17-18版第3章第13课一元二次不等式及其解法

1、第13课一元二次不等式及其解法最新考纲内容要求ABC一元二次不等式V抓基础*自主学习|知识栓理元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式= b2 4ac40= 0A0)的图象Vo 一兀二次方程ax2+ bx+ c=0(a0)的根有两相异实根xi, X2(X10(a0)的解集xxxgWXiiR2ax + bx+ c0)的解集x|Xl0 一定是一元二次不等式.()x 2不等式- 0? (x 2)(x+ 1)0 的解集是(X,xi)u(x2,+)，则方程 ax2+ bx+ c= 0 的两 个根是xi和 x2.()不等式 ax2+ bx+ c 0 在 R 上恒成立的条件是 a0 且= b2

2、 4ac0 的解集为_.(用区间表示)(4,1)由一 x2 3x+ 40 得 x2+ 3x 40，解得一 4x1.3.(教材改编)若关于 x 的方程 x2+ ax+ a2 1= 0 有一正根和一负根，则 a 的取值范围为(1,1)令 f(x) = x2+ ax+ a2 1,由题意可知 f(0) = a21 1,x2 x 1 (a+ 1)(a 2)对任意 x 恒成立,513所以一 4a a 2,解得一 1= awq.a0 的解集是bx 1 = 0 的两个实数根.a= 6,22X 5.由x-5x+ 60 得2x3.即不等式xbxa0 的解集为(2,3).即1a1 对任意实数 x 恒成立,x2x1二

3、xy-44,12,5. (2017 宿迁模拟)已知不等式 ax2 bx 10 的解集是；则不等式 x2 bx(2,3)由不等式 ax2 bx 10 的解集为| 2,1可知,a 0;(2) x2- (a+ 1)x+ a0.解原不等式化为 x2-2x-30,即(x 3)(x+ 1) 0,故所求不等式的解集为x|-Kx 3.(2) 原不等式可化为(x- a)(x- 1)1 时，原不等式的解集为(1, a)；当 a= 1 时，原不等式的解集为?;当 a1 时，原不等式的解集为(a,1).迁移探究将(2)中不等式改为 ax2- (a+ 1)x+ 10,求不等式的解集.解若 a= 0,原不等式等价于x+

4、11.若 a0,1解得 x1.若 a0,原不等式等价于 ix-1(x- 1)0.1 f 1、1当 a=1 时，a= 1, x-a (x- 1)1 时，a1，解 x-a (x- 1)o 得 ax1 ；1 1、 13当 oa1 时，評，解 ix-a (x- 1)o 得 1xa.综上所述：当 a0 时，解集为 ix x1 r；r1当 a = 0 时，解集为x|x1;当 0a1 时，解集为cx 1x1 时，解集为 ix x0.若A 1 时，不等式无解.当 kv0 时，若A4 4k20,即1vkv0 时,xv1+厂或 x1k1-若Av0,即 kv 1 时，不等式的解集为 R;若A=0,即 k= 1 时，

5、不等式的解为XM1.综上所述，k 1 时，不等式的解集为?;0vkv1 时，不等式的解集为vxvk= 0 时，不等式的解集为x|x0; 当一 1vkv0 时，不等式的解集为k= 1 时，不等式的解集为X|XM1；kv 1 时，不等式的解集为 R.IL 考向习_UHJ 元二次不等式恒成立问题?角度 1 形如 f(x) 0(x R)求参数的范围不等式(a 2)x2+ 2(a 2)x 40 时，若= 4 4k20,即 0vkv1 时，不等式的解为xv1 + .、1 k2k1+1k或 x(2,2当 a2 =0,即 a=2 时，不等式即为一 40(x a, b)求参数的范围2设函数 f(x) = mx

6、mx 1.若对于 x 1,3, f(x) m+ 5 恒成立，求 m 的取值范围.【导学号：62172075】解要使 f(x)0 时，g(x)在1,3上是增函数，所以g(x)max=g(3)?7m60，所以 m7，所以 0m6；当 m= 0 时，一 60 恒成立；当 m0 时，g(x)在1,3上是减函数，所以 g(x)max= g(1)? m60，所以 m6，所以 m0.r乓综上所述：m 的取值范围是cm m0，26 又因为 m(x x+ 1) 60，所以 mvp.x x+ 1因为函数 y=x26x+1= . 3 在1,3上的最小值为 7,所以只需 m6 即可. X Xx2!+4r所以 m 的取

7、值范围是 F m0(参数 m a, b)求 x 的范围对任意的 k 1,1，函数 f(x) = x2+ (k 4)x+4 2k 的值恒大于零，则 x 的取当 aM 2 时，则有乩+ 16a 20,a2,一 2a2-2a2.1,3上恒成立.3-41-2值范围是_:2x|x3 x + (k 4)x+ 4 2k0 恒成立,即 g(k) = (x 2)k+ (x2 4x+4)0,在 k 1,1时恒成立.2X2 5x+ 60,即，2iX 3x+ 20,解得 x3.规律方法1解决恒成立问题一定要搞清谁是主元， 谁是参数，一般地，知道谁的范围, 谁就是主兀，求谁的范围，谁就是参数.2.对于一元二次不等式恒成

