c) a b a c ； a (b c) (a b) c；222(a b) | a |21 a | | b | |b|;右 ab 0,则 a 0或 br r r2 小 a b a ；-2ar r；(a b)2 2a b ；(ar 2 r2 r r r2b)a 2a b b。其中正确的是题型9、求单位向量r【与a平行的单位向量:r星|a|,r _1.与a(12,5)平行的单位向量是。2.r题型10、数量积与夹角公式：ar r

13、rb |a | | b|cos ;cos1 1.1) 平行的单位向量是r ra b-rj|a| |b|向量的模：若a (x, y),则| a |a2r 2 r|a| , |ab|(lb)21、MBC 中，| AB |一一 1 r2、已知 a (1-),b 2(0,|AC|1 r r3、已知 |a| 3,|b|则 AB BC4,(2b)(2ar b)4、已知a,b是两个非零向量，且r u kb, d的夹角为60°,(arirc与d的夹角为-,则k等于r求(1) ar3b)。r r r r ra b ,则a与a b的夹角为5、已知a (J3,1),b (2J3,2),求a与br的夹角。6

14、、已知 A(1,0), B(0,1), C(2,5),求 cos BAC。7、已知非零向量 占上满足ab,b(b 2a),则a与b的夹角为8：已知 ABC 中 ABC 50o, BC9：已知向量a与向量b的夹角为120°uuu uuuBA,则BA与AC的夹角为r,若向量c=a + b,且a,c,则；的值为 b10： 已知 | a| =1| b| =2,r rr r r| a + b|=2,则b与2a-b的夹角余弦值为rr r rr r r r11：已知向量I a I = J2 , | b | =2, a和b的夹角为135 ,当向量a+ b与 a + b的夹角为锐角时，求的取值范围。题

15、型11、求向量的模的问题,# r,、，r - r2r 2如向量的模：若 a(x,y),则 |a| Jx2y2, a|a|2,r r T-r- |a b| .(a b)21、已知零向量a (2,1),a.b10, a b2、已知向量a,b满足忖1，M 2, a b 2,则a b 3、已知向量 a (1J3), b ( 2,0),则 |a b 4、已知向量a (1,sin ),b (1,cos )，则a b的最大值为 2BC 16,5、设点 线段BC的中点，点 A在直线BC外，AB- 叼 |AB AC卜则 AM()(A) 8(B) 4(C) 2(D) 16、 设向量a , b满足a Ibl1及4a

16、 3b 3,求3a 5b的值练习：已知向量 a,b满足a 21b 5ab 3求a b和a b7、设向量a, b满足a 1,b 2,a (a 2b),则2a b的值为 r - 一8、已知向量a、b满足a 1,|b|4,则|a b|的最大值是 最小值是题型12、结合三角函数求向量坐标uur° urnuunxOA 60°,求OA的坐标。1 .已知。是坐标原点，点 A在第二象限，|OA| 2, xOA 150°,求OA的坐标。uuu -2 .已知O是原点，点 A在第一象限，|OA| 4J3,r rrr五、平行与垂直知识点：a/babx1y2x2 y1；r r r ra b

17、 a b 0 x1x2 v1y 0题型13:向量共线问题1、已知平面向量a (2,3x),平面向量b2, 18)，若a/ b,则实数 x2、设向量a (2,1) ,b (2,3)若向量a b与向量C ( 4, 7)共线，则 3、已知向量a (1,1),b (2, x)若a b与4b 2a平行，则实数x的值是()A. -2B. 0C. 1D. 24、已知向量 OA (k,12),OB (4,5),OC ( k,10),且A, B, C三点共线，则k umuuuuiuir练习：设 PA (k,12),PB (4,5), PC (10*),则卜=时,A,B,C 共线5、已知a,b不共线，c ka b

18、, d a b ,如果c / d ,那么k= , c与d的方向关系是r rrr r rr r r r练习：已知 a (1,1),b(4, x) ,ua 2b , v2a b ,且 uv,贝Ux =6、已知向量 a (1,2),b (2,m),且 a/b ,则 2a 3b 题型14、向量的垂直问题1、已知向量a (x,1),b (3,6)且a b,则实数x的值为2、已知向量a (1, n) ,b ( 1, n),若2a bWb垂直，则a -rh-rrfc-练习：已知a = (1, 2), b = (-3, 2)若k a +2b与2 a-4 b垂直，求实数 k的值3、已知单位向量 m和n的夹角为一

