倒立摆的自动控制原理课程设计

1、全校通识课课程考核科目：倒立摆的自动控制原理课程设计教师：姓名：学号： 2010专业:2010级自动化5班上课时间：2013 年3月至2013年5月学生成绩：教师（签名）重庆大学制目录倒立摆的自动控制原理课程设计1 引言倒立摆是进行控制理论研究的典型实验平台，它在机器人技术、控制理论、计算机控制等自 动控制领域，对多种技术的进行了有机结合。它具有高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦 合特性，在经典控制理论学习理解以及现代科技方面，诸如半导体及精密仪器加工、机器人控 制技术、人工智能、导弹拦截控制系统、航空对接控制技术、火箭发射中的垂直度控制、卫星 飞行等有广泛的应用。平面倒立摆可以比较真实的模

2、拟火箭的飞行控制和步行机器人的稳定控制。通过本次简单的倒立摆系统实验来验证所学的控制理论和算法，非常直观，简便。它可以 在轻松的氛围下提高学生学习热情，充分调动学生积极性，达到理论与实践的有机统一，更好 的学习知识！同时在设计的过程中多次用到了matlab中的simulink模块，可以让我们更好的学习计算机在控制系统中的巨大作用，更好的学习自动控制知识。倒立摆已经扩展出很多种类，典型的有直线倒立摆，环形倒立摆，平面倒立摆和复合倒立摆等， 倒立摆系统是在运动模块上装有倒立摆装置。对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统， 实验建模存在一定的困难。但是忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典

3、型的运动的 刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。本文是基于固高倒立摆系统已经建立好的传递函数，根据参数要求，通过根轨迹分析和频域分 析等控制算法设计控制器，并通过实际检测，最后得到参数要求的控制器并且倒立后能承受一 定的干扰。2数学模型的建立2.1倒立摆数学模型的建立直线一级倒立摆由直线运动模块和一级摆体组件组成，是最常见的倒立摆之一，直线倒立摆是 在直线运动模块上装有摆体组件，直线运动模块有一个自由度，小车可以沿导轨水平运动，在 小车上装载不同的摆体组件。系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系 统，实验建模存在一定的困

4、难。机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、 化学等学科的知识和数学手段建立起系统内部变量、输入变量以及输出变量之间的数学关系。 本文用机理建模的方法求取小车的传递函数（设实验环境器材等均处于理想状态）如 盘图：小车质量1.096 Kg摆杆质量0.109 Kg小车摩擦系数0.1N/m/sec摆杆转动轴心到质心长度0.25m摆杆惯量0.0034 kg m2F 加在小车上的力 x 小车位置摆杆水平方向的合力:(2.2)©摆杆与垂直向上方向的夹角 9摆杆与垂直向下方向的夹角 图1直线一级倒立摆模型?N 和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量(2.1)图2小车及摆杆受

5、力分析小车水平方向的合力:化简得：一三三一(2.3)水平方向的运动方程：(2.4)对摆杆垂直方向上的受力进行分析，可得垂直方向的运动方程：(2.5)即：二=I(2.6)力矩平衡方程如下：(2.7)合并式(6)和(7).，消去 和 得到第二个运动方程： (2.8)设，假设勺与1 (单位均是回)相比很小，即 3，则可以进行如下近似:(2.9)用u来代表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方程如下:(2.10)假设也、和它们的各阶导数的初始值均为零。对上式进行拉普拉斯变换，得到:(2.11)由于角度旧为输出量，求解方程组的第一个方程，可以得到摆杆角度和小车位移的传递函数:三I(2.12)如果令，则摆