8、立问题， 恒大于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间 上全部在 x 轴上方，恒小于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴下方， 另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.名师微博思想与方法只需 g( 1)0 且 g(1)0,1.不等式 ax2+ bx+ c0 对任意实数 x 恒成立？不等式 ax2+ bx+ c0 对任意实数 x 恒成立？Jb = 0,&0,或a0 时的情形.般可把 a0,求解时不要忘记讨论 a= 0 时的情形. 当A0（aM0）的解集为 R 还是？，要注意区别.2.3.4.含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.不同参数范围的

9、解集切莫取并集，应分类表述.课时分层训练（A 组基础达标（建议用时：30 分钟）一、填空题1.不等式2x2+ x+ 10 的解集为1 2x2+ x+ 10,即2 x 10, (2x+ 1)(x 1)0，解得一|x1,A不等式2,12 .若集合 A=x|ax2 ax+ 10 的解集为a|00,2iA=a4a0,得 0aW4,所以 Owa4.ax_ 13 .已知关于 x 的不等式门 1的解集疋x x g,则实数 a=ax_ 1i2 不等式I10 等价于(ax_ 1)(x+ 1)0,由题意可知 x= 1 及 x= 1 2是方程(ax_1 11)(x+ 1) = 0 的两个实数根， a=_2，即卩 a

10、= 2.2 24. 若关于 x 的不等式 x 2ax_8a 0)的解集为(x1,X2),且 X2 X1= 15,则 a=_5222 由 x 2ax 8a 0,得(x+ 2a)(x4a)0,所以不等式的解集为(2a,4a),即 X2= 4a, X1= 2a,由 X2 15,5得 4a (2a) = 15,解得 a=5._ 不等式 x3_2x+ 5a2 3a 对任意实数 x 恒成立，则实数 a 的取值范围为_ .1,4令 f(x)= x2 2x+ 5,贝Uf(x)= (x 1)2+ 44,由a3aw4 得一 1waW4.6._若不等式 mx2+2mx+ 10 的解集为 R,则 m 的取值范围是_.

11、0,1)当 m= 0 时，10 显然成立；m0,当 m 0 时，由条件知2得 0m1,上=4m 4m0,(0,1)U(4,+ %)由 f(log2x)f(2)可得2(log2X) + 2log2X 4 + 4,- log2x(2 log2x)2 或 log2x4 或 0 x1,即不等式 f(log2X)20,集是_.【导学号：62172077】由知 owm1.7.(2016 苏北四市摸底考试)已知函数 f(x)二X2+ 2x，则不等式 f(log2X)0 的解集为 x 1,4.1不等式 f(e)0 可化为1ex3.4解得 xln 3, x0 的解集为x|x0 恒成立，则 b 的取值范围是_.b

12、2 由 f(1 x) = f(1 + x)知 f(x)图象的对称轴为直线 x= 1,则有|= 1,故 a = 2.由 f(x)的图象可知 f(x)在1,1上为增函数.-4,2x i或*x0,(x 1 律1,解得-4 x 0 或0 x 2,故不等式 f(x)一 1 的解集是4,2.9已知一元二次不等式 f(x)0 的解集为 lx x”，则 f(ex)0 的解集为12x|x ln 3设1 和 3 是方程 x + ax+ b = 0 的两个实数根， 1 1 b= 3= 3.一元二次不等f(x)0 的解集为収 x3 pf(x)= - j#+* - 3 =1x2-3x+3f(1 x)f(1求 a 的取值

13、范围;若函数 f(x)的最小值为解关于 x 的不等式 x2x a2 a 0 恒成立.1当 a= 0 时，符合题意，2当 a 0 时，只需a0,2即 0aw1.上=4a 4a 2,a1,当 a2 a,即 a1 时，N = x|ax2 a,a5，1 1 则 a 才，即 a 2,当 a=2 a, 即卩 a= 1 时，N= ?，不合题意.综上可得a9.B 组能力提升(建议用时：15 分钟)(X, 2)不等式 x2 4x 2 a0 在区间(1,4)内有解等价于 a(x2 4x 2)max,令 g(x)2=x 4x 2, x (1,4),. g(x)vg(4)= 2, /a 2.X-2)-4.2-a-1,

14、9即 a、m0 在区间(1,4)内有解，则实数 a 的取值范围是6 在 R 上定义运算：x*y=x(1 y),若不等式(x y)*(x+y)1 对一切实数 x 恒成立，则 实数 y的取值范围是_.fi 3、2，2由题意知(x y)*(x+ y) = (xy) 1 (x+y)1 对一切实数 x 恒成立，所以一 x2+ x + y2 y 10 对于 x R 恒成立.故= 12 4X( 1)X(y2 y 1)0,13所以 4y2 4y 30,解得2y0 的解集为x|x2 或 x0 恒成立，求 x 的取值范围.解(1)因为不等式 f(x)0 的解集为x|x2 或 x2 或 x0)的最小值； 入对于任意的 x 0,2,不等式 f(x)0,所以 x+丄2,x当且仅当 x=，即 x= 1 时，等号成立，x所以 y一 2.所以当 x= 1 时，y=也的最小值为一 2.x2因为 f(x) a = x 2ax 1,所以要使得“？x 0,2，不等式 f(x)a 成立”只要“xI 2 3 2ax 1 0 在0,2上恒成立不妨设 g(x) = x2 2ax 1,则只要 g(x) 0,解得 b2.二、解答题11.已知函数 f(x) ax2+