19、，求证：(2n m) m34、a (3,1),b (1,3),c (k,2),若 « 。 b,则k 练习：a (1,2),b (2, 3),若向量菊足于ca)/ b , c (a B ,贝U c5、以原点。和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB B 90，则点B的坐标是r题型15、b在a上的投影为|b|cos ,它是一个实数，但不一定大于0。1、已知| a | 3 , | b | 5 ,且a b 12 ,则向量a在向量b上的投影为 r2、已知arr r8, e是单位向量，当它们之间的夹角为 一时，a在e方向上的投影为 3练习：已知2一 一4, a与b的夹角，则向量b在向量a上

20、的投影为3题型16、三点共线问题1 .已知 A(0, 2), B(2,2), C(3,4),求证：A,B,C 三点共线。uur 2 r r uuur2 .设 AB (a 5b), BC2r r uuir2a 8b,CDr r3(a b),求证：A B、D二点共线。uuu r r uuir练习：已知AB a 2b, BCrr uurr r5a 6b,CD 7a 2b,则一定共线的三点是3.已知A(1, 3), B(8, 1),若点C(2a 1,a 2)在直线AB上，求a的值。4.已知四个点的坐标O(0,0), A(3,4) , B( 1,2), C(1,1),是否存在常数t,使uur uur u

21、uurOA tOB OC 成立2ei e2, CD 3ei e2 ,若3OA xOC,贝 Ux=5： e1, %是平面内不共线两向量，已知 AB ei ke2, CBA, B, D三点共线，则k =6: 设 O是直线l外一定点，A B、C在直线l上，且OBr rr rr r7：设a, b是两个不共线向量，若 a与b起点相同，t e r, t=时，a , t b ,1 r r八，1 ( a + b)三向量的终点在一条直线上。38:如图，在 ABC3,点 O是BC的中点，过点 O的直线分别交直线 AB AC于不同的两点 M N,若AB= miAM XC= nXN则什n的值为9:在 OAB勺边 OA

22、 OB上分别取点 M N,使 | OM ： | OA = 1 ： 3, | ON ： I OB = 1 ： 4,设线段AN与B帜于点P,记OA= a, OB= b,用a, b表示向量OP一. . f 1> > 1>.f f.练习：如图，在4OA升，OO4OA O氏OB AD与BC交于点 M 设OA= a, OB= b.(1)用a、b表示OM求证:1一7P(2)已知在线段 AC上取一点E,在线段BD上取一点F,使EF过M点，设O叁pOA O已qOB3 =1. 7q六、线段的定比分点：1 .定比分点的概念：设点P是直线%P2上异于巳、P2的任意一点，若存在一个实数uur uuru

23、umuuur,使P1PPP2 ,则 叫做点P分有向线段P1P2所成的比，P点叫做有向线段 PP2的以定比为 的定比分点；2 .的符号与分点 P的位置之间的关系：当P点在线段P 1P2上时>0;当P点在线段P1P2的延长线上时<1;当P点在线段P2 Pl的延长线上时10;uuu3uuu例1、若点P分AB所成的比为-,则A分BP所成的比为4uuuu3 .线段的定比分点公式：设R(x1,y1)、P2(x2,y2), P(x,y)分有向线段PP?所成的比为Xix2x ，则 1 ，特别地，当V1 V211时，就得到线段P1 P2的中点公式x1 x2 x 2y2。题型17、定比分点12、若 M

24、 (-3, -2 ), N (6,-1 )，且 MP MN,则点 P的坐标为31 uuiinuuir3、已知A(a,0), B(3,2 a),直线y ax与线段AB交于M ,且AM 2MB ,则a等于2七、平移公式：如果点P（x,y）按向量ra h,k平移至P(x, y),则 x x h ；曲线y y krf(x,y) 0按向量ah,k平移得曲线f (x h, y k)0.注意：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系（2）向量平移具有坐标不变性,题型18、平移1、按向量a把（2, 3）平移到（1, 2）,则按向量a把点（7,2）平移到点 2、函数y sin 2x的图象按向量 a平移后，

25、所得函数的解析式是y cos2x 1,则a =八、向量中一些常用的结论（1） 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用;r r r r|a b| |a| |b|rr rr r rrrrrl|a|r r r r rr|b| |a b|；当a、b反向或有0（2） |a|b| |ab| |a|b|,特别地，当 a、b同向或有 0rr r r r r rr xtz r r _|ab| |a|b|a|b| |ab| ；当 a、b不rr r r rr共线|a | |b| |a b| |a| |b|(这些和实数比较类似).(3)在 ABC中，若A x1, y1 , B x2, y2 ,C x3,