6、杆角度和小车加速度之间的传递函数为：(3.1)ri把上式代入方程组的第二个方程，得到:(2.14)整理后得到式称为摆杆角度与外加作用力间的传递函数:带入实际参数：M=1.096Kgm=0.109Kgb=0.1N/m/secl=0.25m1=0.0034 kg m2最后得到的最终表达式：摆杆角度和小车位移的传递函数：(2.15 )(2.16)摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：(2.17)摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数:(2.18)小车位置和加速度的传递函数(2.19)3未校正前系统的时域分析本系统采用以小车的加速度作为系统的输入，摆杆角度为输出响应，此时的传递函数为图3.1摆杆角度的

7、单位阶跃响应曲线图采用以小车的加速度作为系统的输入，小车位置为响应，贝吐匕时的传递函数为(3.1)0 51Time (sec0_60.7Step Response-图3.2小车位置的单位阶跃响应曲线图由于以上时域分析中所有的传递函数的响应图都是发散的，说明系统不稳定，需加控制器进行 校正4根轨迹校正4.1原系统的根轨迹分析以小车的加速度为系统输入，摆杆角度为输出。前面已得到系统传递函数为:(4.1)EM LOCUSAxis4.1原系统根轨迹曲线图其中：z = 0，0 p = 5.1136，-5.1136可以很直观地看出，系统有两个零点，有两个极点，并且有一个极点为正。画出系统闭环传递 函数的根

8、轨迹如图3-6，可以看出闭环传递函数的一个极点位于右半平面，并且有一条根轨迹 起始于该极点，并沿着实轴向左跑到位于原点的零点处，这意味着无论增益如何变化，这条根 轨迹总是位于右半平面，即系统不稳定。4.2串连超前系统的设计设计后的参数要求： 调整时间：最大超调量:(4.2)4.2.1确定闭环期望极点的位置由最大超调量>“力-0Xb4.2闭环主导极点所在的极坐标图在此我们对超调量留有一定余量，令 可以得到:由I亠可以得到：I亠J（弧度）其中旧为位于第二象限的极点和0点的连线与实轴负方向的夹角又由:其中为位于第二象限的极点和0点的连线与实轴负方向的夹角又由:对调节时间留有一定余量，令（土 2

9、%1 勺误差带）13.3589 占二 j8.6760取其为0.3s ,可以得到： I I，于是可以得到期望的闭环主导极点为:代入数据后，可得期望的闭环主导极点为:4.2.2超前校正传递函数设计未校正系统的根轨迹在实轴和虚轴上，不通过闭环期望极点，因此需要对系统进行超前校正, 设控制器为：(4.3)(4.8)423校正参数计算计算超前校正装置应提供的相角，已知期望的闭环主导极点和系统原来的极点的相角和为:(4.4)因此校正装置提供的相角为:(4.5)又已知 I对于最大的a值的丫角度可由下式计算得到:(4.6)由于角度都已求出，线段SO的长度即为自然频率的大小，故可用正弦定理计算，求出超前校正 装

10、置的零点和极点（正弦定理）分别为：I =I（计算程序见附录4）4.2.4超前校正控制器校正后系统的开环传递函数为:由幅值条件，并设反馈为单位反馈，所以有(4.7)对相应参数保留五位有效值，于是我们得到了系统的控制器:4.2.5 mRd ot Locxib下图所示:辄込N =-o3-1C图4.5串联超前校正simulink流程图offset; 0图4.6串联超前校正后的阶跃响应曲线(为便于观察，阶跃信号设置了 1s的延时)小结：在课程设计期间，根轨迹法由于时间较紧，而且看放到计算量很大，我们有没有数学软 件，很复杂。算到一半就没算了。然后只是用试探的方法，以为只要仿真达到参数指标就可以 了，得到

11、的一组数据仿真效果非常好。但是在实际应用于倒立摆时就不行了，可以立起来，但 是不稳定，会向左右摆，然后就倒了。经仔细分析得到原因：我们没有对小车在轴上的运动的 距离进行控制，导致它不稳定。5倒立摆系统频域分析系统对正弦输入信号的响应，称为频率响应。在频率响应方法中，在一定范围内改变输入 信号的频率，研究其产生的响应。频率响应可以采用以下两种方法进行分析，一种为伯德图， 伯德图采用两幅分离的图来表示，一幅表示幅频特性，一幅表示相频特性；一种是奈奎斯特图， 表示的是当3从0变化到无穷大时，向量G( j CD )的矢端轨迹。奈奎斯稳定判据使我们有可能 根据系统的开环频率响应特性信息，研究线性闭环系统

12、的绝对稳定性和相对稳定性。根据以上所建模型我们已经得到了直线一级倒立摆的数学模型，实际系统的开环传递函数为：其中输入为小车的加速度回,输出为摆杆的角速度在MATLA下绘制系统的Bode图和Nyquist图如下所示。计算出开环传递函数的零极点分别为:z = Empty matrix: 0-by-1p =5.1136 -5.1136-ISO一 屈3 HsctdX 101Q1Frequency (ndBee)图5.1直线一级倒立摆的bode图2«2申o.4 一Nyquiat Diaqrom-0.6 -一-0.6 -q IIIIIIBIII-1£.9-0.8£4-0 6

13、-O_S -Q.A*2-0.10Real Axes图5.2直线一级倒立摆的 Nyquist图由上述计算结果可以知系统没有零点，但存在两个极点，其中一个极点位于右半S平面。根据奈奎斯特稳定判据，闭环系统稳定的充分必要条件是：当变化时,曲线逆时针包围勺平面上'点的次数''等于开环传递函数右极点个数一。对于直线一级倒立摆，由图7我们可以看出，开环传递函数在s右半平面有一个极点。因此，曲线逆时针包围凹 点的次数凹。而本系统的奈奎斯特图并没有逆时针包围 凹 点一圈即 I空。因此系统不稳定，需要设计控制器来稳定系统。6频域法校正6.1频域法控制器设计直线一级倒立摆的频率响应设计可以

14、表示为如下问题：考虑一个单位负反馈系统，其开环传递函数为(5.1 )式所示，则可以设计控制器使得系统的静态位置误差常数为10,相位裕量为旨，增益裕量等于或大于6.1.1控制器的选择根据图7可以初步观察出，给系统增加一个超前校正就可以满足设计要求，设超前校正装置为：(6. 1)则已校正系统具有开环传递函数'"'，(6. 2)6.1.2系统开环增益的计算根据稳态误差要求计算增益K(6. 3)可以得到:于是有：(6 .4)6.1.3 画 bode 图和 Nyquist 图用MATLA画出的 Bode 图和 Nyquist图，如下所示179 S-ISO-180-51310I0

15、10Frsoucncy iB图6.1直线一级倒立摆加增益校正后的bode图1-9-oX 10OSNyquiksl Diocromb 4 2 0 2 4 o o odqJ- "I rnCHVe弊匸碍fflE图6.2直线一级倒立摆加增益校正后的Nyquist图可以看出，系统的相位裕量为',根据设计要求，系统的相位裕量为0，因此需要增加的相位裕量为，增加超前校正装置会改变Bode图的幅值曲线，这时增益交界频率会向右移动，必须对增益交界频率增加所造成的旦 的相位滞后增量进行补偿。因此，假设需要的最大相位超前量近似为53o。6.1.4计算 和T求解校正装置(6.5 )计算可以得到间值：

16、L K 确定了衰减系统，就可以确定超前校正装置的转角频率冋和叵I ,可以看到，最大相位超前角丨发生在两个转角频率的几何中心线上，由于包含（Ts+1）/（叵Ts+1）项，所以幅值变化为:得到并且-11.0756dB对应于3 = 29.3rad/s ，选择此频率做凶，相当于T =冈 ，得到： | x I于是矫正装置确定为:Kc=900.00196.1.6 matlab下作校正后系统的 Bode图和Nyquist图Bode Ciaararn50(-图6.3添加超刖校正装置后的倒立摆 Bode图3 5 10 12 巴“吕丁_一-toReal Axia图6.4添加超 前校正装置后的Nyquist图从图6