26、 y3 ,则其重心的坐标为G x1 x2 x3 y1 y2 y3 o 如 3'31、若/ABC的三边的中点分别为(2,1)、(-3,4)、(-1 , -1 ),则/ABC的重心的坐标为 uuur uuiuuiuunuuiurnuuirrPG1(PAPBPC)G为 ABC的重心，特别地PAPBPC0P为3ABC的重心；uuu uuu uuu uur uur uur PA PB PB PC PC PAP 为 ABC 的垂心；uuu uuur0)所在直线过 ABC的内心(是 BAC的角平分线所在直向量 (1ABAC )(|AB| |AC|线)；uur uur uuur uurr uur uu

27、u r |AB|PC |BC|PA |CA|PB 0 P ABC 的内心;uuuu(3)若P分有向线段P1P2所成的比为，点M为平面内的任一点,uuur 则MPuuurMPi1uuuuMP25uuur特别地P为P|P2的中点MPuuur uuuuMPiMP2 .2，uur uuu uuur(4)向量PA、PR PC中三终点A B、C共线 存在实数uunuuri使得PA PBuurPC且1.如2、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1), B( 1,3)，若点C满足OC 1 OA 2 OB ,其中1，2 R且121,则点C的轨迹是题型19、判断多边形的形状uur r uur r uu

28、ur uur1 .若AB 3e, CD 5e,且| AD | | BC |,则四边形的形状是 。2 .已知 A(1,0), B(4,3) , C(2,4), D(0,2),证明四边形 ABCD 是梯形。3 .已知A( 2,1), B(6, 3), C(0,5),求证：ABC是直角三角形。4、在 ABC中，若BA BA AB CB 0 ,则 ABC的形状为A .等腰三角形B .等边三角形uuuuuu5、在平面直角坐标系内，OA ( 1,8),OB角三角形。C.等腰直角三角形D .直角三角形uuLr(4,1),OC (1,3),求证：ABC是等腰直6、平面四边形 ABCD 中，AB a , BC

29、b, CD c, DA d,且 a b b c c d di,判断四边形 ABCD的形状.题型20:三角形四心1、已知 ABC的三个顶点A B、C及 ABC所在平面内的一点UUV巳若PAUU! LUIV VPB PC 0 则点P是 ABC勺A.重心 B.垂心 C .内心 D .外心2.已知点O是三角形所在平面上一点,uu uiru uiruuiru uiruuu若OAOB OBOC OCOA则O是三角形ABC的(A)内心(B)外心UUU23、已知点O是三角形所在平面上一点， 若OA(A)内心(B)外心练习、已知O, N, P在 ABC所在平面内，且(C)重心(D)垂心uuu2 uur2OB O

30、C，则O是三角形ABC的( )(C)重心(D)垂心OA OB OC , NA NB NC 0 ,且PA?PB PB?PC PC? PA,则点 O, N, P 依次是 ABC 的( )(A)重心外心垂心 (B)重心外心内心(C)外心重心垂心 (D)外心重心内心4、在平面内有urABW 点 0,若 ABum(OAuurOB)uuu uuu uurAC (OC OA) 0 ,贝U点 O是 ABCWA.重心5、已知点O是平面上一个定点，B、C是平面内不共线三点，动点P满足uur uuruuu uuurOP OA(AB AC),R,则动点P 一定通过 ABC的()(A)内心(B)外心(C)重心(D)垂心

31、6、已知点O是平面上一个定点，B、C是平面内不共线三点，动点P满足uuu uuuruur uuuAB ACOP OAuuu + uuurI AB| |AC|R,则动点P 一定通过 ABC的(A)内心(B)外心(C)重心(D)垂心7、已知点O是平面上一个定点，C是平面内不共线三点，动点P满足uur uuuOP OAuuuuurABAC-tuur+ -uuur| AB | cosB | AC | cosCR ,则动点P 一定通过 ABC的()8、uurOP(A)内心(B)外心(C)重心(D)垂心已知O平面上uuir uuurOB OC(A)内心个定点，C是平面内不共线点，动点P满足uuuAB uuu+ -utuuuurAC|