17、.3图中可以看出，系统具有要求的相角裕量和幅值裕量；从图 6.4 Nyquist图中可以看 出，曲线绕 国 点逆时针一圈丨凹，与校正后系统开环传递函数右极点个数 凹 相等，即国c 系统稳定。6.1.7校正后系统的单位阶跃曲线rime offset 0图6.5添加超前矫正后的相应图（为便于观察，阶跃信号设置了 1s延时）从图6.5可以看出，系统的超调量和稳态误差都比较大。为使系统获得快速响应特性，又可以 得到良好的静态精度，我们可以采用滞后-超前校正（通过应用滞后-超前校正，低频增益增 大，稳态精度提高，又可以增加系统的带宽和稳定性裕量）。6.2串联滞后-超前校正装置设计6.2.1控制器设计从上

18、图可知，超前校正后系统仍然存在一定的稳态误差，可以考虑采用滞后 -超前校正，设滞后 -超前控制器为：LKI（6.9）根据滞后-超前控制器思想，利用MATLA编程，求得结果如下：最优校正方案的串联滞后 -超前 校正环节的极点为：optimizati on_z =2最优校正方案的串联滞后-超前校正环节的零点为：optimizati on_p =0.1837最优校正方案的串联滞后-超前校正后的开环传递函数为：ZESEZI（ 6.10）比超前校正提高了很多，因为-2零点和0.1837极点比较接近，所以对相角裕度影响等不是很 大。6.2.2 matlab 环境下的 bode 图和 nyquist 图Be

19、de Dtaaram101JttwHfrequency rae/sec图6.8滞后-超前校正后的系统Bode图5C&理匚一Dm!-3CNvqList Diagrar'2C01rv r*-T20#00-80-600-20Hea axis图6.9滞后-超前校正后的系统的Nyquist图滞后，超前矫正后的仿真-111.2,-1-0.8*0.CI-Q4*B0.2*=!hC(:肯1j24&310Irne otfiet0图6.10滞后超前校正频域响应仿真结果（为便于观察，设置了 1s延时）小结：频域分析法较根轨迹法计算量较小，但当时做的时候算完后没有分析在后面再加一个滞 后校正，加

20、了滞后校正后，响应曲线更好！7 PID控制器设计开环传递函数： 设计或调整PID控制器参数，使得校正后系统的性能指标满足:F1DMPID Gbrrticllv0.0272S02Q705Transf&r Fan7.1控制器设计过程先设置PID控制器的P参数，取P=20，1=0，D=0，得到阶跃响应曲线:从图中可以看出系统阶跃响应呈等幅振荡。为了消除系统的振荡，增加PID控制器的微分控制参数Do取P=20, 1=0, D=1Q得到阶跃响应曲线如下：1.41.210.8J0 6n a.n o0.2n00.5115:22.533.544.55从响应曲线可以看出，系统稳定时间在 2s左右，基本满

21、足调节时间，但是超调量很大，且存在系统稳态误差。为了减少系统稳态误差，增加PID控制器的积分环节参数I o取P=20, 1=10, D=10,得到阶跃响应曲线如下：从得到的响应曲线可以看出，由于加入积分环节，使得调节时间增大。但是超调量有所减少,消除了系统稳态误差。故需进一步对超调量和调节时间进行校正，修改三个参数。取P=60, 1=20, D=10,得到阶跃响应曲线如下:超调量已经满足要求，但是调节时间很长，过对调节时间进行调节取P=60, 1=100，D=20,得到阶跃响应曲线如下:调节时间仍然不满足要求设置P=60, 1=300 , D=15时，得到阶跃响应曲线:1.41 210 80 60.40 2000.511.522.533.544.55通过计算超调量I，经过一个振荡后达到稳定，调